期權(quán)金融工程

第四章期權(quán)金融工程本章主要內(nèi)容期權(quán)與期權(quán)市場的基本概念期權(quán)工具的復(fù)制與合成期權(quán)價格分析期權(quán)的定價期權(quán)的運(yùn)用與交易策略期權(quán)的風(fēng)險管理2023/3/8Copyright?PeiZhang,20132第一節(jié)期權(quán)與期權(quán)市場一、期權(quán)的基本概念期權(quán)（option）是賦予其購買者在規(guī)定期限內(nèi)按雙方約定的價格（簡稱執(zhí)行價格，exerciseprice或strikeprice）購買或出售一定數(shù)量某種資產(chǎn)（稱為標(biāo)的資產(chǎn)，underlyingassets）的權(quán)利的合約。期權(quán)的購買者必須向期權(quán)的賣出者支付一筆費(fèi)用（期權(quán)費(fèi)、期權(quán)價格）后才能獲得上述權(quán)利。2023/3/8Copyright?PeiZhang,20133（一）期權(quán)的買方與買方期權(quán)的買方向賣方支付期權(quán)費(fèi)獲得權(quán)利，賣方收到期權(quán)費(fèi)只有義務(wù)沒有權(quán)利。（二）歐式期權(quán)與美式期權(quán)歐式期權(quán)的持有者只有在到期日才能執(zhí)行期權(quán)（即行使買進(jìn)或賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利），而美式期權(quán)的持有者可以在期權(quán)到期前的任何時間執(zhí)行期權(quán)。2023/3/8Copyright?PeiZhang,20134（三）看漲期權(quán)與看跌期權(quán)看漲期權(quán)（calloption）是賦予期權(quán)的購買者買入標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利；看跌期權(quán)（putoption）是賦予期權(quán)的購買者賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。例：某投資者購買了一份基于100股e-Bay股票的歐式看漲期權(quán)，期限為4個月，執(zhí)行價格為100美元，當(dāng)前股票價格為98美元，期權(quán)費(fèi)為1股5美元。2023/3/8Copyright?PeiZhang,20135問題的分析：如果股票價格在到期日低于100美元，期權(quán)的買方是否會行使權(quán)利？（答案：否）如果股票價格在到期日高于100美元（例如115美元），期權(quán)的買方是否會行使權(quán)利？（答案：是）2023/3/8Copyright?PeiZhang,20136801007012011090130收益（美元）-510200最終股票價格（美元）購買1股eBay股票的歐式看漲期權(quán)的損益圖（期權(quán)價格=5美元，執(zhí)行價格=100美元）2023/3/8Copyright?PeiZhang,20137例：某投資者購買了一份基于100股IBM股票的歐式看跌期權(quán)，執(zhí)行價格為70美元，當(dāng)前股票價格為65美元，距離到期日有3個月，期權(quán)價格為7美元如果股票價格在到期日低于70美元，期權(quán)的買方是否會行使權(quán)利？（答案：是）如果股票價格在到期日高于70美元期權(quán)的買方是否會行使權(quán)利？（答案：否）2023/3/8Copyright?PeiZhang,20138507040908060100收益（美元）-710200最終股票價格（美元）購買1股IBM股票的歐式看跌期權(quán)的損益圖（期權(quán)價格=5美元，執(zhí)行價格=70美元）2023/3/8Copyright?PeiZhang,20139期權(quán)的四種頭寸2023/3/8Copyright?PeiZhang,201310（四）期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)1、實(shí)物資產(chǎn)2、金融資產(chǎn)（1）股票期權(quán)（2）股票價格指數(shù)期權(quán)（3）期貨期權(quán)（4）利率期權(quán)（5）貨幣期權(quán)（外匯期權(quán)）2023/3/8Copyright?PeiZhang,201311二、期權(quán)市場（一）期權(quán)的產(chǎn)生與發(fā)展17世紀(jì)：郁金香狂熱18、19世紀(jì)：美國和歐洲農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)交易19世紀(jì)：股票期權(quán)在美國誕生2023/3/8Copyright?PeiZhang,201312由場外市場向場內(nèi)市場發(fā)展1973年4月26日：標(biāo)準(zhǔn)化期權(quán)合約第一次出現(xiàn)期權(quán)定價的理論突破期權(quán)交易限制的放松1982年：長期國債期貨期權(quán)1983年1月：S&P500股票指數(shù)期權(quán)1984年至1986年：大豆、玉米、小麥期貨期權(quán)2023/3/8Copyright?PeiZhang,201313（二）期權(quán)交易所（一）專門的期權(quán)交易所芝加哥期權(quán)交易所（CBOE）（約占交易總量的1/3）國際證券交易所（ISE）期權(quán)市場（約占30%）（二）依托股票交易所進(jìn)行期權(quán)交易費(fèi)城股票交易所（PHLX）（13%）美國股票交易所（AMEX）（10%）（三）依托期貨交易所進(jìn)行COBT、CMEICE：洲際交易所KCBT：堪薩斯商品交易所MGE：明尼蘇達(dá)谷物交易所NYME：紐約商品交易所2023/3/8Copyright?PeiZhang,201314（三）期權(quán)市場發(fā)展的趨勢“量身定做”——場外市場的競爭優(yōu)勢奇異期權(quán)交易所交易產(chǎn)品的靈活化交易所之間的合作加強(qiáng)2023/3/8Copyright?PeiZhang,201315各交易所的主要交易品種CBOE股票期權(quán)、期貨期權(quán)、國債期權(quán)等ISE股票期權(quán)、期貨期權(quán)、外匯期權(quán)等PHLX股票、股指、外匯、期貨期權(quán)、商品期權(quán)AMEX股票期權(quán)、股指期權(quán)CBOT農(nóng)產(chǎn)品、股指期貨期權(quán)CME農(nóng)產(chǎn)品、股指、外匯期權(quán)期權(quán)ICE同上KCBT農(nóng)產(chǎn)品、股指期權(quán)期權(quán)MGE農(nóng)產(chǎn)品期貨期權(quán)NYME能源期貨期權(quán)2023/3/8Copyright?PeiZhang,201316三、期權(quán)市場的交易機(jī)制2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013172023/3/8Copyright?PeiZhang,201318（二）標(biāo)準(zhǔn)化的期權(quán)合約1、交易單位（合約規(guī)模）例如：股票期權(quán)（100股股票）、股票指數(shù)期權(quán)（標(biāo)的指數(shù)的100倍）、外匯期權(quán)（31250英鎊、62500歐元）2、執(zhí)行價格中心執(zhí)行價格與級距（intervals）2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013193、期權(quán)時間（1）到期月：3個月循環(huán)規(guī)則4個到期月（2）到期日（例如：CBOE股票期權(quán)的到期日為到期月第三個星期五之后緊隨的那個星期六美國東部時間下午5:00）（3）最后交易日：與到期日緊密相連，是交易者可以進(jìn)行交易的最后日期（4）執(zhí)行日：期權(quán)買方可以執(zhí)行期權(quán)的日期2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013204、紅利和股票分割派發(fā)現(xiàn)金紅利對期權(quán)不產(chǎn)生影響進(jìn)行股票分割（配股）對期權(quán)產(chǎn)生影響：m股分割為n股，執(zhí)行價格將為原來執(zhí)行價格的m/n2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013215、交割（1）平倉：與期貨一樣（2）交割：買方選擇執(zhí)行或不執(zhí)行（期權(quán)交割的比例比期貨高得多）（3）交割方式現(xiàn)貨期權(quán)：對標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行實(shí)際交收指數(shù)期權(quán)：按執(zhí)行價格與市場價格之差以現(xiàn)金進(jìn)行結(jié)算期貨期權(quán)：買方獲得期貨頭寸+執(zhí)行價格與期貨價格之間的差額2023/3/8Copyright?PeiZhang,201322（三）期權(quán)的交易制度1、頭寸限額（positionlimit）每個投資者所能持有的期權(quán)頭寸在最大限額2、執(zhí)行限額（exerciselimit）一個期權(quán)買方在規(guī)定時間內(nèi)所能執(zhí)行的期權(quán)合約的最大限額2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013233、買賣指令（1）買入建倉（2）賣出建倉（3）買入平倉（4）賣出平倉2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013244、清算制度與保證金制度（1）期權(quán)交易的清算期權(quán)交易所內(nèi)完成的期權(quán)交易必須通過期權(quán)清算公司（OCC）進(jìn)行清算和交割，OCC由會員組成。會員必須滿足最低資本額度的要求，繳納特種基金；若有任一會員無法提供需要的資金，使用特種基金進(jìn)行支付。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013252023/3/8Copyright?PeiZhang,201326投資者A投資者B經(jīng)紀(jì)公司甲經(jīng)紀(jì)公司乙代理清算公司（OCC會員）代理清算公司（OCC會員）OCC（2）期權(quán)執(zhí)行的實(shí)施當(dāng)期權(quán)需要執(zhí)行時，投資者要通知經(jīng)紀(jì)人，經(jīng)紀(jì)人通知負(fù)責(zé)通知OCC清算會員，會員向OCC發(fā)出執(zhí)行指令，OCC隨機(jī)選擇持有相同期權(quán)空頭的會員，會員選擇某個特定出售期權(quán)的投資者。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201327（3）保證金（margin）制度期權(quán)空方在開始期權(quán)交易時要求交納初始保證金，并規(guī)定維持保證金水平，在價格出現(xiàn)不利變化時，投資者需要追加保證金。清算所向會員收取，會員向經(jīng)紀(jì)公司收取，經(jīng)紀(jì)公司向投資者收取。1）有擔(dān)保的期權(quán)（100%保證金要求）2）無擔(dān)保的期權(quán)（A、B較大的一個值）A、出售期權(quán)的期權(quán)費(fèi)加上期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價值的20%減去期權(quán)處于虛值狀態(tài)的數(shù)額B、出售期權(quán)的期權(quán)費(fèi)加上標(biāo)的資產(chǎn)價值的10%2023/3/8Copyright?PeiZhang,201328假設(shè)某個股票看漲期權(quán)的相關(guān)參數(shù)是：股票市價為15美元，執(zhí)行價格為20美元，期權(quán)費(fèi)為1美元，則按照A、B公式計算出來的結(jié)果分別為：A：-100美元B：250美元則期權(quán)的賣者要向經(jīng)紀(jì)公司繳納150美元初始保證金（100美元期權(quán)費(fèi)可以沖抵保證金）2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013295、期權(quán)的報價2023/3/8Copyright?PeiZhang,201330四、權(quán)證（Warrants)權(quán)證是發(fā)行人（一般是上市公司或投資銀行）與持有者之間的一種契約，持有者有權(quán)在約定的時間按約定的價格向發(fā)行人購買或賣出一定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)（通常是股票）認(rèn)購權(quán)證與認(rèn)沽權(quán)證股本權(quán)證與備兌權(quán)證2023/3/8Copyright?PeiZhang,201331股本權(quán)證與股票期權(quán)的區(qū)別：發(fā)行環(huán)節(jié)數(shù)量是否有限是否影響總股本2023/3/8Copyright?PeiZhang,201332期權(quán)工具的復(fù)制與合成2023/3/8Copyright?PeiZhang,201333CK例子：假設(shè)現(xiàn)在股票價格為20元，3個月后股票價格會上漲到22元或者18元，基于該股票的歐式看漲期權(quán)的執(zhí)行價格為21元，3個月連續(xù)復(fù)利無風(fēng)險利率為12%，如何對上述期權(quán)的現(xiàn)金流進(jìn)行復(fù)制？答案：1份期權(quán)多頭=0.25只股票+4.367元借款0.25只股票+1份期權(quán)空頭=4.367元貸款（無風(fēng)險投資）2023/3/8Copyright?PeiZhang,201334第二節(jié)期權(quán)價格分析期權(quán)的損益圖期權(quán)價值的構(gòu)成期權(quán)價格的影響因素期權(quán)價格的性質(zhì)2023/3/8Copyright?PeiZhang,201335一、期權(quán)的損益圖（一）期權(quán)到期的損益圖（不考慮期權(quán)費(fèi)，執(zhí)行價格為40元的歐式股票看漲期權(quán)買方）2023/3/8Copyright?PeiZhang,201336204060801000204060期權(quán)價值股票價格不考慮期權(quán)費(fèi)，執(zhí)行價格為40元的歐式股票看跌期權(quán)買方：2023/3/8Copyright?PeiZhang,201337204060801000204060期權(quán)價值股票價格（二）期權(quán)到期回報公式期權(quán)類型到期回報公式公式分析看漲期權(quán)（買方）若到期價格高于執(zhí)行價格，買方執(zhí)行期權(quán)獲得收益，否則不執(zhí)行，回報為零看漲期權(quán)（賣方）若買方執(zhí)行期權(quán)獲得收益，賣方損失，若買方不執(zhí)行，賣方收益為零看跌期權(quán)（買方）若到期價格低于執(zhí)行價格，買方執(zhí)行期權(quán)獲得收益，否則不執(zhí)行，回報為零看跌期權(quán)（賣方）若買方執(zhí)行期權(quán)獲得收益，賣方損失，若買方不執(zhí)行，賣方收益為零2023/3/8Copyright?PeiZhang,201338（三）期權(quán)未到期的損益圖以歐式看漲期權(quán)為例（不考慮期權(quán)費(fèi)）：期權(quán)價值標(biāo)的資產(chǎn)價格執(zhí)行價格期權(quán)到期價值線期權(quán)未到期價值線S45度角2023/3/839Copyright?PeiZhang,2013二、期權(quán)價值的構(gòu)成（一）內(nèi)在價值期權(quán)的內(nèi)在價值是0與期權(quán)買方行使期權(quán)時獲得收益的貼現(xiàn)值的較大值。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201340期權(quán)的內(nèi)在價值頭寸內(nèi)在價值看漲期權(quán)歐式無收益有收益美式無收益有收益看跌期權(quán)歐式無收益有收益美式無收益有收益2023/3/8Copyright?PeiZhang,201341（二）實(shí)值期權(quán)、平價期權(quán)與虛值期權(quán)1、實(shí)值期權(quán)（inthemoney）2、虛值期權(quán)（outofthemoney）3、平價期權(quán)（atthemoney）2023/3/8Copyright?PeiZhang,201342（三）期權(quán)的時間價值指期權(quán)尚未到期時，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。例如：2007年8月31日，1份以通用電氣股票為標(biāo)的資產(chǎn)執(zhí)行價格為40美元、到期日為9月22日的美式看跌期權(quán)價格為0.35元，8月31日通用電氣股票價格為38.5元距離期權(quán)到期時間越長，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率越大，期權(quán)時間價值越大。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201343（四）期權(quán)時間價值與內(nèi)在價值的關(guān)系期權(quán)時間價值受內(nèi)在價值的影響，在平價點(diǎn)時間價值達(dá)到最大，隨期權(quán)實(shí)值程度和虛值程度增加而遞減。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201344三、期權(quán)價格的影響因素（一）標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格對于看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)市場價格越高、協(xié)議價格越低，看漲期權(quán)的價格就越高。對于看跌期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)市場價格越低、協(xié)議價格越高，看跌期權(quán)的價格就越高。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201345（二）期權(quán)的有效期對于美式期權(quán)而言，有效期越長，期權(quán)價格越高。一般情況下（剔除標(biāo)的資產(chǎn)支付大量收益的情形），有效期越長，期權(quán)的價格也越高。原因1：風(fēng)險原因2：保險2023/3/846Copyright?PeiZhang,2013（三）標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率波動率越大，期權(quán)到期時，標(biāo)的資產(chǎn)市場價格漲跌達(dá)到實(shí)值的可能性就越大。無論是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，時間價值以及整個期權(quán)價格都隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率的增大而增大，隨著標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率的減小而降低。2023/3/847Copyright?PeiZhang,2013（四）無風(fēng)險利率利率的變動對于看漲期權(quán)有正向的影響，對看跌期權(quán)價格有反向的影響原因：利率越高，資產(chǎn)的預(yù)期收益率也較高，于是未來預(yù)期價格也較高。同時，由于貼現(xiàn)率較高，這兩種效應(yīng)會降低看跌期權(quán)的價值。但對于看漲期權(quán)來說，前者使其上升，后者使其下降，前者效應(yīng)大于后者，故看漲期權(quán)價格較高。2023/3/848Copyright?PeiZhang,2013（五）標(biāo)的資產(chǎn)的收益在期權(quán)有效期內(nèi)，標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生現(xiàn)金收益將使看漲期權(quán)價格下降，而是看跌期權(quán)價格上升。2023/3/849Copyright?PeiZhang,2013影響期權(quán)價格的主要因素

（匯總）變量歐式看漲歐式看跌美式看漲美式看跌標(biāo)的資產(chǎn)市場價格+-+-期權(quán)協(xié)議價格-+-+有效期？？++標(biāo)的資產(chǎn)價格波動率++++無風(fēng)險利率+-+-紅利-+-+2023/3/850Copyright?PeiZhang,2013四、期權(quán)價格的性質(zhì)（一）期權(quán)價格的上限1、看漲期權(quán)價格的上限在任何情況下，看漲期權(quán)的價格不會超過其標(biāo)的資產(chǎn)的價格。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013512、看跌期權(quán)價格的上限（1）美式看跌期權(quán)的價格不會高于其執(zhí)行價格（2）歐式看跌期權(quán)的價格不會高于執(zhí)行價格的現(xiàn)值2023/3/8Copyright?PeiZhang,201352（二）期權(quán)價格的下限（標(biāo)的資產(chǎn)無收益）1、歐式看漲期權(quán)的下限考慮以下兩個組合：組合A：一份歐式期權(quán)加上金額為的現(xiàn)金組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)結(jié)論：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013532、歐式看跌期權(quán)價格的下限考慮以下兩個組合：組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)組合D：金額為的現(xiàn)金。結(jié)論：2023/3/8Copyright?PeiZhang,201354期權(quán)價格上下限總結(jié)上限下限看漲期權(quán)歐式無收益有收益美式無收益有收益看跌期權(quán)歐式無收益有收益美式無收益有收益2023/3/8Copyright?PeiZhang,201355（三）美式期權(quán)是否會提前執(zhí)行1、標(biāo)的資產(chǎn)無收益的美式期權(quán)結(jié)論：提前行使標(biāo)的資產(chǎn)無收益的美式看漲期權(quán)永遠(yuǎn)不會是最佳選擇提前行使標(biāo)的資產(chǎn)無收益的美式看跌期權(quán)有時可能是最優(yōu)的2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013562、標(biāo)的資產(chǎn)有收益的美式期權(quán)在標(biāo)的資產(chǎn)有收益的情況下，無論是看漲期權(quán)還是看跌期權(quán)，美式期權(quán)都有可能提前執(zhí)行2023/3/8Copyright?PeiZhang,201357（四）看漲、看跌期權(quán)平價公式考慮以下兩個組合：組合A：一個歐式看漲期權(quán)加上數(shù)量為的現(xiàn)金；組合C：一個歐式看跌期權(quán)加上一只股票以上兩個組合在到期時的價值均為：組合A和組合C在今天必須具有相同的價值，這意味著：2023/3/858Copyright?PeiZhang,2013第三節(jié)期權(quán)的定價期權(quán)定價是圍繞著期權(quán)的買方為了獲得權(quán)利（而不是義務(wù)）應(yīng)該向期權(quán)的賣方事先支付多少費(fèi)用而展開的。也可以理解為權(quán)利的價值或者期權(quán)的價值。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201359期權(quán)定價的基本思路之一描述標(biāo)的資產(chǎn)價格變化（幾何布朗運(yùn)動）描述期權(quán)價格的變化（Ito引理）構(gòu)造期權(quán)的復(fù)制組合（金融工程基本思想）得到期權(quán)定價方程（偏微分方程）解偏微分方程（數(shù)學(xué)技巧）2023/3/8Copyright?PeiZhang,201360一、標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的描述

（以股票價格為例）離散情形：二叉樹模型（BinomialTree）連續(xù)情形：幾何布朗運(yùn)動（

GeometricBrownianMotion）2023/3/8Copyright?PeiZhang,201361（一）二叉樹模型基本思想：用樹圖描述股票價格在期權(quán)有效期內(nèi)可能遵循的路徑。假定股票價格服從隨機(jī)游走（randomwalk)，價格上升和下降有一定的概率。在二叉樹的步長足夠小時，離散情形轉(zhuǎn)換為連續(xù)情形。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013621、單步二叉樹模型例：假設(shè)一只股票當(dāng)前價格為20元，3個月后的價格可能為22元或18元，我們對3個月后以21元執(zhí)行價格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行估值。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201363股票價格變動圖2023/3/8Copyright?PeiZhang,201364···股票價格=20元期權(quán)價格=？股票價格=18元期權(quán)價格=0元股票價格=22元期權(quán)價格=1元思路1：未來現(xiàn)金流折現(xiàn)用期權(quán)在到期日時的價值進(jìn)行貼現(xiàn)→不知道到期日兩種情形的概率分布，也不知道貼現(xiàn)率。思路2：復(fù)制的思想（積木分析法）用其他資產(chǎn)組合復(fù)制期權(quán)的現(xiàn)金流，通過計算資產(chǎn)組合的價值計算期權(quán)的價值。什么樣的資產(chǎn)可以復(fù)制期權(quán)的現(xiàn)金流？2023/3/865Copyright?PeiZhang,2013考慮一個由x只股票的長頭寸和一份看漲期權(quán)短頭寸構(gòu)成的交易組合。當(dāng)股票價格由20變?yōu)?2時，證券組合的整體價值為22

x-1；當(dāng)股票價格由20變?yōu)?8時，組合價值為18

x。讓組合在以上兩種情形相等時，該組合不具有任何風(fēng)險，這意味著：22

x-1=18

x即：x=0.25無風(fēng)險交易組合為：多頭：0.25只股票空頭：1份期權(quán)2023/3/866Copyright?PeiZhang,2013無論股票價格上漲到22元還是下跌到18元，組合的價格相等（為4.5元）。在無套利的情況下，無風(fēng)險證券組合的收益率必定為無風(fēng)險收益率，假設(shè)無風(fēng)險收益率為每年12%，所以組合的現(xiàn)值一定是4.5元的現(xiàn)值，即：2023/3/8Copyright?PeiZhang,201367于是：2023/3/8Copyright?PeiZhang,201368結(jié)論的一般化考慮一個價格為S0的股票，基本該股票的某個期權(quán)當(dāng)前價格為f，期權(quán)到期日為T，在期權(quán)到期日，股票價格或者向上運(yùn)動到S0u（u>1），或者向下運(yùn)動到S0d（d<1），對應(yīng)的期權(quán)價值為fu和fd，求期權(quán)在期權(quán)的價值。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201369其中：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013702、兩步二叉樹2023/3/8Copyright?PeiZhang,201371··股票價格=20元期權(quán)價格=？股票價格=19.8元期權(quán)價格=0元股票價格=24.2元期權(quán)價格=3.2元···股票價格=16.2元期權(quán)價格=0元股票價格=22元期權(quán)價格=？元股票價格=18元期權(quán)價格=？元·兩步二叉樹的一般化2023/3/8Copyright?PeiZhang,201372美式看跌期權(quán)定價2023/3/873Copyright?PeiZhang,20133、多步二叉樹2023/3/874Copyright?PeiZhang,2013（二）幾何布朗運(yùn)動股票價格連續(xù)變動過程的描述（用什么樣的隨機(jī)過程進(jìn)行描述？）→幾何布朗運(yùn)動股票衍生產(chǎn)品價格變動過程的描述（伊藤引理）通過無套利關(guān)系構(gòu)造偏微分方程解偏微分方程得到期權(quán)定價公式2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013751、馬爾科夫過程（MarkovProcess）安德烈·安德列耶維奇·馬爾科夫（1856－1922）。中學(xué)時代馬爾科夫被送到彼得堡第五中學(xué)。1874年，馬爾科夫考入了彼得堡大學(xué)數(shù)學(xué)系，1878年，馬爾科夫以優(yōu)異成績畢業(yè)并留校任教。出于擴(kuò)大極限定理應(yīng)用范圍的目的，馬爾科夫開始考慮相依隨機(jī)變量序列的規(guī)律，1906年他在《大數(shù)定律關(guān)于相依變量的擴(kuò)展》一文中，第一次提到如同鎖鏈般環(huán)環(huán)相扣的隨機(jī)變量序列，其中某個變量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一個變量來決定，而與它更前面的那些變量無關(guān)。這就是被后人稱作馬爾科夫鏈的著名概率模型。2023/3/876Copyright?PeiZhang,2013用一個通俗的比喻來形容，一只被切除了大腦的白鼠在若干個洞穴間的躥動就構(gòu)成一個馬爾科夫鏈。因?yàn)檫@只白鼠已沒有了記憶，瞬間而生的念頭決定了它從一個洞穴躥到另一個洞穴；當(dāng)其所在位置確定時，它下一步躥往何處與它以往經(jīng)過的路徑無關(guān)。用前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽（1894－1959）的話來說，就是承認(rèn)客觀世界中有這樣一種現(xiàn)象，其未來由現(xiàn)在決定的程度，使得我們關(guān)于過去的知識絲毫不影響這種決定性。這種在已知“現(xiàn)在”的條件下，“未來”與“過去”彼此獨(dú)立的特性就被稱為馬爾科夫性，具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過程就叫做馬爾科夫過程，其最原始的模型就是馬爾科夫鏈。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201377在他的工作之前或同時，一些馬爾科夫鏈或更復(fù)雜的隨機(jī)過程的例子已出現(xiàn)在某些人的研究中，只不過這些人沒有自覺地認(rèn)識到這類模型的普遍意義或用精確的數(shù)學(xué)語言表述出來罷了。例如蘇格蘭植物學(xué)家布朗(R.Brown,1773－1858)于1827年發(fā)現(xiàn)的懸浮微粒的無規(guī)則運(yùn)動、英格蘭遺傳學(xué)家高爾頓（F.Galton,1822－1911)于1889年提出的家族遺傳規(guī)律、荷蘭物理學(xué)家埃倫費(fèi)斯特(P.Ehrenfest,1880－1933)于1907年關(guān)于容器中分子擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)，以及傳染病感染的人數(shù)，謠言的傳播，原子核中自由電子的躍遷，人口增長的過程等等，都可用馬爾科夫鏈或過程來描述。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201378他統(tǒng)計了長詩《葉甫蓋尼·奧涅金》中元音字母和輔音字母交替變化的規(guī)律：這是長詩開頭的兩句，意為：“我不想取悅驕狂的人生，只希望博得朋友的欣賞?！卑呀Y(jié)果與按照俄語拼音規(guī)則計算出的結(jié)果進(jìn)行比較，證實(shí)了語言文字中隨機(jī)的（從概率的意義上講）字母序列符合他所建立的概率模型。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201379只有標(biāo)的變量的當(dāng)前值與未來的預(yù)測有關(guān)，變量的歷史值以及從過去到現(xiàn)在的演變方式與未來的預(yù)測無關(guān)。例如：IBM公司的股票當(dāng)前價格為100美元，如果股票價格服從馬爾科夫過程，那么以前的股票價格都不會影響我們對將來的預(yù)測，對于預(yù)測唯一有用的信息是當(dāng)前價格100美元。弱式有效市場（股票價格包含過去價格的所有信息）2023/3/8Copyright?PeiZhang,201380舉例考慮一個遵循馬爾科夫過程的變量，該變量當(dāng)前的價值為10，1年內(nèi)變量價值的變化服從概率分布，那么兩年內(nèi)變量價值變化服從什么樣的概率分布？2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013812、維納過程（WienerProcess）若一個隨機(jī)過程Z（t）滿足Z是獨(dú)立增量過程對于任意S，t，

是關(guān)于t的連續(xù)函數(shù)

則稱Z（t）為維納過程這個過程在物理學(xué)中描述某個粒子受到大量小分子碰撞的運(yùn)動，因此被稱為布朗運(yùn)動（BrownianMotion）。2023/3/882Copyright?PeiZhang,2013維納的全名是諾伯特·維納(NorbertWiener，1894-1964)是美國數(shù)學(xué)家，控制論的創(chuàng)始人。在其50年的科學(xué)生涯中，先后涉足哲學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)，最后轉(zhuǎn)向生物學(xué)，在各個領(lǐng)域中都取得了豐碩成果，稱得上是恩格斯頌揚(yáng)過的、本世紀(jì)多才多藝和學(xué)識淵博的科學(xué)巨人。他一生發(fā)表論文240多篇，著作14本。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201383維納趣事在博士學(xué)位的授予儀式上，執(zhí)行主席看到一臉稚氣的維納，頗為驚訝，于是就當(dāng)面詢問他的年齡。維納不愧為數(shù)學(xué)神童，他的回答十分巧妙：“我今年歲數(shù)的立方是個四位數(shù)，歲數(shù)的四次方是個六位數(shù)，這兩個數(shù)，剛好把十個數(shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了，不重不漏。這意味著全體數(shù)字都向我俯首稱臣，預(yù)祝我將來在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里一定能干出一番驚天動地的大事業(yè)?！?023/3/8Copyright?PeiZhang,201384其實(shí)這個問題不難解答，但是需要一點(diǎn)數(shù)字“靈感”。不難發(fā)現(xiàn)，21的立方是四位數(shù)，而22的立方已經(jīng)是五位數(shù)了，所以維納的年齡最多是21歲；同樣道理，18的四次方是六位數(shù)，而17的四次方則是五位數(shù)了，所以維納的年齡至少是18歲。這樣，維納的年齡只可能是18、19、20、21這四個數(shù)中的一個。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201385搬家趣事一次維納喬遷，妻子熟悉維納的方方面面，搬家前一天晚上再三提醒他。她還找了一張便條，上面寫著新居的地址，并用新居的房門鑰匙換下舊房的鑰匙。第二天維納帶著紙條和鑰匙上班去了。白天恰有一人問他一個數(shù)學(xué)問題，維納把答案寫在那張紙條的背面遞給人家。晚上維納習(xí)慣性地回到舊居。他很吃驚，家里沒人。從窗子望進(jìn)去，家具也不見了。掏出鑰匙開門，發(fā)現(xiàn)根本對不上齒。于是使勁拍了幾下門，隨后在院子里踱步。突然發(fā)現(xiàn)街上跑來一小女孩。維納對她講：“小姑娘，我真不走運(yùn)。我找不到家了，我的鑰匙插不進(jìn)去，請幫我找個鎖匠吧！。”小女孩說道：“爸爸，沒錯。媽媽讓我來找你又找對了?！?023/3/8Copyright?PeiZhang,201386維納過程的兩個性質(zhì)性質(zhì)1：變量與小時間區(qū)間之間滿足：其中，性質(zhì)2：對于任何兩個不同的時間間隔，、相互之間獨(dú)立。（馬爾科夫性質(zhì)）

2023/3/887Copyright?PeiZhang,2013考慮以一段相對較長的時間段T內(nèi)變量Z的變化：，將這一變化看成N個長度為的小時間段內(nèi)變量Z的變化總和，即：

因此：極限形式的表達(dá):2023/3/888Copyright?PeiZhang,2013例12.1假設(shè)一個遵循維納過程的變量z的初值為25，以年為單位計。在第1年末，變量值服從均值為25、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正態(tài)分布；第5年末，服從均值為25、標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201389

取值不同對于維納過程的影響2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013903、廣義維納過程變量x的廣義維納過程定義如下：其中，a、b為常數(shù)a：漂移率

：方差率2023/3/891Copyright?PeiZhang,2013例12.2某公司現(xiàn)金頭寸遵循廣義維納過程，每年漂移為20，每年方差率為900。最初現(xiàn)金頭寸為50。第1年末現(xiàn)金頭寸將具有正態(tài)分布，均值為70，標(biāo)準(zhǔn)差為，6個月末具有正態(tài)分布，均值為60，標(biāo)準(zhǔn)差為30=21.21。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201392廣義維納過程（a=0.3和b=1.5）2023/3/893Copyright?PeiZhang,20134、伊藤過程（Itoprocess）一種更為廣義的維納過程：其中，a，b均為變量x和時間t的函數(shù)。2023/3/894Copyright?PeiZhang,2013伊藤清（1915年9月7日－2008年11月10日），日本數(shù)學(xué)家，日本學(xué)士院院士。為解釋布朗運(yùn)動等伴隨偶然性的自然現(xiàn)象，伊藤清提出了伊藤公式，這成為隨機(jī)分析這個數(shù)學(xué)新分支的基礎(chǔ)定理。伊藤的成果于20世紀(jì)80年代以后在金融領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，他因此被稱為“華爾街最有名的日本人”。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013955、股票價格運(yùn)動過程的描述假設(shè)1：期望收益率（即期望漂移率除以股票價格）為常數(shù)。因此有：假設(shè)2：在一個較短的時間后，股票價格的百分比收益的波動率為常數(shù)：幾何布朗運(yùn)動2023/3/896Copyright?PeiZhang,2013例：考慮某無股息股票，其波動率為每年30%，連續(xù)復(fù)利預(yù)期收益率為15%，

。股票價格過程為：

用增量表示即為：2023/3/897Copyright?PeiZhang,2013蒙特卡洛模擬法2023/3/898Copyright?PeiZhang,2013二、描述期權(quán)價格的變化任何一種金融衍生品的價格都是標(biāo)的資產(chǎn)價格和時間的函數(shù)。2023/3/8Copyright?PeiZhang,201399伊藤引理假設(shè)隨機(jī)變量x的值遵循Ito過程：股票期權(quán)的價格滿足：則：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013100股票價格的分布性質(zhì)假設(shè)股票價格遵循幾何布朗運(yùn)動，即：求服從的分布？（lnS是股票的連續(xù)復(fù)利收益率）2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013101如果股票價格服從幾何布朗運(yùn)動，則有：也就是說：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013102幾何布朗運(yùn)動下股票價格的概率分布設(shè)A股票的當(dāng)前價格為50元，預(yù)期收益率為每年18%，波動率為每年20%，假設(shè)該股票價格遵循幾何布朗運(yùn)動且股票在6個月內(nèi)不付紅利，請問該股票6個月后的價格的概率分布如何？2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013103三、構(gòu)造期權(quán)的復(fù)制組合

（Black-Scholes-Merton偏微分方程的推導(dǎo)）基本假設(shè)股票價格服從幾何布朗運(yùn)動可以賣空證券無交易費(fèi)用、稅收，證券可無限細(xì)分期權(quán)有效期內(nèi)股票不支付股息不存在無風(fēng)險套利機(jī)會證券交易連續(xù)進(jìn)行短期無風(fēng)險利率為常數(shù)，對所有期限都是相同的2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013104Black-Scholes-Merton偏微分方程的推導(dǎo)假設(shè)股票價格S遵循幾何布朗運(yùn)動，因此有或者：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013105G是依賴于S的期權(quán)的價格，則G是S和t的函數(shù)，由Ito引理：或者：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013106為了消除不確定性，我們構(gòu)建一個包括一單位期權(quán)空頭和單位標(biāo)的證券多頭的組合，令代表該投資組合的價值，則：在時間后，該投資組合的價值變化為

2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013107將與的表達(dá)式分別代入上式當(dāng)中，由于上式中不含隨機(jī)項(xiàng)，該組合在一個小的時間段內(nèi)的變化是確定的，在無套利定價的原則下，這個小時段的瞬時收益率一定等于無風(fēng)險收益率：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013108將和代入上式得：化簡得：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013109偏微分方程的求解參考文獻(xiàn)：Churchill.R.V.FourierSeriesandBoundaryValueProblems,2ndedition.NewYork:McGraw-Hill,19632023/3/8Copyright?PeiZhang,2013110歐式看漲期權(quán)定價公式2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013111其中：N（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)例：無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價假設(shè)不支付紅利股票的市價為50元，無風(fēng)險利率為12%，該股票的年波動率為10%，求該股票協(xié)議價格為50元、期限1年的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)價格。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013112無收益資產(chǎn)的期權(quán)定價公式無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)定價無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的定價2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013113有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價公式有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價公式（1）已知收益現(xiàn)值I：用S-I代替S（2）已知收益率q：用代替S（以上結(jié)論對于股指期權(quán)、外匯期權(quán)、期貨期權(quán)定價非常有用）有收益美式期權(quán)的定價（數(shù)值方法）2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013114四、B-S-M期權(quán)定價公式的參數(shù)估計（一）無風(fēng)險利率的估計無風(fēng)險利率的選擇和期限的確定（二）資產(chǎn)波動率的估計1、歷史波動率（1）用統(tǒng)計方法計算對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差（2）運(yùn)用GARCH模型進(jìn)行估計2、隱含波動率2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013115天數(shù)0100.001101.501.01500.01490.000154298.000.9655-0.03510.001410396.750.9872-0.02180.0002344100.501.03880.03800.0000065101.001.00500.00500.0003826103.251.02230.02200.0002057105.001.01690.01680.0005828102.750.9786-0.02170.0000009103.001.00240.00240.00005310102.500.9951-0.00490.004294總計0.0247樣本均值：0.0247/10=0.000247，樣本方差：0.004294/9=0.000477，樣本標(biāo)準(zhǔn)差（天）：0.0218432023/3/8Copyright?PeiZhang,2013116第四節(jié)期權(quán)的運(yùn)用與交易策略期權(quán)是金融市場上變化最豐富、結(jié)構(gòu)最精妙、運(yùn)用最廣泛的工具，本節(jié)將介紹期權(quán)工具的運(yùn)用并介紹多種常見的期權(quán)交易策略。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013117一、期權(quán)交易頭寸的運(yùn)用（一）運(yùn)用期權(quán)進(jìn)行靜態(tài)套期保值靜態(tài)套期保值是指一次交易之后直至到期都不再調(diào)整的套期保值交易。具體而言，通過買入看漲期權(quán)多頭保護(hù)標(biāo)的資產(chǎn)價格上升的風(fēng)險，或是通過買入看跌期權(quán)多頭保護(hù)標(biāo)的資產(chǎn)價格下跌的風(fēng)險。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013118看跌期權(quán)的靜態(tài)套期保值假設(shè)投資者A手中持有GE股票，且非?？春?，但發(fā)生在2007年中的美國次級房貸危機(jī)使得市場具有較大的不確定性，A認(rèn)為這次危機(jī)可能波及股票市場，GE股價會受到?jīng)_擊。A既不想放棄未來GE股票可能帶來的收益，同時又擔(dān)心市場可能的劇烈波動會導(dǎo)致股價下挫，A將如何進(jìn)行選擇？2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013119假設(shè)A決定購入在CBOE交易的GE看跌期權(quán)，其價格為1.76美元，到期日為2007年9月22日，執(zhí)行價格為40美元，GE股票價格為38.5美元。如果GE股票確實(shí)受到市場沖擊下跌，A執(zhí)行期權(quán)獲得最低回報為40美元，如果GE股票一路走高，A不執(zhí)行期權(quán)，只是成本比原先購入價上升了1.76美元。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013120（二）運(yùn)用期權(quán)進(jìn)行杠桿投資美國中部時間2007年9月14日收盤時，GE股票價格為40.35元，GE看漲期權(quán)收盤價格為0.67美元，其到期日為2007年9月22日，執(zhí)行價格為40美元。假設(shè)投資者B準(zhǔn)備了以下兩種投資途徑：1、直接以40.35美元買入1000股GE股票，總成本40350美元2、以0.67美元買入602份GE股票看漲期權(quán)（每份期權(quán)擁有購入100股GE股票的權(quán)利），總成本40334美元。假設(shè)2007年9月22日GE股票價格漲至45美元（或跌至35美元），比較兩種投資途徑的結(jié)果？2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013121兩種途徑結(jié)果比較1、股票投資：2、期權(quán)投資：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013122（三）其他運(yùn)用假設(shè)2007年8月31日，有投資者C長期看好GE公司，但認(rèn)為受市場整體波動沖擊，GE股票短期有很大可能向下調(diào)整。C可以采取哪些操作方法？2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013123（1）2007年8月31日以38.5美元的價格買入1000股GE股票，同時賣出10份9月22日到期、執(zhí)行價為40美元的GE看漲期權(quán)，期權(quán)費(fèi)收入為350美元。（2）2007年8月31日賣出執(zhí)行價格為37.5美元、9月22日到期的GE看跌期權(quán)，其價格為1.75美元，期權(quán)費(fèi)收入1750美元。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013124

二、期權(quán)的交易策略主要討論期權(quán)組合所產(chǎn)生的盈利模式。包括期權(quán)與標(biāo)的資產(chǎn)組合，兩種或更多種期權(quán)組合時所產(chǎn)生的盈利模式。該部分是金融工程積木分析法最好的體現(xiàn)。2023/3/8125Copyright?PeiZhang,2013（一）單一期權(quán)與股票的策略保護(hù)性看漲期權(quán)2023/3/8126Copyright?PeiZhang,2013保護(hù)性看跌期權(quán)2023/3/8127Copyright?PeiZhang,2013（二）差價策略將具有相同類型的兩個或多個期權(quán)組合在一起的交易策略。1、牛市差價（bullspread）買入一個具有某一確定執(zhí)行價格的股票看漲期權(quán)和賣出一個同一股票的，但具較高執(zhí)行價格的股票看漲期權(quán)組合而成，兩個期權(quán)的期限相同。2023/3/8128Copyright?PeiZhang,2013由看漲期權(quán)所構(gòu)造的牛市差價的收益股票價格范圍看漲期權(quán)長頭寸的收益看漲期權(quán)短頭寸的收益整體收益0000特點(diǎn)：限制了投資者的收益但同時控制了損失的風(fēng)險2023/3/8129Copyright?PeiZhang,20132、熊市差價（bearspread）買入具有某一執(zhí)行價格的看跌期權(quán)同時賣出具有另一執(zhí)行價格的看跌期權(quán)。2023/3/8130Copyright?PeiZhang,20133、盒式價差（boxspread）由執(zhí)行價格為K1和K2的看漲期權(quán)構(gòu)成的牛市價差與一個具有相同執(zhí)行價格所構(gòu)成的熊市差價的組合。盒式價差的收益為K2-K12023/3/8131Copyright?PeiZhang,20134、蝶式價差（butterflyspread）買入一個具有較低執(zhí)行價格K1的看漲期權(quán)，買入一個具有較高執(zhí)行價格K3的看漲期權(quán)，賣出兩個具有執(zhí)行價格為K2的看漲期權(quán)，其中K2為K1及K3的中間值。2023/3/8132Copyright?PeiZhang,20135、日歷價差（calendarspread）賣出一個具有某一執(zhí)行價格期限的看漲期權(quán)，買入一個具有同樣執(zhí)行價格，但具有較長期限看漲期權(quán)的長頭寸。2023/3/8133Copyright?PeiZhang,2013中性日歷價差（neutralcalendarspread）牛市日歷價差（bullishcalendarspread）熊市日歷價差（bearishcalendarspread）6、對角差價由兩個執(zhí)行價格與到期日均不相同的看漲期權(quán)構(gòu)成。2023/3/8134Copyright?PeiZhang,2013（三）組合策略包括對于同一種股票上看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的交易策略。1、跨式組合買入具有同樣執(zhí)行價格期限的一個看漲期權(quán)和看跌期權(quán)2023/3/8135Copyright?PeiZhang,20132、序列債券與帶式債券序列債券：具有相同執(zhí)行價格和相同期限的一個看漲期權(quán)和兩個看跌期權(quán)的組合。帶式組合：具有相同執(zhí)行價格和相同期限的兩個看漲期權(quán)和一個看跌期權(quán)的組合。2023/3/8136Copyright?PeiZhang,20133、異價跨式組合買入具有相同期限但具有不同執(zhí)行價格的看跌期權(quán)及看漲期權(quán)。2023/3/8137Copyright?PeiZhang,2013第五節(jié)期權(quán)的風(fēng)險管理問題背景：金融機(jī)構(gòu)在場外市場向客戶賣出期權(quán)后要對自己的頭寸暴露進(jìn)行對沖，由于場外市場的個性化需求，在交易所內(nèi)找不到同樣的期權(quán)，對沖會出現(xiàn)困難。這一部分內(nèi)容主要討論解決這個問題的幾種方式。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013138案例一家金融機(jī)構(gòu)賣出了100000份無股息股票的歐式看漲期權(quán)，收入為300000美元。假設(shè)股票價格為49美元，期權(quán)執(zhí)行價格為50美元，無風(fēng)險利率為每年5%，股票價格的波動率為20%，期權(quán)期限為20周（0.3846年），股票收益率期望值為每年13%。由B-S公式算出期權(quán)價格大約為240000美元，溢價60000美元。如何進(jìn)行風(fēng)險對沖？2023/3/8139Copyright?PeiZhang,2013方案1：裸露頭寸策略不采取任何對沖措施。結(jié)果：（1）若20周后，股票價格低于50美元，凈利潤為300000美元。（2）如果期權(quán)被執(zhí)行，例如，股票價格為60美元，期權(quán)會給金融機(jī)構(gòu)帶來1000000美元的費(fèi)用，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于300000美元的收入。2023/3/8140Copyright?PeiZhang,2013方案2帶保頭寸策略金融機(jī)構(gòu)買入100000只股票進(jìn)行對沖。結(jié)果（1）如果股票價格降到40美元，金融機(jī)構(gòu)將損失900000美元，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于300000美元的收入（2）如果股票價格大于50美元，期權(quán)被行使，這一策略會很好2023/3/8141Copyright?PeiZhang,2013方案3止損交易策略在股票價格剛剛高于K的時候馬上買入股票，而在股票價格剛剛低于K時馬上賣出股票，即在股票價格剛剛低于K的時候采用裸露頭寸策略，而在股票價格剛剛高于K時采用帶保頭寸策略。2023/3/8142Copyright?PeiZhang,2013止損交易策略示意圖2023/3/8143Copyright?PeiZhang,2013止損交易策略分析（1）這一交易策略的初始費(fèi)用在當(dāng)S0>K時為S0，否則為0，那么，這一交易策略的凈支出為max（S0-K，0）。從理論上看，這一交易策略的對沖費(fèi)用小于用B-S公式計算得到的期權(quán)價格，因此，投資者通過賣出期權(quán)并以這種方式對沖是可以獲得無風(fēng)險盈利的。2023/3/8144Copyright?PeiZhang,2013止損交易策略分析（2）以上分析存在缺陷：股票的買入和賣出不可能總是發(fā)生在價格剛好等于K的時刻（如果市場是有效的，對沖者并不知道股票價格會變得高于K還是低于K）。

股票以的價格買入，以

的價格賣出，每一筆的交易費(fèi)用

為，如果增大觀測頻率來使

更小，那么交易會更加頻繁，交

易費(fèi)用的降低會被交易頻率的增

加所抵消。

2023/3/8145Copyright?PeiZhang,2013止損交易策略的蒙特卡洛模擬對沖表現(xiàn)以期權(quán)對沖費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)差與期權(quán)價格的比率來衡量。（每一個結(jié)果都是基于1000個股票價格路徑抽樣來計算，標(biāo)準(zhǔn)誤差大約為2%）2023/3/8146Copyright?PeiZhang,2013方案4使用期權(quán)的敏感性指標(biāo)一、Delta與期權(quán)的風(fēng)險管理（一）Delta的定義期權(quán)價格變動與其標(biāo)的資產(chǎn)價格變動的比率，即：看漲期權(quán)：

看跌期權(quán)：2023/3/8147Copyright?PeiZhang,20132023/3/8Copyright?PeiZhang,2013148Delta的變化2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013149證券組合的Delta證券組合的Delta由證券組合內(nèi)各個單一期權(quán)的Delta來計算。假設(shè)一個金融機(jī)構(gòu)持有以下3個關(guān)于某標(biāo)的股票的頭寸：100000份看漲期權(quán)的長頭寸，每份期權(quán)的Delta為0.533200000份看漲期權(quán)的短頭寸，每份期權(quán)的Delta為0.46850000份看跌期權(quán)的短頭寸，每份期權(quán)的Delta為-0.508整個證券組合的Delta為：2023/3/8150Copyright?PeiZhang,2013（二）Delta中性與風(fēng)險管理1、Delta中性的概念證券組合的Delta為零稱其處于Delta中性狀態(tài)。當(dāng)證券組合處于Delta中性狀態(tài)時，組合的價值不受標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的影響。但Delta中性狀態(tài)只能維持很短的時間，為了保持Delta中性需要不斷調(diào)整保值資產(chǎn)頭寸，這種過程成為再平衡（rebalancing），這種保值方法成為動態(tài)套期保值。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013151期權(quán)的Delta中性風(fēng)險管理問題：某金融機(jī)構(gòu)在OTC市場出售了基于100000股不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，收入為300000美元。該股票市場價格為49美元，執(zhí)行價格為50美元，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為5%，股價波動率為20%，期權(quán)距離到期日為20周，該機(jī)構(gòu)面臨風(fēng)險管理的問題。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013152期權(quán)的Delta動態(tài)對沖模擬

（實(shí)值期權(quán)，總成本263300美元）2023/3/8153Copyright?PeiZhang,2013期權(quán)的Delta動態(tài)對沖模擬

（實(shí)值期權(quán)，總成本257800美元2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013154二、Theta與期權(quán)的風(fēng)險管理（一）Theta的定義與計算期權(quán)價格對時間變化的敏感度，即其他條件不變的條件下，期權(quán)價格與時間變化的比率。對于無收益資產(chǎn)的看漲期權(quán)而言：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013155（二）看漲期權(quán)的Theta與標(biāo)的資產(chǎn)關(guān)系的曲線2023/3/8156Copyright?PeiZhang,2013三、Gamma與期權(quán)的風(fēng)險管理（一）期權(quán)Gamma值的計算Gamma是指交易組合Delta的變化與標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的比率，是交易組合關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)：從幾何圖形上，它反映了期權(quán)價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格關(guān)系曲線的凸度。2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013157非線性引入的對沖誤差2023/3/8158Copyright?PeiZhang,2013（二）期權(quán)Gamma值的特征分析2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013159（三）證券組合的Gamma值現(xiàn)貨資產(chǎn)、遠(yuǎn)期、期貨的Gamma值均為零，只有期權(quán)有Gamma值，證券組合的Gamma值等于組合內(nèi)各種期權(quán)Gamma值與其數(shù)量乘積的總和：2023/3/8Copyright?PeiZhang,2013160（四）Gamma中性風(fēng)險管理1、Gamma對于風(fēng)險管理的重要性2023/3/8Copyright?PeiZhang,20131612、Gamma中性的調(diào)整的步驟（1）Delta中性，Gamma非中性（2）Gamma中性，Delta非中性（3）Gamma中性，Delta中性例如：假設(shè)一交易組合為Delta中性，其Gamma量為-3000。對應(yīng)交易所交易期權(quán)的Delta及Gamma分別為0.62及1.50。買入2000份期權(quán)使Gamma呈中性，為了保證新交易組合Delta中性，必須賣出1240股標(biāo)的股票。2023/3/8162Copyright?PeiZhang,20133、Delta、Theta、Gamma之間的關(guān)系因?yàn)椋阂虼耍?023/3/8163Copyright?PeiZ