專題10“類比推理”

專題10類比推理”之相似知識要點1．熟練掌握構(gòu)成相似的基本圖形及相關(guān)結(jié)論，學會常見的相似圖形及變式在解題中的運用．2．理解并掌握平移、對稱、旋轉(zhuǎn)在相似中的綜合運用．典析賞析類型一相似的基本圖形與變式的簡單運用例1 在厶ABC中，AB=16,BC=12,AC=9,點D在邊AC上，CD：AD=2：1,點E在邊BC上，若以點C,D,E構(gòu)成的三角形與厶ABC相似，則BE=【分析】如圖10—1,顯然有兩種可能（如圖①和圖②所示）、根據(jù)相似的判定，不難得到答案，分別為4或7.5,這是相似三角形中最基本的兩個圖形,可以說所有的相似三角形均可由這兩個基本圖形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱演化而來,因此對這兩個基本圖形的構(gòu)成,形狀特征和相關(guān)結(jié)論應熟練掌握.旦,則厶DECs^ABC,得BE=4；情況2,CB旦,則厶DECs^ABC,得BE=4；情況2,CB由CD=CE，則△EDCs^ABC，得BE=7.5,綜上所述，BE=4或7.5.CBCA【知識點撥】1.熟練掌握相似三角形基本圖形的相關(guān)計算.2.體會相似三角形基本圖形的各種演變和聯(lián)系.【點評】本題是一道相似三角形基本圖形的簡單應用實例，應能利用這兩個基本圖形，求出相關(guān)線段的長與面積周長等.【知識點撥】將例1中的△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)180°，得到如圖10—2所示的兩個變式的基本相似三角形.

拓展與變式1 在厶ABC中，AB=16,BC=12,AC=9，點D在邊AC的延長線上，點E在邊BC的延長線上，設CD=x,若以點C,D,E構(gòu)成的三角形與厶ABC相似，用含x的代數(shù)式表示:BE=DE 拓展與變式2 在RtAABC中，ZACB=90。，AB=15,AC=9,點D在直AC上,CD：AD=2：1,點E在直線BC上，若以點C,D,E構(gòu)成的三角形與厶ABC相似，則BEDP■I'DP■I'拓展與變式4貝yBE= CG拓展與變式4貝yBE= CGAio-a用10-5拓展與變式3 將圖10-1②中的直線DE平移，分別使D點與A點重合，或E點與B點重合（如圖10—3），已知AB=16,BC=12,AC=9，則在圖10-3①中，BE= ,AE= ；在圖10—3②中，AD= ,BD= .如圖10—4,在Rt^ABC中，ZCAB=90。，AB=12,AC=9,AE丄BC于點E,【點評】實際上，本題之圖是將圖10-3①中的ZCAB改為90°得到的圖形，是一個“雙垂直得到三個三角形均互相相似”的常見圖形,在這個圖形中,只需知道任意兩個條件（至少有一個是邊的條件）,則相關(guān)的線段和相應的問題均可求出（即“知二求多”）．解題的根據(jù)是相似、三角函數(shù)和勾股定理．繼續(xù)將圖10-4中的△ACE以點A為位似中心進行縮放（類似于圖10-1①的情形），得到AAFG,如圖10-5和圖10-6所示，再通過旋轉(zhuǎn)，就得到圖10-7和圖10-8（這是最常見的“一線三直角”的基本圖形變式），再將ZBAF（=90°）旋轉(zhuǎn)，就得到一系列的“一線三直角”的變式圖形，你不妨也來畫幾個圖形試試.拓展與變式5 一塊直角三角尺ABC按如圖10-9所示放置，頂點A的坐標為（0,1），直角頂點C的坐標為（一3,0）,ZB=30°,求點B的坐標.

【點評】將上變式圖10—8中的ZBAF政改為任意固定的角（如圖10—10），又得到通常的“一線三等角”（最常考的是90°、60°和45°的定角）．如圖10－11，試試看，你能添加出對應的“一線三等角”的變式圖形的輔助線嗎？? ② ? ② (D (2)- ?圖 9ia.ii拓展與變式6 在等邊三角形ABC中，AB=9,點E在直線BC上，點D在直線AC上，且ZAFD=60°.（1）若BE=3,則AD= ；（2）若AD=7，貝卩S△aeDT -類型二“旋轉(zhuǎn)相似”的應用如圖10-12①，在△ABC中，D，E分別是AC，BC邊上一點，且△CDE^^CAB.若將△CDE繞點C旋轉(zhuǎn)任意一個角度，或旋轉(zhuǎn)同時將厶CDE的另一個頂點（如點D）在任意一直線或圖形上運動，仍有△CDE^△CAB；若連接AD，BE,則又可得到△ACDs^BCE.我們可將這一類型的相似，稱為“旋轉(zhuǎn)相似”.

￡C；DcAI)n￡C；DcAI)n10-12例2（2017?福建）如圖10-13,在矩形ABCD中，AD=8,AB=6,P,E分別為線段AC,BC上的點，四邊形PEFD是矩形，連接CF.（1） 當厶PCD為等腰三角形時，AP的長為 ；（2） 當AP='/2，求線段CF的長.【分析】（1）分三種情況：①當CP=CD時，AP=AC-CD=4；②當PD=PC時，可得PD=PA，所以AP=1AC=5；③當DP=DC時，可過點D作DQ丄AC2于點Q,先求出DQ的長為24，再求出CQ的長，得到AP=AC-2CQ=142）連接PF,DE交于點O連接OC,則可得到AADPsACDF（“旋轉(zhuǎn)相似”），再利用相似性質(zhì)構(gòu)建方程計算CF的長?（本題解法多種，分析和解答僅提供相似的一種情況）【解】（1）4或5或5（2）如圖10-14,連接PF和DE,相交于點O連接OC.?/四邊形ABCD和PEFD都是矩形，???ZADC=ZPDF=90°，即ZADP+ZPDC=ZPDC+ZCDF.???ZADP=ZCDF.VZBCD=90°,OE=OD,OC=1ED.2在矩形PEFD中，PF=DE,???OC=丄PF.2???OP=OF=PF,??OC=OP=OF.AZOCF=ZOFC,ZOCP=ZOPC.2又VZOPC+ZOFC+ZPCF=180°,A2ZOCP+2ZOCF=180°.???ZPCF=90。，即ZPCD+ZFCD=90。.在Rt^ADC中，ZPCD+ZPAD=90。,???ZPAD=ZFCD.A△ADPs^CDF..：CF=CD=-APAD4

AP=?：2，.:CF= .4【點評】此題主要考査了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的分類討論和相似變換等內(nèi)容，其中第二小題是一道典型的“旋轉(zhuǎn)相似”問題．拓展與變式7 在例2的基礎上，圖形與條件均不變，進一步解決下列問題：求證：矩形PEFDs矩形ABCD；當AP=Q，求矩形PEFD的面積.拓展與變式8四邊形PEFD是矩形如圖10—15，在矩形ABCD中，AD=8,AB=6,P,E分別為線段AC,BC上的點,廷長EP交直線AB于點G,當AP=拓展與變式8四邊形PEFD是矩形2拓展與変式9 如圖10-16，在矩形ABCD拓展與変式9 如圖10-16，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,P為對角線AC上的動點，連接DP,將直線DP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，使ZDPF=ZDAC，且與過D點作PF的垂線交于點F,連接CF.設AP=x,CF=y,當y取得最小值時，ffi10-16拓展與變式10=90°，且滿足竺EF如圖10-17,在RtAABC中，AB=6,BC=8,P,E分別為邊AC,BC上的動點，ZPEF3，連接CF，當BE=3時，設AP=X，CF=y，求y與X的函數(shù)表達式.拓展與變式11如圖10-18,拓展與變式11如圖10-18,在Rt^ABC中，AB=6,BC=8,P,E分別為邊AC,BC上的動點，將直線PE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°后與過C點且垂直于AC的直線交于點F,當AP=2.5時，設BE=x,CF=y,寫出y與x的函數(shù)表達式： .類型三圓中相似向題如圖10-19所示的是圓中常見的相似圖形,能從中得到相關(guān)的常見結(jié)論,務必熟練掌握如圖10-19和圖10-20所示的其實就是兩弦（或所在的直線）相父的情形，可得到兩對相似，分別是ZADE“△BCE和厶ACEs^BDE.如圖10-21所示（條件是AB=AC或等價的條件，如DA平分ZBDC等）可得到6對相似三角形，分別是：△ABEsAcdEs^aDB’AACEsAbdEsAaDC.例3 已知CD是厶ABC的高，若CD=6,AD=3,BD=8,則厶ABC的外接圓的直徑為【分析】因CD是厶ABC的高，所以要分兩種情況（銳角三角形和鈍角三角形），需正確畫出符合題意的圖.同時由“高”和“直徑”自然聯(lián)想到“直角”,因此可通過構(gòu)造兩直角三角形相似解決問題．【解】如圖10-22,當厶ABC分別為銳角三角形和鈍角三角形時，分別添加如圖10-23所示的輔助線,圖10-?? 圖10-?? 瞬tO-23 ffl10^4在圖10-23①中，在RtAACD中，ZACD=90。，根據(jù)勾股定理，ACrAD2+CD2=3后.同理，在Rt^CDB中，求得BC=10，在△ACD和厶EBC中，ZA=ZE,ZECB=ZADC=90°,???△ACD^AEBC.Acd=BC，即旦=衛(wèi)，解得BE=5*5.ACBE 375BE在圖10-23②中，同理可求得BE=用.綜上所述，BE=5^5.【點評】本題關(guān)健是發(fā)現(xiàn)厶ACD為恒定三角形，所以通過添加輔助線，構(gòu)造△EBCsAACD,求出直徑BE的長．拓展與變式12 已知CD是厶ABC的高，若AD=2,BD=3,ZACB=45°，則CD= 拓展與變式13 如圖10-24,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=10，AC=6，ZACB的平分線交AB于點卩，交厶ABC的外接圓于點E,則CD?CE=對接中考同步練習】1. （2017?杭州）如圖10-25,在厶ABC中，點D,E分別在邊AB,AC上,DE〃BC,若BD=2AD」（ ）AE_1EC_2AE_1EC_2AB_2DE_1BC~2

2.（2017?攀枝花）如圖10—26，已知D是等邊三角形ABC邊AB上的點，AD=2,BD=4,現(xiàn)將△ABC折疊，使點C與點D重合，折痕為EF,且點E，F(xiàn)分別在邊AC和BC上，則CF= .CE3.（3.（2017?奉安）如圖10-27，在正方形ABCD中，M為BC上一點，ME丄AM,ME交AD的延長線于點E,若AB=12，BM=5，求DE的長.4.（2017?杭州）如圖10-28,在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=15,AC=20，點D在邊AC上,AD=5,DE丄BC于點E,連接人已‘求厶ABE的面積.5.（2017宿遷）如圖10—29，在△ABC中，AB=AC,點E在邊BC上移動（點E不與點B、C重合），ZDEF=ZB，且點D、F分別在邊AB、AC上。（1） 求證：△ABCs^ABC；（2） 當點E移動到BC的中點時，求證：FE平分ZDFCoBEBE圖10—29圖10—31CAM圖10—31CAM在RtAABC中，ZACB=90°,AC=12,AB=15,D為邊AB上的一點，連接CD。當CD丄AB時，BD的長= ；若M是CD的中點，連接BM,當ZDBM^ZACD時，求BD的長。【壓軸挑戰(zhàn)