考研數(shù)三2003-2013年歷年真題+答案詳細(xì)講解

2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上)

/COS?*0,其導(dǎo)函數(shù)在x=o處連續(xù)，那么2的取值范圍是,

(1)設(shè)/(x)=<

Q若x=0,

(2)曲線y=》3-3。2尢+力與X軸相切，那么。2可以通過a表示為。2=.

右=：<I'而D表示全平面,那么/=JJf(x)g(y-x)cbcdy=

(3)設(shè)a>0,/(x)=g(x)=<

0,其他，D

(4)設(shè)n維向量a=(〃,(),???,(),a)、。v()；E為n階單位矩陣，矩陣

A=E-aa1,B=E+—aa，,

a

其中A的逆矩陣為B,那么a=.

(5)設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為09假設(shè)Z=X-0.4,那么Y與Z的相關(guān)系數(shù)為.

(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X-X2,…,X〃為來自總體X的簡單隨機樣本，那么當(dāng)〃-8

I〃

;依概率收斂于

二、選擇題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且尸(0)存在，那么函數(shù)g(x)=3

X

(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍連續(xù)點x=0.

(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去連續(xù)點x=0.[]

(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(4,比)取得極小值，那么以下結(jié)論正確的選項是

(A)/(Xo，y)在y=%處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)/(Xo，y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零.

(C)/(/，內(nèi)在y=)，o處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)/(/，內(nèi)在y=%處的導(dǎo)數(shù)不存在.

[]

出an+\a?\a?~\a?\

設(shè)P“二―片，q“=——n=1,2,-??,那么以下命題正確的選項是

(A)假設(shè)條件收斂，那么￡P(guān)n與乙”都收斂.

〃=1n=\n=\

(B)假設(shè)絕對收斂，那么￡幾與都收斂.

〃=1n=\/?=!

(C)假設(shè)z4條件收斂，那么zPn與斂散性都不定.

〃=1n=l

(D)假設(shè)絕對收斂，那么￡p“與斂散性都不定.

[1

〃=1〃=1n=\

abb

(4)設(shè)三階矩陣A=bab假設(shè)A的伴隨矩陣的秩為1,那么必有

bba

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2bH0.

(C)aHb且a+2b=0.(D)aWb且a+2bW0.

(5)設(shè)%,c^，…,見均為n維向量，以下結(jié)論不正確的選項是

(A)假設(shè)對于任意一組不全為零的數(shù)%,A：2，，都有％1%+42%+—<■ksas0.那么

%,。2,…,見線性無關(guān).

(B)假設(shè)％,。2,4線性相關(guān)，那么對于任意一組不全為零的數(shù)匕，七，…,&，都有

kxax+k2a-,H------F=0.

(C)/,a2,《線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.

(D)%,。2,《線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān).[]

(6)將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：A=｛擲第一次出現(xiàn)正面｝,4=｛擲第二次出現(xiàn)正面｝，A廣｛正、

反面各出現(xiàn)一次｝,4=｛正面出現(xiàn)兩次｝,那么事件

(A)A，A2，A3相互獨立.(B)A2，A3，A4相互獨立.

(C)A，A2，A3兩兩獨立.(D)4，A3，A4兩兩獨立?[]

三、(此題總分值8分)

設(shè)

試補充定義f⑴使得f(x)在上連續(xù).

四、(此題總分值8分)

設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足仁4+24=1,又g(x,y)=/ky-，-y2)]^

dudv2

五、(此題總分值8分)

計算二重積分

其中積分區(qū)域D={(尤,y)|/+y2<萬}

六、(此題總分值9分)

求幕級數(shù)1+之(―1)"—(|x|<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.

n=l2〃

七、(此題總分值9分)

設(shè)F(X)=f(X)g(X),其中函數(shù)f(X),g(X)在(-8,+8)內(nèi)滿足以下條件：

f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e\

⑴求F(x)所滿足的一階微分方程；

(2)求出F(x)的表達(dá)式.

八、(此題總分值8分)

設(shè)函數(shù)f(x)在［0,3］上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)+f(l)+f⑵=3,f(3)=l.試證必存在［G(0,3),使

rc)=o.

九、(此題總分值13分)

齊次線性方程組

其中*0.試討論a1,％，…，4和b滿足何種關(guān)系時，

<=1

(1)方程組僅有零解：

(2)方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的一個根底解系.

十、(此題總分值13分)

設(shè)二次型

7

/(x,,x2,x3)=XAX=a\+—2.+2bxix?(b>0)，

中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

(1)求a,b的值;

(2)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣.

十一、(此題總分值13分)

設(shè)隨機變量X的概率密度為

F(x)是X的分布函數(shù).求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).

十二、(此題總分值13分)

設(shè)隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為

(12)

X~\,

(0.30.7J

而Y的概率密度為f(y),求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).

2003年考研數(shù)學(xué)〔三〕真題解析

一、填空題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)/。)=廣7H'其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù)，那么4的取值范圍是4>2.

0若x=0,

【分析】當(dāng)XH0可直接按公式求導(dǎo)，當(dāng)x=0時要求用定義求導(dǎo).

【詳解】當(dāng)彳>1時，有

顯然當(dāng)4>2時，有l(wèi)im/'(x)=0=/'(0),即其導(dǎo)函數(shù)在x=0處連續(xù).

XTO

(2)曲線y=——與x軸相切，那么V可以通過a表示為力2=4*

【分析】曲線在切點的斜率為0,即y'=0,由此可確定切點的坐標(biāo)應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點處

縱坐標(biāo)為零，即可找到/與a的關(guān)系.

【詳解】由題設(shè)，在切點處有

y'=3x2—3a2=0?有4=八

又在此點y坐標(biāo)為0,于是有

2

0=Xp-3ax0+b=0,

故〃=(3?2—x^)2=a2-4a4=4a6.

【評注】有關(guān)切線問題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時切點還應(yīng)滿足曲線方程.

一才彳0v]

(3)設(shè)a>0,f(x)=g(x)=?"'=:：一"而D表示全平面，那么/=jf/(x)g(y-x)力出=a2.

0,其他，—

【分析】此題積分區(qū)域為全平面，但只有當(dāng)0^^41,043；-苫41時，被積函數(shù)才不為零，因此實際

上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.

【詳解】/=JJ7(x)g(y—x)<&<fy=JJ?2dxdy

DOSMOSy-xMl

=fz2￡dx^dy=a1[(x+1)-x]dx=a2.

【評注】假設(shè)被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，那么二重積分的計算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零

的區(qū)域的公共局部上積分即可.

(4)設(shè)n維向量augOL:OMVHvO：E為n階單位矩陣，矩陣

A=E-aaT,B=E-\--aaT,

a

其中A的逆矩陣為B,那么a=-1.

【分析】這里aa7為n階矩陣，而。丁二=2/為數(shù)，直接通過A3=￡進展計算并注意利用乘法的

結(jié)合律即可.

【詳解】由題設(shè)，有

=E-aa1+—aar--aa1-aar

aa

=E-aa7-\--aaT--a(aTa)ar

aa

=E-aaJ+—aa'-laaa1

a

1牙

=E+(—1—2。H—)ctoc=E,

a

于是有一1一2。+l=0,即2a2+a-1=0,解得a=La=-1.由于A<0，故a=-l.

a2

(5)設(shè)隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為09假設(shè)Z=X—0.4，那么Y與Z的相關(guān)系數(shù)為0.9

【分析】利用相關(guān)系數(shù)的計算公式即可.

【詳解】因為

=E(XY)-OAE(Y)一E(Y)石(X)+0AE(Y)

=E(XY)-E(X)E(Y)=cov(X,Y)/

且。Z=￡>X.

cov(y,Z)_cov(x,y)

于是有cov(Y,Z)==PXY=0-9-

4DY4DZ~4DX4DY

【評注】注意以下運算公式：D(X+a)=DX,cov(X,Y+a)=cov(X,y).

(6)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X「X2,…,X"為來自總體X的簡單隨機樣本,那么當(dāng)〃foo

時，匕=-1夕"X：依概率收斂于I一.

〃白2

【分析】此題考察大數(shù)定律：一組相互獨立且具有有限期望與方差的隨機變量X「X2,…,X”，當(dāng)方

差一致有界時，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值：

【詳解】這里X：,X3..,X；滿足大數(shù)定律的條件，且EX：=QX,+(EX,)2=；+(g)2=；,因此

根據(jù)大數(shù)定律有

2

r?=-Yx;依概率收斂于EX：

n,=ini2

二、選擇題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，

把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且/'(0)存在，那么函數(shù)g(x)=/應(yīng)

x

(A)在x=0處左極限不存在.(B)有跳躍連續(xù)點x=0.

(C)在x=0處右極限不存在.(D)有可去連續(xù)點x=0.[D]

【分析】由題設(shè)，可推出f(0)=0,再利用在點x=0處的導(dǎo)數(shù)定義進展討論即可.

【詳解】顯然x=0為g(x)的連續(xù)點，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0.

于是有l(wèi)img(x)=lim=lim,⑴一八°)=/(0)存在，故x=0為可去連續(xù)點.

x-00.10xXTOX-0J

【評注1】此題也可用反例排除，例如f(x)=x,那么此時83=土=11'、"°'可排除/),伯),(0三項，故

x0,x=0,

應(yīng)選(D).

,

【評注2】假設(shè)f(x)在x=x0處連續(xù)，那么=f(xo)=O,f(x())^A..

-f。x-xQ

(2)設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(%,九)取得極小值，那么以下結(jié)論正確的選項是

(A)/(%。)在〉=%處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)/(x0,y)在y=y0處的導(dǎo)數(shù)大于零.

(C)/(/，歷在y=y()處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)/(而4)在y=>0處的導(dǎo)數(shù)不存在.

[A]

【分析】可微必有偏導(dǎo)數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論.

【詳解】可微函數(shù)f(x,y)在點(々,打)取得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知f：(x0,yo)=。，即

/(%,)，)在》=%處的導(dǎo)數(shù)等于零，故應(yīng)選(A).

【評注。此題考察了偏導(dǎo)數(shù)的定義，/(拓,y)在y=孔處的導(dǎo)數(shù)即/；(%,凡)；而/(X,打)在x=/

處的導(dǎo)數(shù)即f；(x°,y。).

【評注2】此題也可用排除法分析，取f(x,y)=/+y2,在(0⑼處可微且取得極小值，并且有

f(0,y)=y2,可排除(B),(C),(D),故正確選項為(A).

(3)設(shè)p,=%?"，，4"=Q","=1,2,…，那么以下命題正確的選項是

(A)假設(shè)￡勺條件收斂，那么￡p,與都收斂.

M=1?=1n=\

(B)假設(shè)￡>“絕對收斂，那么￡p?與之縱都收斂.

〃=】71=1M=1

(C)假設(shè)￡>,,條件收斂，那么￡p,與斂散性都不定.

M=1"=1n=\

(D)假設(shè)￡明絕對收斂，那么與￡私斂散性都不定.[B]

〃=ln=ln=l

【分析】根據(jù)絕對收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級數(shù)的運算性質(zhì)即可找出答案.

888a+1/7I

【詳解】假設(shè)Z明絕對收斂，即收斂，當(dāng)然也有級數(shù)Z%收斂，再根據(jù)p“=""，

n=In=\n=l2

=區(qū)也及收斂級數(shù)的運算性質(zhì)知，￡外與￡夕“都收斂，故應(yīng)選(B).

2〃=]M=1

abb

(4)設(shè)三階矩陣A=bab,假設(shè)A的伴隨矩陣的秩為1,那么必有

bba

(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2bW0.

(C)aHb且a+2b=0.(D)aRb且a+2bN0.[C]

【分析】A的伴隨矩陣的秩為1,說明A的秩為2,由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.

【詳解】根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系知，秩(A)=2,故有

abb

bab=(a+2b)(a-b)2=0,即有a+28=0或a=b.

bba

但當(dāng)a=b時，顯然秩(A)w2,故必有akb且a+2b=0.應(yīng)選(C).

【評注】n(nN2)階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有以下關(guān)系:

(5)設(shè)四,附,%均為n維向量，以下結(jié)論不正確的選項是

(A)假設(shè)對于任意一組不全為零的數(shù)匕/2,…人，都有匕%+&%+…+左。,。()，那么

織,%,…,2S線性無關(guān).

(B)假設(shè)%,％，…，見線性相關(guān)，那么對于任意一組不全為零的數(shù)占，攵2,…，&，都有

k}at+k2a2H------1-ksas=0.

(C)四,&2,《線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.

(D)四。2,…，&線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān).[B]

【分析】此題涉及到線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無關(guān)的等價表現(xiàn)形式.應(yīng)

注意是尋找不正確的命題.

【詳解】(A)：假設(shè)對于任意一組不全為零的數(shù)勺都有匕/+七。2+…+&4。0,那么

%,見,…,《必線性無關(guān)，因為假設(shè)囚,。?，…,《線性相關(guān)，那么存在一組不全為零的數(shù)占，&，…，&，使

得匕%+左2a2T-------卜&%=0,矛盾.可見(A)成立.

(B)：假設(shè)四。2,…,凡線性相關(guān)，那么存在一組，而不是對任意一組不全為零的數(shù)勺,心,都

有卜不成立.

klal+k2a24-------ksas=0.(B)

(C)%,%,…,見線性無關(guān),那么此向量組的秩為s；反過來，假設(shè)向量組名,的秩為s，那么

四,。2,…,見線性無關(guān),因此(C)成立.

(D)…，見線性無關(guān)，那么其任一局部組線性無關(guān)，當(dāng)然其中任意兩個向量線性無關(guān)，可見(D)

也成立.

綜上所述，應(yīng)選（B）.

【評注】原命題與其逆否命題是等價的.例如，原命題：假設(shè)存在一組不全為零的數(shù)占使

得占0+&%+…+幻4=0成立，那么囚,。2,…，&線性相關(guān).其逆否命題為：假設(shè)對于任意一組不

全為零的數(shù)女|,42,…，左，都有匕/+左2%+…+女。S工0，那么%,%,…,凡線性無關(guān).在平時的學(xué)習(xí)

過程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價性.

（6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：A產(chǎn)｛擲第一次出現(xiàn)正面｝,4=｛擲第二次出現(xiàn)正面｝,4=｛正、

反面各出現(xiàn)一次｝,4=｛正面出現(xiàn)兩次｝,那么事件

（A）A，A2，A,相互獨立.（B）A2，A3，A4相互獨立.

（C）A，A，A3兩兩獨立.（D）4,43，44兩兩獨立.[C]

【分析】按照相互獨立與兩兩獨立的定義進展驗算即可，注意應(yīng)先檢查兩兩獨立，假設(shè)成立，再檢驗

是否相互獨立.

【詳解】因為

p（4）=g,P（A2）=1,P（A）=1,P（AJ=；,

且P（A&）=；，P（A4）=；,2（44）=：,P（A2A4）=；P（A]A2A3）=（）,

可見有

3

P（A,A2）=/（A,）P（A2）,P（A&）=P（4）P（A3）,P（A2A3）=P（A2）P（A3）,

尸（444）H尸（A）尸（4）P（A3）,P（A2A4）HP（A2）P（A4）.

故A，A2,&兩兩獨立但不相互獨立；4，A3，Aa不兩兩獨立更不相互獨立，應(yīng)選（C）.

【評注】此題嚴(yán)格地說應(yīng)假定硬幣是均勻的，否那么結(jié)論不一定成立.

三、（此題總分值8分）

設(shè)

試補充定義f⑴使得f（x）在[L]上連續(xù).

2

【分析】只需求出極限limf（x）,然后定義f（l）為此極限值即可.

【詳解】因為

limf（x）=lim[—+--------J—]

xfx->r7ixsinTZX乃（1一x）

11「萬（1-x）—sinm;

=—+—lim-----乙-----------

式ret->r（l-x）sin^x

11一一九一萬COS"

=—+—lim-----------------------

冗乃rf-sin,TZX+(1-x)7icos^x

11乃sinm；

=—I—lirn-------------------------------\-----

7T冗-71COS7IX—7tCOS7lX—(\~X)7Vsin71X

71

由于f(x)在［；」)上連續(xù)，因此定義

/(!)=--

71

使f(x)在己,1］上連續(xù).

2

【評注】此題實質(zhì)上是一求極限問題，但以這種形式表現(xiàn)出來，還考察了連續(xù)的概念.在計算過程中，

也可先作變量代換y=l-x,轉(zhuǎn)化為求yf()+的極限，可以適當(dāng)簡化.

四、(此題總分值8分)

設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足空+*g=l,又g(x,y)=/［孫一，一/)］,求

dudv~2

送4返

dx2dy2"

2

【分析】此題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題：g=f(〃,v),M=xy,v=1(x-/),直接利用復(fù)合

22

函數(shù)求偏導(dǎo)公式即可，注意利用5"/-?="5■f

dudvdvdu

【詳解】筌嚕+糕，

故察一2。"+2外亞+/吆+笠,

du2dudvdv2dv

所以答+票=(Y+y2)W+(/+y2)d2f

2

duSv2

=x2+y2.

【評注】此題考察半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導(dǎo).

五、(此題總分值8分)

計算二重積分

其中積分區(qū)域D={(X,y)k2+y2〈萬}

【分析】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)該利用極坐標(biāo)進展計算.

【詳解】作極坐標(biāo)變換：x=rcose,y=rsin。，有

-e71dO^re~rsinr2Jr.

JoJo

令”嚴(yán)，那么

1=[:e~lsintdt.

記A=je~lsintdt,那么

=-[e~lsinr[)e~lcostdt]

o

=-fcostde~l

Jo

=-[e~lcosto+J)sintdt]

二+1-A.

因此A=g(l+e-"),

【評注】此題屬常規(guī)題型，明顯地應(yīng)該選用極坐標(biāo)進展計算，在將二重積分化為定積分后，再通過換

元與分步積分(均為最根底的要求)，即可得出結(jié)果，綜合考察了二重積分、換元積分與分步積分等多個

根底知識點.

六、(此題總分值9分)

求基級數(shù)1+之(一1)"—(|x|<1)的和函數(shù)f(x)及其極值.

?=12〃

【分析】先通過逐項求導(dǎo)后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當(dāng)x=0時和為1.求出和函數(shù)后，再按

通常方法求極值.

【詳解】

上式兩邊從0到x積分，得

由f(0)=l,得

令/'(x)=0,求得唯一駐點x=0.由于

r(o)=-i<o,

可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為

f(0)=l.

【評注】求和函數(shù)一般都是先通過逐項求導(dǎo)、逐項積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的幾何級數(shù)情形，然后再

通過逐項積分、逐項求導(dǎo)等逆運算最終確定和函數(shù).

七、(此題總分值9分)

設(shè)F(x)=f(x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在(-00,+8)內(nèi)滿足以下條件：

尸(x)=g(x),g'(x)=f(x),且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e\

⑶求F(x)所滿足的一階微分方程；

(4)求出F(x)的表達(dá)式.

【分析】F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導(dǎo)函數(shù)，提示應(yīng)先對F(x)求導(dǎo)，并將其余局部轉(zhuǎn)化為用

F(x)表示，導(dǎo)出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程.

【詳解】⑴由

=g2(X)+/2(X)

="(x)+g(x)］2-2f(x)g(x)

=(2e，)2-2F(x),

可見F(x)所滿足的一階微分方程為

(2)尸(x)=e'""［J4e2,'<，'dx+C］

=e-2x［f4e4'dx+C］

=e2x+Ce~2x.

將F(O)=f(O)g(O)=O代入上式，得

C=-l.

于是

【評注】此題沒有直接告知微分方程，要求先通過求導(dǎo)以及恒等變形引出微分方程的形式，從題型來

說比擬新穎，但具體到微分方程的求解那么并不復(fù)雜，仍然是根本要求的范圍.

八、(此題總分值8分)

設(shè)函數(shù)f(x)在［0,3］上連續(xù),在(0,3)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)+f(l)+f(2)=3,f(3)=l.試證必存在［G(0,3),使

rc)=o.

【分析】根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點ce［0,3),使得/(c)=1=/(3),然后在［c,3］上應(yīng)用羅

爾定理即可.條件f(0)+f(l)+f(2)=3等價于/(())+/⑴+偌)=］,問題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最

3

終用介值定理可以到達(dá)目的.

【詳解】因為f(x)在［0,3］上連續(xù)，所以f(x)在［0,2］上連續(xù)，且在［0,2］上必有最大值M和最小值m,

于是

m</(0)<M,

m</(I)<M,

m</(2)<M.

故

由介值定理知，至少存在一點ce［0,2］,使

因為f(c)=l=f(3),且f(x)在［c,3］上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在Je(c,3)u(0,3),使

/W=0.

【評注】介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是?？贾R點，且一般是兩兩結(jié)合起來考.此題

是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形.

九、(此題總分值13分)

齊次線性方程組

其中Z%w0.試討論a1,生,和b滿足何種關(guān)系時，

i=l

(1)方程組僅有零解；

(2)方程組有非零解.在有非零解時，求此方程組的一個根底解系.

【分析】方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)一樣，問題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計

算具有明顯的特征：所有列對應(yīng)元素相加后相等.可先將所有列對應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第

一行的(-1)倍加到其余各行，即可計算出行列式的值.

【詳解】方程組的系數(shù)行列式

"s+Z/).

r=l

(1)當(dāng)匕#0時且b+支為HO時，秩(A)=n,方程組僅有零解.

/=1

(2)當(dāng)b=O時，原方程組的同解方程組為

由名為#0可知，6。=1,2「-,“)不全為零.不妨設(shè)卬。0,得原方程組的一個根底解系為

1=1

%=(--,l,0,"-,0)r,%=(--,0,1,>??■,??=(—

a}a[?]

當(dāng)匕=一之勺時，有分*0,原方程組的系數(shù)矩陣可化為

1=1

(將第1行的-1倍加到其余各行，再從第2行到第n行同乘以一——倍)

/a；

(將第n行-a“倍到第2行的-％倍加到第1行，再將第1行移到最后一行)

由此得原方程組的同解方程組為

原方程組的一個根底解系為

【評注】此題的難點在8=-丑4時的討論，事實上也可這樣分析：此時系數(shù)矩陣的秩為n；(存在

(=|

n-l階子式不為零)，且顯然a=(1,1,…』"為方程組的一個非零解，即可作為根底解系.

十、(此題總分值13分)

設(shè)二次型

f(xt,x2,x3)=X'AX=+2xj—+2hx}x3(b>0),

中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.

(3)求a,b的值；

(4)利用正交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣.

【分析】特征值之和為A的主對角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b的值；

進一步求出A的特征值和特征向量，并將一樣特征值的特征向量正交化〔假設(shè)有必要)，然后將特征向量

單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣.

【詳解】11)二次型f的矩陣為

設(shè)A的特征值為4。=1,2,3).由題設(shè)，有

4+4+4=a+2+（—2）—1,

解得a=l,b=-2.

(2)由矩陣A的特征多項式

2-10-2

\AE-A\=02-20=(2-2)2(2+3),

-202+2

得A的特征值4=4=2,4=-3.

對于4=%=2,解齊次線性方程組(2E—A)x=0,得其根底解系

$=(2,0,Dr.么=(()，1，()):

對于4=-3,解齊次線性方程組(-3E-A)x=0,得根底解系

由于。,統(tǒng),&已是正交向量組，為了得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，只需將&,乙，芻單位化，由此得

令矩陣

2

1

30

-03

==

-1I0

32

0飛

那么Q為正交矩陣.在正交變換X=QY下，有

'200'

QTAQ^020,

00-3_

且二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

【評注】此題求a,b,也可先計算特征多項式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定:

二次型f的矩陣A對應(yīng)特征多項式為

設(shè)A的特征值為4,4,4,那么4=2,4+4=a—2,冬冬=—(2a+b2),由題設(shè)得

4+4,+4=2+(a—2)——1,

解得a=l,b=2.

十一、(此題總分值13分)

設(shè)隨機變量X的概率密度為

F(x)是X的分布函數(shù).求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).

【分析】先求出分布函數(shù)F(x)的具體形式，從而可確定Y=F(X),然后按定義求Y的分布函數(shù)即可.注意

應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍(0<F(X)<1),再對y分段討論.

【詳解】易見，當(dāng)x<l時，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)x>8時，F(xiàn)(x)=l.

對于XG[1,8],有

設(shè)G(y)是隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).顯然，當(dāng)y<0時，G(y)=O；當(dāng)y21時，G(y)=l.

對于ye[0,1),有

=P{ifx-1<y}=P{X<(y+l)3}

=/[()'+1尸]=y.

0,若y<0,

于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為G(y)="y,若0Wy<1,

1,若yNl.

【評注】事實上，此題X為任意連續(xù)型隨機變量均可，此時Y=F(X)仍服從均勻分布：

當(dāng)y<0時,G(y)=O;

當(dāng)y21時，G(y)=l;

當(dāng)04y<1時，G(y)=P{Y<y}=P{F(X)<j}

=P[X<F''(y)}

=F(F-'(y))=y.

十二、(此題總分值13分)

設(shè)隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為X~|12|,

(0.30.7)

而Y的概率密度為f(y),求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).

【分析】求二維隨機變量函數(shù)的分布，一般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率.注意X只有兩個可能

的取值，求概率時可用全概率公式進展計算.

【詳解】設(shè)F(y)是Y的分布函數(shù)，那么由全概率公式，知1^*+丫的分布函數(shù)為

=0.3P{X+Y<u\X=1}+0.7尸{X+丫<"X=2}

=0.3P{y<M-I|x=l}+0.7P{y<M-2|X=2}.

由于X和Y獨立，可見

G(u)=O.3P{Y<u-\}+0.7P{Y<u-2}

=0.3F(u-l)+0.7F(i/-2).

由此，得U的概率密度

=0.3/(?—1)+0.7/(?—2).

【評注】此題屬新題型，求兩個隨機變量和的分布，其中一個是連續(xù)型一個是離散型，要求用全概率

公式進展計算，類似問題以前從未出現(xiàn)過，具有一定的難度和綜合性.

2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題

一、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上)

(1)假設(shè)lim'''(cose—。)=5,那么。=______,b-______.

xf0ex—a

(2)設(shè)函數(shù)f(u,v)由關(guān)系式/[xg(y),y]=x+g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y)xO,那么''=

dudv

11-1

X€,-----<XV一

⑶設(shè)/(x)=<22，那么J,f{x—V)dx=

-1,x>—2

2

二次型“七，》22的秩為.

(4)2，%)=(±+X2)+(x2-x3)+(x3+1)2

⑸設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，那么P{X>&51)=.

(6)設(shè)總體X服從正態(tài)分布NO1,。?)，總體y服從正態(tài)分布N(M2，/),X1,X2,…X,,,和幾為,…匕,分

別是來自總體x和y的簡單隨機樣本，那么

?,_2nl_2

￡(x,-X)+Z化-丫)

Ei=lj=l

勺+%一2

二、選擇題(此題共6小題，每題4分，總分值24分.每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,

把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))

⑺函數(shù)/(x)=Ulsin(x-2)在以下哪個區(qū)間內(nèi)有界.

x(x—l)(x—2)

(A)(-1,0).(B)(0zl).(C)(lz2).(D)(2,3).[]

(8)設(shè)/(x)在(-00,+8)內(nèi)有定義，且lim/(x)=a,g(x)='5*,°,那么

Xi?6,x=0

(A)x=0必是g(x)的第一類連續(xù)點.(B)x=0必是g(x)的第二類連續(xù)點.

(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點.

(D)g(x)在點x=0處的連續(xù)性與。的取值有關(guān).[]

(9)設(shè)f(x)=|x(l-x)|,那么

(A)x=0是Ox)的極值點,但(0,0)不是曲線y=/(x)的拐點.

(B)x=O不是/(x)的極值點，但(0,0)是曲線y=/(x)的拐點.

(C)x=0是f(x)的極值點，且(0,0)是曲線y=f(x)的拐點.

(D)x=0不是/(x)的極值點，(0,0)也不是曲線y=/(x)的拐點.[]

(10)設(shè)有以下命題：

0000

(1)假設(shè)Z(“2"T+〃2”)收斂，那么?>"收斂.

〃=1/7=1

oo8

⑵假設(shè)?>”收斂，那么\>"+1000收斂.

n=\n=\

00

(3)假設(shè)lim殳紅>1,那么發(fā)散

〃一>8U?,

(4)假設(shè)￡(〃“+%)收斂，那么￡““，￡%都收斂.

n=l72=1n=l

那么以上命題中正確的選項是

(A)(1)(2).(B)(2)⑶.。⑶⑷.(D)⑴⑷.[]

(11)設(shè)尸(x)在[a,b]上連續(xù)，且/'(a)>0"'S)<0,那么以下結(jié)論中錯誤的選項是

(A)至少存在一點X。€(4/),使得/(而)>/(。).

(B)至少存在一■點e(a/),使得/(與)>/(幼.

(C)至少存在一點&e(a,b),使得。(而)=0.

(D)至少存在一點x()e(a,。)，使得/(心)=0.[D]

(12)設(shè)"階矩陣A與8等價，那么必有

(A)當(dāng)|4|=“(4工0)時，|3|=4.(B)當(dāng)|*=4(4工0)時，|8|=-4.

(C)當(dāng)|A|#0時，|B|=0.(D)當(dāng)|A|=0時，|B|=0.[]

(13)設(shè)〃階矩陣A的伴隨矩陣A*H0,假設(shè)百，3，。3，或是非齊次線性方程組Ar=6的

互不相等的解，那么對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的根底解系

(A)不存在.(B)僅含一個非零解向量.

(C)含有兩個線性無關(guān)的解向量.(D)含有三個線性無關(guān)的解向量.[]

(14)設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,l),對給定的ae(0,l),數(shù)〃“滿足P{X>〃“}=%

假設(shè)口|X|<x}=a,那么x等于

(A)ua.(B)(C)〃4.(D)H1_a.[]

2~2~2

三、解答題(此題共9小題，總分值94分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(15)(此題總分值8分)

2

.1cosX、

求hm(-z----------廠).

xfOsinx

(16)(此題總分值8分)

求JJ(&+,2+y)db，其中。是由圓f=4和1++y2=i所圍成的

D

平面區(qū)域(如圖).

(17)(此題總分值8分)

設(shè)/(x),g(x)在［a,句上連續(xù),且滿足

ftCX

\f(t)dt>\g(t)dt,xe［a,b)

JaJa

證明：［bxf{x}dx<xg{x}dx.

JaJa

(18)(此題總分值9分)

設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=100-5P,其中價格Pe(0,20),Q為需求量.

(I)求需求量對價格的彈性場(紇