4.5.1 函數(shù)零點(diǎn)與方程的解（教學(xué)課件） 高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊(cè)）

4.5.1函數(shù)零點(diǎn)與方程的解第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)人教A版2019必修第一冊(cè)1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系.2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的零點(diǎn)、零點(diǎn)個(gè)數(shù)及零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.學(xué)習(xí)目標(biāo)

本節(jié)將先學(xué)習(xí)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法(二分法)，再結(jié)合實(shí)例，更深入地理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程，學(xué)習(xí)運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的方法.思考：

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù)的零點(diǎn).像lnx+2x-6=0這樣不能用公式求解的方程,是否能采用類似的方法,用相應(yīng)的函數(shù)研究它的解的情況呢？在“函數(shù)的應(yīng)用(一)”中，通過一些實(shí)例，我們初步了解了建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程,學(xué)習(xí)了用函數(shù)描述客觀事物變化規(guī)律的方法.與二次函數(shù)的零點(diǎn)一樣，對(duì)于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).這樣，函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以由此可知，求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解，就是確定函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)一、函數(shù)零點(diǎn)的定義：

一般地，對(duì)于不能用公式求解的方程f(x)=0，我們可以把它與相應(yīng)函數(shù)y=f(x)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn),從而得到方程的解.下面從考察二次函數(shù)存在零點(diǎn)時(shí)函數(shù)圖象的特征，以及零點(diǎn)附近函數(shù)值的變化規(guī)律入手.探究：對(duì)于二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3，觀察它的圖象，發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間[2，4]上有零點(diǎn)

.123412345xyO-1-2-1-4-3-2

這時(shí)，函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系？在區(qū)間[-2，0]上是否也有這種關(guān)系？你認(rèn)為應(yīng)如何利用函數(shù)f(x)的取值規(guī)律來刻畫這種關(guān)系？

可以發(fā)現(xiàn)，在零點(diǎn)附近，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且穿過x軸.123412345xyO-1-2-1-4-3-2函數(shù)在端點(diǎn)x=2和x=4的取值異號(hào)，即f(2)f(4)<0。

函數(shù)f(x)=x2─2x─3在區(qū)間(2，4)內(nèi)有零點(diǎn)x=3，它是方程x2─2x─3=0的一個(gè)根.同樣地，f(-2)f(0)<0.

函數(shù)f(x)=x2─2x─3在區(qū)間(-2，0)內(nèi)有零點(diǎn)x=-1，它是方程x2─2x─3=0的另一個(gè)根.xyOabcd思考：觀察圖象填空，在怎樣的條件下，函數(shù)

在區(qū)間上存在零點(diǎn)？<①在區(qū)間(a,b)上,f(a)·f(b)____0在區(qū)間(a,b)上，有零點(diǎn)；<在區(qū)間(b,c)上，有零點(diǎn)；同理在區(qū)間(c,d)上，有零點(diǎn)；②在區(qū)間(b,c)上,f(b)·f(c)___0二、零點(diǎn)存在定理xyOabc如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。例1.求方程lnx+2x－6=0實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)解：

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+2x－6，則f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)

列表，并作出f(x)的圖象x1

2

3456789f(x)

-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972f(2)<0,f(3)>0，即

f(2)f(3)<0.由函數(shù)零點(diǎn)存在定理，f(x)在(2,3)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn).又∵f(x)=lnx+2x－6是增函數(shù),∴f(x)是只有一個(gè)零點(diǎn),方程lnx+2x－6=0有1個(gè)實(shí)數(shù)解.由表和圖象得f(x)=lnx+2x－6

思考1：以上解法中，列表和作圖都借助了工具。事實(shí)上，本題還可以先判定函數(shù)是增函數(shù)，再讓x在定義域內(nèi)取值，由f(x)的符號(hào)來得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。除此之外，你還有別的解法嗎？例1.求方程lnx+2x－6=0實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)另解：

由lnx+2x－6=0得lnx=-2x+6

設(shè)f(x)=lnx,g(x)=-2x+6.

作出函數(shù)

f(x)和g(x)的圖象，如右.

由圖知，

函數(shù)f(x)和g(x)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0,y0)，其中x0∈(2,3)∴方程lnx=-2x+6只有一個(gè)解,

即lnx+2x－6=0有1個(gè)實(shí)數(shù)解.f(x)=lnxg(x)=-2x+6減函數(shù)增函數(shù)思考2：如何判定函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)(或方程f(x)=0的解)的個(gè)數(shù)？思路1.解方程法：思路2.性質(zhì)法：一是直接解方程f(x)=0或判斷方程解的個(gè)數(shù);根據(jù)函數(shù)f(x)的性質(zhì)和零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷

二是利用函數(shù)圖象.由函數(shù)f(x)=0得g(x)=h(x)，再分別作出g(x)和h(x)的圖象，則兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論例2.判斷函數(shù)

f(x)=4-3x+log2x有多少個(gè)零點(diǎn)？解：

思考1：若不借助計(jì)算工具和軟件，函數(shù)

f(x)=4-3x+log2x圖象容易作出嗎？

若不易作出，有哪一些思路？思路2：轉(zhuǎn)化判斷方程4-3x+log2x=0根的個(gè)數(shù).思路1：在定義域內(nèi)，讓x取一些值，由f(x)的正負(fù)來判斷；另解：

由

f(x)=4-3x+log2x=0得log2x=3x-4

設(shè)f(x)=log2x,g(x)=3x-4

作出f(x)和g(x)的圖象

由圖可得

函數(shù)f(x)和g(x)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)。

∴方程4-3x+log2x=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即

f(x)=4-3x+log2x有2個(gè)零點(diǎn)。g(x)=3x-4f(x)=log2x例2.判斷函數(shù)

f(x)=4-3x+log2x有多少個(gè)零點(diǎn)？思考2：這種解法好不好，為什么？若

f(x)=4+3x+log2x呢？

不好。

一是事先并不知道各個(gè)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，二是x取哪一些值不好把握。

但若如例2中，函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)，則這種方法則比較方便。

思考3：你能用例2的方法來判斷方程4-3x+log2x=0根的個(gè)數(shù)嗎？增函數(shù)增函數(shù)解：課本練習(xí)1.下列三圖分別是同一個(gè)函數(shù)在不同范圍的圖象，你能僅根據(jù)其中的某一圖象，得出