2021-2022學(xué)年遼寧省遼陽市九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021-2022學(xué)年遼寧省遼陽市九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．下列各組數(shù)中，互為倒數(shù)的是（）A．﹣3和 B．2和﹣2 C．和 D．和2．下列運(yùn)算正確的是（）A．＝±3 B．a(chǎn)3+2a3＝3a3 C．m2?m3＝m6 D．（﹣2a3）2＝﹣4a63．下列圖形，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．5．下列說法中錯誤的是（）A．兩條對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形 B．兩條對角線相等的四邊形是矩形 C．兩條對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形 D．兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形6．一個不透明的袋子里裝有黃球18個和紅球若干，小明涌過多次描迪試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子里有紅球（）個．A．12 B．15 C．18 D．247．如圖，在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6），以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC位似縮小后得到△A′B′C′．若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2），△A′B′C′的面積為1，則△ABC的面積為（）A．3 B．6 C．9 D．128．如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形的邊BC，CD上滑動，且E，F(xiàn)不與B，C，D重合，則四邊形AECF的面積是（）A．4 B．4 C．8 D．89．如圖，有一塊銳角三角形材料，邊BC＝60mm，高AD＝45mm，要把它加工成矩形零件，使其一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC，且EH＝2EF，則這個矩形零件的長有（）A．32mm B．36mm C．40mm D．44mm10．如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B﹣A﹣D﹣C方向以a單位/秒的速度勻速運(yùn)動，在整個運(yùn)動過程中，△BCP的面積S與運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，則四邊形ABCD的面積是（）A．90 B．85 C．80 D．75二.填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11．某紅外線遙控器發(fā)出的紅外線波長為0.00000094米，0.00000094這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．12．分解因式：3a3﹣27ab2＝．13．如果關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍為．14．在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上，參加男子跳高的14名運(yùn)動員成績?nèi)缦卤硭荆撼煽?m1.501.611.661.701.751.78人數(shù)232151則這些運(yùn)動員成績的中位數(shù)是．15．如圖，一飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成，向游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢，擊中黑色區(qū)域的概率是．16．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CM是斜邊AB上的中線，E、F分別為MB、BC的中點(diǎn)，若EF＝2.5，則△EBF的面積為．17．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12．點(diǎn)P在矩形ABCD的對角線BD上，點(diǎn)E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為．18．如圖，點(diǎn)P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥DC于點(diǎn)F，連接AP并延長，交射線BC于點(diǎn)H，交射線DC于點(diǎn)M，連接EF交AH于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動時（不包括B、D兩點(diǎn)），以下結(jié)論：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM?PH；④EF的最小值是．其中正確的是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）三、解答題（共8小題，滿分96分）19．先化簡，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是4的平方根．20．學(xué)完統(tǒng)計知識后，小明對同學(xué)們最近一周的睡眠情況進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到他們每日平均睡眠時長t（單位：小時）的一組數(shù)據(jù)，將所得數(shù)據(jù)分為四組（A：t＜8，B：8≤t＜9，C：9≤t＜10，D：t≥10），并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）小明一共抽樣調(diào)查了名同學(xué)；在扇形統(tǒng)計圖中，表示D組的扇形圓心角的度數(shù)為；（2）將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（3）小明所在學(xué)校共有1400名學(xué)生，估計該校最近一周大約有多少名學(xué)生睡眠時長不足8小時？（4）A組的四名學(xué)生是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人了解最近一周睡眠時長不足8小時的原因，試求恰好選中1名男生和1名女生的概率．21．茶為國飲，茶文化是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，這也帶動了茶藝、茶具、茶服等相關(guān)文化的延伸及產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，在“春季茶葉節(jié)”期間，某茶具店老板購進(jìn)了A、B兩種不同的茶具．若購進(jìn)A種茶具1套和B種茶具2套，需要250元；若購進(jìn)A種茶具3套和B種茶具4套，需要600元．（1）A、B兩種茶具每套進(jìn)價分別為多少元？（2）由于茶具暢銷，茶具店老板決定再次購進(jìn)A、B兩種茶具共80套，茶具廠對這兩種類型的茶具進(jìn)行了價格調(diào)整，A種茶具的進(jìn)價比第一次購進(jìn)時提高了8%，B種茶具的進(jìn)價按第一次購進(jìn)時進(jìn)價的八折．如果茶具店老板此次用于購進(jìn)A、B兩種茶具的總費(fèi)用不超過6240元，則茶具店老板最多能購進(jìn)A種茶具多少套？22．在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)O，連接EF、OC．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的長．23．九年級活動小組計劃利用所學(xué)的知識測量操場旗桿高度．測量方案如下：如圖，小卓在小越和旗桿之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標(biāo)記，這個標(biāo)記在直線BM上的對應(yīng)位置為點(diǎn)C，鏡子不動，小卓看著鏡面上的標(biāo)記，他來回走動，走到點(diǎn)D時看到旗桿頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記點(diǎn)C重合，這時測得小卓眼睛與地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在陽光下，小越從D點(diǎn)沿DM方向走了15.8米到達(dá)F處此時旗桿的影子頂端與小越的影子頂端恰好重合，測得FG＝1.6米，F(xiàn)H＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若測量時所使用的平面鏡的厚度忽略不計，請你根據(jù)圖中提供的相關(guān)信息求出旗桿的高AB．24．某環(huán)保公司研發(fā)了甲、乙兩種智能設(shè)備，可將垃圾處理變?yōu)樾滦颓鍧嵢剂希忱幚韽S從環(huán)保公司購入以上兩種智能設(shè)備若干，已知購買甲型智能設(shè)備花費(fèi)360萬元，購買乙型智能設(shè)備花費(fèi)480萬元，購買的兩種設(shè)備數(shù)量相同，且兩種智能設(shè)備的單價和為140萬元．（1）求甲、乙兩種智能設(shè)備單價；（2）垃圾處理廠利用智能設(shè)備生產(chǎn)燃料棒，并將產(chǎn)品出售．已知每噸燃料棒的成本為100元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若燃料棒售價為每噸200元，平均每天可售出350噸，而當(dāng)銷售價每降低1元，平均每天可多售出5噸．垃圾處理廠想使這種燃料棒的銷售利潤平均每天達(dá)到36080元，且保證售價在每噸200元基礎(chǔ)上降價幅度不超過8%，求每噸燃料棒售價應(yīng)為多少元？25．在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），點(diǎn)P為直線BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，將線段AP所在的直線繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)α得到直線PM，再將線段AC所在的直線繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α得到直線CN，直線PM與直線CN相交于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，當(dāng)α＝60°時，如圖1，直接判斷的大小；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，當(dāng)＝k時，如圖2，試判斷線段的大小，并說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，當(dāng)α＝90°，AC＝8，AP＝17時，請利用備用圖探究△PCQ面積的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可）．26．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y＝﹣3x+3分別與y軸、x軸交于A、B兩點(diǎn)，直線AC交x軸于點(diǎn)C，且滿足CO＝2AO．（1）求直線AC的表達(dá)式；（2）如圖2，若點(diǎn)P為線段AC上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD與直線AB交于點(diǎn)Q，當(dāng)△APQ的面積等于7時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖3，在（2）問的條件下，將△CPD沿x軸向右平移，記平移后的△CPD為△C'P'D'，連接AP'，BP'，當(dāng)△P'AB為直角三角形時，直接寫出點(diǎn)P'的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1．下列各組數(shù)中，互為倒數(shù)的是（）A．﹣3和 B．2和﹣2 C．和 D．和【分析】倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù)．據(jù)此判斷即可．解：A．﹣3×＝﹣1，所以﹣3和不是互為倒數(shù)，故本選項不合題意；B.2×（﹣2）＝﹣4，所以﹣2和2不是互為倒數(shù)，故本選項不合題意；C.×＝1，所以和互為倒數(shù)，故本選項符合題意；D．|﹣|×＝2，所以|﹣|和不是互為倒數(shù)，故本選項不符合題意；故選：C．2．下列運(yùn)算正確的是（）A．＝±3 B．a(chǎn)3+2a3＝3a3 C．m2?m3＝m6 D．（﹣2a3）2＝﹣4a6【分析】選項A根據(jù)算術(shù)平方根的定義判斷即可；選項B根據(jù)合并同類項法則判斷即可；合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；選項C根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則判斷即可；同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；選項D根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則判斷即可；積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．解：A．，故本選項不合題意；B．a(chǎn)3+2a3＝3a3，故本選項符合題意；C．m2?m3＝m5，故本選項不合題意；D．（﹣2a3）2＝4a6，故本選項不合題意；故選：B．3．下列圖形，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．解：A、不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；故選：D．4．如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)簡單幾何體三視圖的畫法畫出它的俯視圖即可．解：這個幾何體的俯視圖為：故選：D．5．下列說法中錯誤的是（）A．兩條對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形 B．兩條對角線相等的四邊形是矩形 C．兩條對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形 D．兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【分析】利用菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定依次判斷可求解．解：A、兩條對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，說法正確；B、兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，說法錯誤；C、兩條對角線互相垂直、平分且相等的四邊形是正方形，說法正確；D、兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，說法正確；故選：B．6．一個不透明的袋子里裝有黃球18個和紅球若干，小明涌過多次描迪試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，則袋子里有紅球（）個．A．12 B．15 C．18 D．24【分析】根據(jù)“大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)可以估計概率”直接寫出答案即可．解：設(shè)有紅色球x個，根據(jù)題意得：＝0.4，解得：x＝12，經(jīng)檢驗，x＝12是分式方程的解且符合題意．故選：A．7．如圖，在△ABC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，6），以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABC位似縮小后得到△A′B′C′．若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2），△A′B′C′的面積為1，則△ABC的面積為（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】利用對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化即可得出相似比，利用位似圖形面積比等于相似比的平方進(jìn)而得出答案．解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且點(diǎn)A（3，6），A′（1，2），∴△ABC與△A′B′C′的相似比等于3：1．∴△A′B′C′與△ABC的面積之比為9：1．∵△A′B′C′的面積為1，∴△ABC的面積為9．故選：C．8．如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF為等邊三角形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在菱形的邊BC，CD上滑動，且E，F(xiàn)不與B，C，D重合，則四邊形AECF的面積是（）A．4 B．4 C．8 D．8【分析】證△ABE≌△ACF（ASA），得S△ABE＝S△ACF，再由S四邊形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC即可求解．解：連接AC，如圖所示，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，∴∠1＝∠3，∵∠BAD＝120°，BC∥AD，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC、△ACD為等邊三角形，∴∠4＝60°，AC＝AB，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴S△ABE＝S△ACF，故S四邊形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，過A作AH⊥BC于H，則BH＝BC＝2，∴AH＝＝＝2，S四邊形AECF＝S△ABC＝BC?AH＝×4×2＝4，故選：B．9．如圖，有一塊銳角三角形材料，邊BC＝60mm，高AD＝45mm，要把它加工成矩形零件，使其一邊在BC上，其余兩個頂點(diǎn)分別在AB，AC，且EH＝2EF，則這個矩形零件的長有（）A．32mm B．36mm C．40mm D．44mm【分析】設(shè)矩形的寬EF＝xmm，則長EH＝2xmm，由矩形的性質(zhì)得到EH∥BC，EF∥AD，推出△AEH∽△ABC，△BEF∽△BAD，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列出比例式，然后進(jìn)行計算即可求得結(jié)果．解：設(shè)矩形的寬EF＝xmm，則長EH＝2xmm，∵四邊形EFGH為矩形，∴EH∥BC，EF∥AD，∴△AEH∽△ABC，△BEF∽△BAD，∴＝，＝，∴＝，＝，∵BE+AE＝AB，∴+＝+＝＝1，解得：x＝18，∴EF＝18mm，EH＝36mm，故選：B．10．如圖1，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B﹣A﹣D﹣C方向以a單位/秒的速度勻速運(yùn)動，在整個運(yùn)動過程中，△BCP的面積S與運(yùn)動時間t（秒）的函數(shù)圖象如圖2所示，則四邊形ABCD的面積是（）A．90 B．85 C．80 D．75【分析】從圖2看，AB＝3a，AD＝8a﹣3a＝5a＝AC，過點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H，在Rt△ADH中，AD＝5a，AB＝3a＝CH＝DH，則AH＝＝4a＝BC，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D處時，S△PCB＝S△BCD＝×BC×CD＝×4a×6a＝12a2＝60，解得a2＝5，則四邊形ABCD的面積＝（AB+CD）×AH＝×（3a+6a）?4a＝18a2＝90，即可求解．解：從圖2看，AB＝3a，AD＝8a﹣3a＝5a＝AC，過點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H，則DH＝CH＝CD，在Rt△ADH中，AD＝5a，AB＝3a＝CH＝DH，則AH＝＝4a＝BC，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D處時，S△PCB＝S△BCD＝×BC×CD＝×4a×6a＝12a2＝60，解得a2＝5，則四邊形ABCD的面積＝（AB+CD）×AH＝×（3a+6a）?4a＝18a2＝90．故選：A．二.填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）11．某紅外線遙控器發(fā)出的紅外線波長為0.00000094米，0.00000094這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為9.4×10﹣7．【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)整數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．解：0.00000094＝9.4×10﹣7．故答案為：9.4×10﹣7．12．分解因式：3a3﹣27ab2＝3a（a+3b）（a﹣3b）．【分析】先提取公因式，再根據(jù)平方差公式因式分解即可．解：原式＝3a（a2﹣9b2）＝3a（a+3b）（a﹣3b），故答案為：3a（a+3b）（a﹣3b）．13．如果關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，那么m的取值范圍為m＜3且m≠2．【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．解：由題意可知：Δ＝4﹣4（m﹣2）＞0，∴m＜3，由于m﹣2≠0，∴m≠2，故答案為：m＜3且m≠214．在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動會上，參加男子跳高的14名運(yùn)動員成績?nèi)缦卤硭荆撼煽?m1.501.611.661.701.751.78人數(shù)232151則這些運(yùn)動員成績的中位數(shù)是1.68．【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義，結(jié)合圖表信息解答．解：根據(jù)圖表可知題目中數(shù)據(jù)共有14個，故中位數(shù)是按從小到大排列后第7，第8兩個數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)．故這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)×（1.66+1.70）＝1.68．故答案為：1.68．15．如圖，一飛鏢游戲板由大小相等的小正方形格子構(gòu)成，向游戲板隨機(jī)投擲一枚飛鏢，擊中黑色區(qū)域的概率是．【分析】利用黑色區(qū)域的面積除以游戲板的面積即可．解：黑色區(qū)域的面積＝3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1＝4，所以擊中黑色區(qū)域的概率＝．故答案為：．16．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CM是斜邊AB上的中線，E、F分別為MB、BC的中點(diǎn)，若EF＝2.5，則△EBF的面積為3．【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出CM，根據(jù)勾股定理得到BC＝＝8，根據(jù)三角形的面積公式得到S△CMB＝S△ABC＝12，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：∵E、F分別為MB、BC的中點(diǎn)，EF＝2.5，∴CM＝2EF＝2×2.5＝5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜邊AB上的中線，∴AB＝2CM＝10，∴BC＝＝8，∴S△ABC＝AC?BC＝×6×8＝24，∴S△CMB＝S△ABC＝12，∵E、F分別為MB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥CM，∴△BEF∽△BMC，∴＝（）2＝（）2＝，∴△EBF的面積為3，故答案為：3．17．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12．點(diǎn)P在矩形ABCD的對角線BD上，點(diǎn)E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為或．【分析】根據(jù)勾股定理求出BD，分PD＝DA、P′D＝P′A兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD＝90°，∴BD＝＝13，當(dāng)PD＝DA＝12時，BP＝BD﹣PD＝1，∵△PBE∽△DBC，∴＝，即＝，解得，PE＝，當(dāng)P′D＝P′A時，點(diǎn)P′為BD的中點(diǎn)，∴P′E′＝CD＝，故答案為：或．18．如圖，點(diǎn)P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥DC于點(diǎn)F，連接AP并延長，交射線BC于點(diǎn)H，交射線DC于點(diǎn)M，連接EF交AH于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)P在BD上運(yùn)動時（不包括B、D兩點(diǎn)），以下結(jié)論：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM?PH；④EF的最小值是．其中正確的是①③④．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）【分析】由特殊值法可判斷②，由“SAS”可證△ABP≌△CBP，可得AP＝CP，由矩形的性質(zhì)可得EF＝PC＝AP，由“SSS”可證△APD≌△CPD，可得∠DAP＝∠DCP，由平行線的性質(zhì)可得∠DCP＝∠H，由“SAS”可證△PEC≌△FCE，可得∠PCE＝∠FEC，由余角的性質(zhì)可得AH⊥EF；通過證明△CPM∽△HPC，可得＝，可得AP2＝PM?PH，由AP＝EF，可得EF2＝PM?PH；由AP＝EF，可得AP取最小值時，EF有最小值，即由垂線段最短可求解．解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，∵BP＝BP，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴AP＝CP，∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD＝90°，∴四邊形PECF是矩形，∴EF＝PC＝AP，∵AP＝PC，AD＝CD，PD＝PD，∴△APD≌△CPD（SSS）∴∠DAP＝∠DCP，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠DCP＝∠H，∵PE＝CF，∠PEC＝∠FCE＝90°，EC＝EC，∴△PEC≌△FCE（SAS）∴∠PCE＝∠FEC，∵∠PCF+∠PCE＝∠FCE＝90°，∴∠H+∠FEC＝90°，∴∠EGH＝90°，∴AH⊥EF，故①正確；②因為當(dāng)點(diǎn)P與BD中點(diǎn)重合時，CM＝0，顯然FM≠CM，故②不合正確；③∵AD∥BH，∴∠DAP＝∠H，∵∠DAP＝∠PCM，∴∠PCM＝∠H，∵∠CPM＝∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴＝，∴CP2＝PM?PH，且EF＝PC，∴EF2＝PM?PH，故③正確；④∵EF＝AP，∴AP取最小值時，EF有最小值，∴當(dāng)AP⊥BD時，AP有最小值，此時：∵AB＝AD＝2，∠BAD＝90°，AP⊥BD，∴BD＝2，AP＝BD＝，∴EF的最小值為，故④正確．故答案為：①③④．三、解答題（共8小題，滿分96分）19．先化簡，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是4的平方根．【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再由平方根的概念得出a的值，選擇使分式有意義的a的值代入計算即可．解：原式＝[﹣]?＝?＝?＝﹣，∵a是4的平方根，∴a＝±2，又a＝2時分式無意義，∴當(dāng)a＝﹣2時，原式＝﹣＝0．20．學(xué)完統(tǒng)計知識后，小明對同學(xué)們最近一周的睡眠情況進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到他們每日平均睡眠時長t（單位：小時）的一組數(shù)據(jù)，將所得數(shù)據(jù)分為四組（A：t＜8，B：8≤t＜9，C：9≤t＜10，D：t≥10），并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）小明一共抽樣調(diào)查了40名同學(xué)；在扇形統(tǒng)計圖中，表示D組的扇形圓心角的度數(shù)為18°；（2）將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整；（3）小明所在學(xué)校共有1400名學(xué)生，估計該校最近一周大約有多少名學(xué)生睡眠時長不足8小時？（4）A組的四名學(xué)生是2名男生和2名女生，若從他們中任選2人了解最近一周睡眠時長不足8小時的原因，試求恰好選中1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）由B組人數(shù)及其所占百分比求出總?cè)藬?shù)，用360°乘以D組人數(shù)所占比例即可；（2）根據(jù)四組總?cè)藬?shù)為40人求出C組人數(shù)，從而補(bǔ)全圖形；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中A組人數(shù)所占比例；（4）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．解：（1）本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為22÷55%＝40（名），表示D組的扇形圓心角的度數(shù)為360°×＝18°，故答案為：40、18°；（2）C組人數(shù)為40﹣（4+22+2）＝12（名），補(bǔ)全圖形如下：（3）估計該校最近一周睡眠時長不足8小時的人數(shù)約為1400×＝140（名）；（4）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中恰好選中1男1女的結(jié)果數(shù)為8，所以恰好選中1男1女的概率為＝．21．茶為國飲，茶文化是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，這也帶動了茶藝、茶具、茶服等相關(guān)文化的延伸及產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，在“春季茶葉節(jié)”期間，某茶具店老板購進(jìn)了A、B兩種不同的茶具．若購進(jìn)A種茶具1套和B種茶具2套，需要250元；若購進(jìn)A種茶具3套和B種茶具4套，需要600元．（1）A、B兩種茶具每套進(jìn)價分別為多少元？（2）由于茶具暢銷，茶具店老板決定再次購進(jìn)A、B兩種茶具共80套，茶具廠對這兩種類型的茶具進(jìn)行了價格調(diào)整，A種茶具的進(jìn)價比第一次購進(jìn)時提高了8%，B種茶具的進(jìn)價按第一次購進(jìn)時進(jìn)價的八折．如果茶具店老板此次用于購進(jìn)A、B兩種茶具的總費(fèi)用不超過6240元，則茶具店老板最多能購進(jìn)A種茶具多少套？【分析】（1）設(shè)A種茶具每套的進(jìn)價為x元，B種茶具每套進(jìn)價為y元，由題意：若購進(jìn)A種茶具1套和B種茶具2套，需要250元；若購進(jìn)A種茶具3套和B種茶具4套，需要600元．列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)茶具店老板最多能購進(jìn)A種茶具m套，則購進(jìn)B種茶具（80﹣m）套，由題意：A種茶具的進(jìn)價比第一次購進(jìn)時提高了8%，B種茶具的進(jìn)價按第一次購進(jìn)時進(jìn)價的八折．如果茶具店老板此次用于購進(jìn)A、B兩種茶具的總費(fèi)用不超過6240元，列出一元一次不等式，解不等式即可．解：（1）設(shè)A種茶具每套的進(jìn)價為x元，B種茶具每套進(jìn)價為y元，由題意得：，解得：，答：A種茶具每套的進(jìn)價為100元，B種茶具每套進(jìn)價為75元；（2）設(shè)茶具店老板最多能購進(jìn)A種茶具m套，則購進(jìn)B種茶具（80﹣m）套，由題意得：100（1+8%）m+75×0.8（80﹣m）≤6240，解得：m≤30，答：茶具店老板最多能購進(jìn)A種茶具30套．22．在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，AE與BF交于點(diǎn)O，連接EF、OC．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且BC＝8，∠ABC＝60°，求OC的長．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，從而得到∠AFB＝∠FBE，再由∠ABF＝∠FBE，推出∠ABF＝∠AFB，于是得到AB＝AF，同理得出AB＝BE，證出四邊形ABEF是平行四邊形，即可得出結(jié)論；（2）過O作OH⊥BC于H，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到∠OBH＝30°，∠BOE＝90°，求得OE＝BE＝2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴AF∥BE，∴∠AFB＝∠FBE，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBE，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，同理AB＝BE，∴AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴四邊形ABEF是菱形；（2）解：過O作OH⊥BC于H，∵E為BC的中點(diǎn)，且BC＝8，∴BE＝CE＝4，∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，∴∠OBH＝30°，∠BOE＝90°，∴OE＝BE＝2，∠EOH＝∠OBH＝90°﹣∠OEH＝30°，∴EH＝OE＝1，∴OH2＝OE2﹣EH2＝，∴CH＝EH+CE＝5，∴OC＝＝2．23．九年級活動小組計劃利用所學(xué)的知識測量操場旗桿高度．測量方案如下：如圖，小卓在小越和旗桿之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標(biāo)記，這個標(biāo)記在直線BM上的對應(yīng)位置為點(diǎn)C，鏡子不動，小卓看著鏡面上的標(biāo)記，他來回走動，走到點(diǎn)D時看到旗桿頂端點(diǎn)A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記點(diǎn)C重合，這時測得小卓眼睛與地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在陽光下，小越從D點(diǎn)沿DM方向走了15.8米到達(dá)F處此時旗桿的影子頂端與小越的影子頂端恰好重合，測得FG＝1.6米，F(xiàn)H＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若測量時所使用的平面鏡的厚度忽略不計，請你根據(jù)圖中提供的相關(guān)信息求出旗桿的高AB．【分析】直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出AB＝1.5BC，進(jìn)而得出BC的長，即可得出答案．解：由題意可得：∠BCA＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，故△ABC∽△EDC，則＝，即＝＝1.5，∴AB＝1.5BC，∵GF∥AB，∴△GFH∽△ABH，∴＝，∴＝＝，解得：BC＝10，故AB＝1.5BC＝15米．答：旗桿的高AB為15米．24．某環(huán)保公司研發(fā)了甲、乙兩種智能設(shè)備，可將垃圾處理變?yōu)樾滦颓鍧嵢剂希忱幚韽S從環(huán)保公司購入以上兩種智能設(shè)備若干，已知購買甲型智能設(shè)備花費(fèi)360萬元，購買乙型智能設(shè)備花費(fèi)480萬元，購買的兩種設(shè)備數(shù)量相同，且兩種智能設(shè)備的單價和為140萬元．（1）求甲、乙兩種智能設(shè)備單價；（2）垃圾處理廠利用智能設(shè)備生產(chǎn)燃料棒，并將產(chǎn)品出售．已知每噸燃料棒的成本為100元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若燃料棒售價為每噸200元，平均每天可售出350噸，而當(dāng)銷售價每降低1元，平均每天可多售出5噸．垃圾處理廠想使這種燃料棒的銷售利潤平均每天達(dá)到36080元，且保證售價在每噸200元基礎(chǔ)上降價幅度不超過8%，求每噸燃料棒售價應(yīng)為多少元？【分析】（1）設(shè)甲智能設(shè)備單價x萬元，則乙單價為（140﹣x）萬元，利用購買的兩種設(shè)備數(shù)量相同，列出分式方程求解即可；（2）設(shè)每噸燃料棒在200元基礎(chǔ)上降價y元，根據(jù)題意列出方程，求解后根據(jù)降價幅度不超過8%，即可得出售價．解：（1）設(shè)甲智能設(shè)備單價x萬元，則乙單價為（140﹣x）萬元，由題意得：＝，解得：x＝60，經(jīng)檢驗x＝60是方程的解，∴x＝60，140﹣x＝80，答：甲設(shè)備60萬元/臺，乙設(shè)備80萬元/臺；（2）設(shè)每噸燃料棒在200元基礎(chǔ)上降價y元，由題意得：（200﹣y﹣100）（350+5y）＝36080，解得：y1＝12，y2＝18，∵y≤200×8%，即y≤16，∴y＝12，200﹣y＝188，答：每噸燃料棒售價應(yīng)為188元．25．在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），點(diǎn)P為直線BC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AP，將線段AP所在的直線繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)α得到直線PM，再將線段AC所在的直線繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α得到直線CN，直線PM與直線CN相交于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，當(dāng)α＝60°時，如圖1，直接判斷的大??；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，當(dāng)＝k時，如圖2，試判斷線段的大小，并說明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上，當(dāng)α＝90°，AC＝8，AP＝17時，請利用備用圖探究△PCQ面積的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果即可）．【分析】（1）由“SAS”可證△BAP≌△CAQ，可得BP＝CQ，即可求解；（2）通過證明△ABP∽△ACQ，可得＝＝；（3）分兩種情況討論，由勾股定理和相似三角形的性質(zhì)分別求出CP的長，QH的長，即可求解．解：（1）如圖1，連接AQ，∵BA＝BC，∠ABC＝α＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，∵將線段AP所在的直線繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)α得到直線PM，再將線段AC所在的直線繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α得到直線CN，∴∠APQ＝∠ACQ＝60°，∴點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)Q四點(diǎn)共圓，∴∠AQP＝∠ACB＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，∴∠BAC＝∠PAQ，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△BAP≌△CAQ（SAS），∴BP＝CQ，∴；（2），理由如下：如圖2，連接AQ，∵BA＝BC，∠ABC＝α，∴∠ACB＝∠BAC＝，∵∵將線段AP所在的直線繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)α得到直線PM，再將線段AC所在的直線繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)α得到直線CN，∴∠APQ＝∠ACQ＝α，∴點(diǎn)A，點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)Q四點(diǎn)共圓，∴∠AQP＝∠ACB＝，∴∠PAQ＝＝∠