專題04 新定義集合問題的破題利器

【備戰(zhàn)2018年高考高三數(shù)學一輪熱點、難點一網(wǎng)打盡】第04講新定義集合問題的破題利器＜考綱要求:了解創(chuàng)新型問題的基本解法，讀懂創(chuàng)新型問題的基本背景.基礎(chǔ)知識回顧：新定義題型是近幾年高考命題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種命題方式，考查考生閱讀、遷移能力和繼續(xù)學習的潛能.當題目的條件中提供一種信息，需要解題者很好地把握這種信息，并恰當?shù)刈g成常見數(shù)學模型，然后按通常數(shù)學模型的求解方法去解決.這種信息常常用定義的方式給出，有時規(guī)定一種運算，有時把一些未學過的知識內(nèi)容拿來用定義方式給出.因此，解決集合中新定義問題的關(guān)鍵是準確理解新定義的實質(zhì)，緊扣新定義進行推理論證，把其轉(zhuǎn)化為我們熟知的基本運算。以集合為背景的創(chuàng)新性問題是命題的一個熱點，這類題目常以問題為核心，考査考生探究，發(fā)現(xiàn)的能力，常見的命題形式有：新定義、新運算與性質(zhì)＜應(yīng)用舉例：類型一：定義新運算【例1】【2017河南鄭州質(zhì)檢】］已知集合A，B,定義集合A與B的一種運算A十B,其結(jié)果如下表所示:A{123,4}{—1,1}{—4,8}{—1,0,1}B{2,3,6}{—1,1}{—4,—2,0,2}{—2,—1,0,1}A十B{1,4,6}0{—2,0,2,8}{—2}按照上述定義，若M={—2012,0,2013},N={—2013,0,2014},則M3N= 【例2X2017貴州省貴陽市高三適應(yīng)性考試】A、B為兩個非空集合，定義集合A-B二{xIxeA且x電B}，若A—{-2,—1,0,1,2}，B={xI(x—l)(x+2)＜0}，則A—B=()類型二：定義新概念【例3】【2017北京市朝陽區(qū)高三二模】已知兩個集合A,B，滿足B匸A.若對任意的xeA，存在a,aeB(i主j)，使得x—九a+九a(九,九e{—1,0,1})，則稱B為A的一個基集.若ij 1i2j 1 2A—{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，則其基集B元素個數(shù)的最小值____.【例4】設(shè)S為復數(shù)集C的非空子集.若對任意x，y^S,都有x+y,x—y,xy^S,則稱S為封閉集.下列命題：①集合S={a+bila,b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有0^S；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足SUTUC的任意集合T也是封閉集.其中的真命題是 ?（寫出所有真命題的序號）＜方法、規(guī)律歸納：（1）準確轉(zhuǎn)化：解決新定義問題時，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進行恰當轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.⑵方法選取：對于新定義問題，可恰當選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解.（3）遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質(zhì)?按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決?對于選擇題，可以結(jié)合選項通過驗證，用排除、對比、特值等方法求解.壬實戰(zhàn)演練：1?【2017河北武邑中學高三周考】用C（A）表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義, [C（A）-C（B）,C（A）＞C（B） IB=[C（B）-C（a）,C（A）＜C（b），若a沁2}B=LX2+2x_3R'，且IA—B=1，由a的所有可能值構(gòu)成的集合為S，那么C（S）等于（）A.4B.3C.2D.1【2017湖南石門縣一中高三9月月考】對于任意兩個正整數(shù)m,n，定義某種運算“※”，法則如下：當m,n都是正奇數(shù)時，m探n=m+n；當m,n不全為正奇數(shù)時，m探n=mn，則在此定義下，集合M={（a,b）1a探b=16,aeN*,beN*}的真子集的個數(shù)是（）A.27—1B.211—1c.213—1D.214-1【2017江蘇省蘇北三市高三年級第三次模擬考試】已知集合U={1,2,,n}（neN*,n＞2），對于集合U的兩個非空子集A，B，若AcB=0，貝卩稱（A,B）為集合U的一組“互斥子集”?記集合U的所有“互斥子集”的組數(shù)為f（n）（視（A,B）與（B,A）為同一組“互斥子集”）.（1）寫出f（2），f（3），f（4）的值；⑵求f（n）.【2017北京市石景山區(qū)高三3月統(tǒng)一練習】已知集合R={XIX=（x,x,,x）,xe{0,1},i=1,2,,n}（n＞2）?對于A=（a,a,,a）eR，n 1 2 ni 1 2 n n

定義A與B之間的距離為A= B|- a4b—ni=ni=1寫出R中的所有元素，并求兩元素間的距離的最大值；2若集合M滿足：M匸R，且任意兩元素間的距離均為2,求集合M中元素個數(shù)的最大值3并寫出此時的集合M；設(shè)集合P匸R,P中有m(m>2)個元素，記P中所有兩元素間的距離的平均值為d(P),n證明d證明d(P)<mn2(m—1)5.【2017屆北京市西城區(qū)高三二?！吭O(shè)集合A={123,…，2n}(neN*,n>2).如果對于A的每一個含2n 2n有m(m>4)個元素的子集P,P中必有4個元素的和等于4n41，稱正整數(shù)m為集合化的一個“相關(guān)數(shù)”.當n=3時，判斷5和6是否為集合A的“相關(guān)數(shù)”，說明理由;6若m為集合A的“相關(guān)數(shù)”，證明：m—n—3>0；2n給定正整數(shù)n.求集合A的“相關(guān)數(shù)”m的最小值.2n【2017浙江省溫州市高三月考】設(shè)集合S={A,A,A,A}，在S上定義運算十為：A十A=A,其中0 12 3 ?jkTOC\o"1-5"\h\zk為i4j被4除的余數(shù)，i，j=0，1，2,3?若(A十A)十A=A，則m的值為( )2 3 m0A.0B.1 C.2D.3【2017重慶市第八中學高三月考】定集合A,若對于任意a,b^A,有a+beA,且a-beA,則稱集合A為閉集合，給出如下三個結(jié)論：①集合A={—4,—2,0,2,4}為閉集合；②集合A={nln=3k,keZ}為閉集合；③若集合A1，A2為閉集合，則A1uA2為閉集合?其中正確結(jié)論的序號是 .【2017湖北省襄陽市第四中學高三月考】對于集合A={a1，a2，…，a/ne",n>3)，定義集合S={xlx=a+a1<i<j<n},記集合S中的元素個數(shù)為S(A).若a1,a2,…，a是公差大于零的等差數(shù)列，則S(A)ij, 1 2 n【2017