高考數(shù)學(xué)第2部分專題5解析幾何解密高考5圓錐曲線問題巧在“設(shè)”難在“算”教案文

解密高考⑤圓錐曲線問題巧在“設(shè)”、難在“算”————[思想導(dǎo)圖]————————[技法指津]————圓錐曲線解答題的常有種類是：第(1)小題往常是依據(jù)已知條件，求曲線方程或離心率，一般比較簡單．第(2)小題常常是經(jīng)過方程研究曲線的性質(zhì)——弦長問題、中點(diǎn)弦問題、動點(diǎn)軌跡問題、定點(diǎn)與定值問題、最值問題、有關(guān)量的取值范圍問題等等，這一小題綜合性較強(qiáng)，可經(jīng)過巧設(shè)“點(diǎn)”“線”，設(shè)而不求．在詳細(xì)求解時，可將整個解題過程分紅程序化的三步：第一步，聯(lián)立兩個方程，并將消元所得方程的鑒別式與根與系數(shù)的關(guān)系正確寫出；第二步，用兩個交點(diǎn)的同一類坐標(biāo)的和與積，來表示題目中波及的地點(diǎn)關(guān)系和數(shù)目關(guān)系；第三步，求解轉(zhuǎn)變而來的代數(shù)問題，并將結(jié)果回歸到原幾何問題中．在求解時，要依據(jù)題目特點(diǎn)，適合的設(shè)點(diǎn)、設(shè)線，采用適合運(yùn)算方法，合理地簡化運(yùn)算．,母題示例：2019年全國卷Ⅲ，本小題滿分12分x21已知曲線C：y＝2，D為直線y＝－2上的動點(diǎn)，過D作C此題考察：直線過定點(diǎn)問題以的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.及圓的方程的求法，考察學(xué)生證明：直線AB過定點(diǎn)；5的直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心(2)若以E0，2為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段修養(yǎng).AB的中點(diǎn)，求該圓的方程.[審題指導(dǎo)·挖掘條件](1)看到證明直線過定點(diǎn)，想到利用適合的參數(shù)表示直線的方程．ABAB(2)看到求圓的方程，想到求圓心坐標(biāo)及半徑．此題已知圓心E0，5，可依據(jù)圓E與2直線AB相切于AB的中點(diǎn)確立半徑．[規(guī)范解答·評分標(biāo)準(zhǔn)]1(1)證明：設(shè)Dt，－2，A(x1，y1)，2則x1＝2y1.··························2分1y1＋2因?yàn)閥′＝x，因此切線DA的斜率為x1，故x1－t＝x1.整理得2tx1－2y1＋1＝0.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.··4分故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0.1因此直線AB過定點(diǎn)0，2.··············6分由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋1(2)2.1由y＝tx＋2，可得x2－2tx－1＝0，····7分x2y＝2于是x1＋x2＝2t，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1.···························8分1設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則Mt，t＋2.→→→→2－2)t＝0，解得t因?yàn)镋M⊥AB，而EM＝(t，t2－2)，AB與向量(1，t)平行，因此t＋(t＝0或t＝±1.························10分當(dāng)t＝0時，|EM|2x2＋y－54；··········11分→＝，所求圓的方程為2＝2→252當(dāng)t＝±1時，|EM|＝2，所求圓的方程為x＋y－＝2.·······12分2[建立模板·四步解法]解決直線與圓錐曲線地點(diǎn)關(guān)系問題的步驟母題打破1：2019年鄭州模擬母題打破2：2019年濟(jì)南模擬設(shè)拋物線E：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，直線x＝p與E交于A，B兩點(diǎn)，△ABF的面積為82.求E的方程；(2)若M，N是E上的兩個動點(diǎn)，|MF|＋|NF|＝8，試問：能否存在定點(diǎn)S，使得|SM|＝|SN|？若存在，求出S的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．p[解](1)依題意得F2，0.x＝p，y＝±2p由得，y2＝2px，不如設(shè)A(p，2p)，B(p，－2p)，則|AB|＝22p.p△ABF1p22又F到直線AB的距離為2，因此S＝2×22p×2＝2p.222依題意得，2p＝82，解得p＝4，因此E的方程為y＝8x.法一：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為C(x0，y0)，則x0＝x1＋21＋2x，y0＝y(tǒng)y.22由拋物線的定義，得||＋||＝1＋2＋2＋2，MFNFxx因?yàn)閨MF|＋|NF|＝8，因此x1＋x2＝4，因此x0＝2.當(dāng)x1≠x2時，y1＋y2≠0，kMN＝y(tǒng)2－y1＝y(tǒng)2－y18＝4x2－x122＝，y2y1y1＋y2y0－88y0y0則線段MN的垂直均分線為y－y0＝－4(x－2)，即y＝－4(x－6)，因此線段MN的垂直均分線恒過定點(diǎn)S(6,0)；當(dāng)x1＝2時，線段的垂直均分線為x軸，它也過點(diǎn)(6,0)．xMNS綜上，存在定點(diǎn)(6,0)，使得||＝||.SSMSN法二：假定存在定點(diǎn)，使得對E上知足條件的動點(diǎn)，恒有||＝||，SMNSMSN由對稱性可知，點(diǎn)S必在x軸上，故可設(shè)(0)，(1，1)，(2，2)．St,MxyNxy由拋物線的定義，得||＋||＝1＋2＋x2＋2，MFNFx因?yàn)閨MF|＋|NF|＝8，因此x1＋x2＝4，由||＝||，得x1－t2＋y12＝x2－t2＋22，SMSNy因此(x1－t)2＋8x1＝(x2－)2＋8x2，即[(x1＋2)＋(8－2t)](1－2)＝0，txxx因此(6－t)(x1－x2)＝0①，因?yàn)棰賹χ銞l件的隨意M，N恒建立，因此t＝6.故存在定點(diǎn)S(6,0)，使得|SM|＝|SN|.法三：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為C(x0，y0)．由拋物線的定義，得|MF|＋|NF|＝x1＋2＋x2＋2，因?yàn)閨MF|＋|NF|＝8，因此x1＋x2＝4，故x0＝2.當(dāng)直線MN的斜率存在時，可設(shè)其方程為y＝kx＋b(k≠0)，y＝kx＋bky2－8y＋8＝0.由，得y2＝8xb＝64－32kb，令＞0，得kb＜2.由根與系數(shù)的關(guān)系得8y0＝y(tǒng)1＋y24y1＋y2＝，因此＝，k2k因此線段的垂直均分線為y41x－2)，即y1x－6)，－＝－(＝－(MNkkk因此線段MN的垂直均分線恒過定點(diǎn)S(6,0)．當(dāng)直線MN的斜率不存在時，M，N對于x軸對稱，S(6,0)明顯切合題意．x2y2綜上，存在定點(diǎn)S(6,0)，使得|SM|＝|SN|.,已知橢圓C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的離心率為2，橢圓C和拋物線y2＝x交于M，N兩點(diǎn)，且直線MN恰巧過橢圓C的右焦點(diǎn)F.2求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)F的直線l和橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，交拋物線于C，D兩點(diǎn)，P是拋物線的焦點(diǎn)，能否存在直線l，使得S＝9l的方程；若不存在，請說7△OCD△PAB明原因．c2222[解](1)由a＝2和a＝b＋c，可設(shè)a＝2λ，則c＝2λ，b＝2λ，此中λ＞0.c2c12由題意不如設(shè)M(c，c)，代入橢圓方程，得a2＋b2＝1，即2＋2λ2＝1，解得λ＝2，進(jìn)而a＝22，b＝2，c＝2.x2y2故所求橢圓方程為8＋4＝1.(2)假定存在知足條件的直線l，聯(lián)合已知條件易知直線l的斜率存在且不為零，可設(shè)直線l為y＝k(x－2)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．1SS8S8|CD|9|CD|9由條件知P，△OCD△OCD△OCD＝，故＝.，0，F(xiàn)(2,0)S＝7＝7S＝7|AB||AB|478△PAB△OABS8x2y2由8＋4＝1，得(1＋22)x2－82＋82－8＝0，1＝32k2＋32＞0，kkxky＝kx－28k28k2－8x1＋x2＝1＋22，x1x2＝1＋22，kk2421＋k2則|AB|＝1＋k|x1－x2|＝1＋2k2.y＝kx－2，222＋1)x＋4k2224k2＋1x3＋x4＝k2，x3x4＝4，21＋k21＋82則|CD|＝1＋k34＝2k.|x－x|k1＋k21＋