數(shù)學(xué)人教B版必修四學(xué)案1.3.1第一課時(shí)　正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)Word版含解析【高考】

1．3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．3.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)第一課時(shí)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)|目標(biāo)索引|1．能正確使用“五點(diǎn)法”“幾何法”和“圖象變換法”作出正弦函數(shù)的圖象，掌握“五點(diǎn)法”作圖的技巧．2．理解正弦函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求正弦函數(shù)的最小正周期、奇偶性、單調(diào)區(qū)間及最值.1．五點(diǎn)法作圖正弦曲線y＝sinx，x∈R上五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)的圖象時(shí)，要注意圖象的對(duì)稱(chēng)性和凸凹方向及在x＝0，π，2π附近函數(shù)增加或下降快一些，曲線“陡”一些，在x＝eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)附近函數(shù)變化慢一些，曲線變得“平緩”．2．正弦函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)的定義一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿(mǎn)足f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期的定義對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做它的最小正周期．3．正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinx圖象定義域(－∞，＋∞)值域[－1,1]奇偶性奇函數(shù)周期性最小正周期：2π單調(diào)性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上遞增；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上遞減最值x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，y最大值＝1；x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)，y最小值＝－1對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)中心：(kπ，0)(k∈Z)對(duì)稱(chēng)軸l：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)1．y＝2sinx的值域是()A．[－1,1] B.[0,2]C．[－2,0] D.[－2,2]答案：D2．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝2交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A．0 B.1C．2 D.3解析：y＝1＋sinx的圖象如圖所示，可知與y＝2有1個(gè)交點(diǎn)，故選B.答案：B3．y＝sinx與y＝sin(－x)的圖象關(guān)于________對(duì)稱(chēng)．答案：x軸，y軸作出函數(shù)y＝－sinx，x∈[－π，π]的簡(jiǎn)圖，并完成下列問(wèn)題：(1)觀察函數(shù)圖象，寫(xiě)出滿(mǎn)足下列條件的x的區(qū)間：①y＞0；②y＜0.(2)直線y＝eq\f(1,2)與y＝－sinx的圖象有幾個(gè)交點(diǎn)．【分析】因?yàn)橐骱瘮?shù)的簡(jiǎn)圖，所以采用五點(diǎn)法，根據(jù)自變量的取值范圍，這五點(diǎn)應(yīng)是(－π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，1))，(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－1))，(π，0)，要找y＝eq\f(1,2)與圖象的交點(diǎn)，需過(guò)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))點(diǎn)作x軸的平行線，再看它和圖象的交點(diǎn)．【解】利用五點(diǎn)法作圖．(1)根據(jù)圖象可知圖象在x軸上方的部分y＞0，在x軸下方的部分y＜0，即當(dāng)x∈(－π，0)時(shí)，y＞0；當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，y＜0.(2)畫(huà)出直線y＝eq\f(1,2)，知有兩個(gè)交點(diǎn)．【知識(shí)點(diǎn)撥】“五點(diǎn)法”的實(shí)質(zhì)是在函數(shù)y＝sinx的一個(gè)周期內(nèi)，選取5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及與x軸的交點(diǎn)，這五個(gè)點(diǎn)大致確定了函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)圖象的形狀．函數(shù)f(x)＝|lgx|－sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：在同一坐標(biāo)系中做出y＝|lgx|與y＝sinx的圖象，如圖所示，可知y＝|lgx|與y＝sinx有4個(gè)交點(diǎn)，故f(x)＝|lgx|－sinx的零點(diǎn)有4個(gè)．答案：4(1)函數(shù)y＝sin2x＋sinx－1的值域?yàn)?)A．[－1,1] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，－1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(5,4)))【解析】令t＝sinx∈[－1,1]，∴y＝t2＋t－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(5,4).∴當(dāng)t＝－eq\f(1,2)時(shí)，ymin＝－eq\f(5,4)，當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1，∴y＝sin2x＋sinx－1的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1))，故選C.【答案】C(2)求函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)≤x≤\f(π,6)))的最大值和最小值．【解】∵－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,6)，∴0≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，∴0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))≤1.∴當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝1時(shí)，ymax＝2；當(dāng)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝0時(shí)，ymin＝0.【知識(shí)點(diǎn)撥】函數(shù)y＝sinx(x∈R)的值域?yàn)閇－1,1]；y＝sinx(x∈R)需要作出y＝sinx的圖象，結(jié)合圖象，求值域；y＝Asin2x＋Bsinx＋C型的函數(shù)，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域．已知函數(shù)y＝sinx的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇－1,1]，則b－a的值不可能是()A.eq\f(π,2) B.πC.eq\f(3π,2) D.2π解析：函數(shù)y＝sinx的周期為2π，若值域?yàn)閇－1,1]，則b－a≥π，故b－a的值不可能是eq\f(π,2)，故選A.答案：A函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))取得最大值時(shí)的x的集合為_(kāi)_______．解析：f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≤2，當(dāng)f(x)＝2時(shí)，2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，∴x＝eq\f(π,8)＋kπ，k∈Z，∴f(x)取得最大值時(shí)x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,8)＋kπ，k∈Z)))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(π,8)＋kπ，k∈Z))))(1)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，f(x)＝sinx，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))的值為()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,2)(2)函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，\f(π,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))(3)下列關(guān)系式中正確的是()A．sin11°<cos10°<sin168°B．sin168°<sin11°<cos10°C．sin168°<cos10°<sin11°D．sin11°<sin168°<cos10°【解析】(1)由題可得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，故選B.(2)由題可得－eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，∴－eq\f(π,6)＋2kπ≤x≤eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(5π,6)，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))是y＝sinx－eq\f(π,3)的一個(gè)增區(qū)間．故選C.(3)sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin80°，函數(shù)y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，∴sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°，故選D.【答案】(1)B(2)C(3)D【知識(shí)點(diǎn)撥】(1)利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小，若是同名函數(shù)，則將兩個(gè)自變量的值放在同一單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性判斷，若不是同名函數(shù)，則先化為同名函數(shù)再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．(2)對(duì)函數(shù)周期性的理解，如果函數(shù)f(x)是周期為T(mén)的函數(shù)，則f(x)對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x值，都滿(mǎn)足f(x＋T)＝f(x)，一個(gè)周期函數(shù)的周期不止一個(gè)，若有最小正周期，則最小正周期只有一個(gè)；若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z，k≠0)也是函數(shù)f(x)的周期．求下列函數(shù)的周期：(1)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)))；(2)f(x)＝|sinx|＋sinx.解：(1)在f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,6)))中，∵ω＝eq\f(1,2)，∴T＝eq\f(2π,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))))＝4π.(2)作出y＝|sinx|＋sinx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2sinx，2kπ＜x≤2kπ＋π，k∈Z，,0，2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z))的圖象．由圖象可知y＝|sinx|＋sinx的周期為2π.比較下列各組數(shù)的大?。?1)sin194°和cos160°；(2)sineq\f(7,4)和coseq\f(5,3).解：(1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°.cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°.從而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.(2)∵coseq\f(5,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，又eq\f(π,2)＜eq\f(7,4)＜eq\f(π,2)＋eq\f(5,3)＜eq\f(3π,2)，y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是減函數(shù)，∴sineq\f(7,4)＞sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(5,3)))＝coseq\f(5,3).即sineq\f(7,4)＞coseq\f(5,3).eq\a\vs4\al(知識(shí)點(diǎn)一正弦函數(shù)的性質(zhì))1．下列函數(shù)不是奇函數(shù)的是()A．y＝sinx B.y＝sin2xC．y＝sinx＋2 D.y＝eq\f(1,2)sinx答案：C2．(2018·全國(guó)卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是減函數(shù)，則a的最大值是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D.π解析：因?yàn)閒(x)＝cosx－sinx＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以由2kπ≤x＋eq\f(π,4)≤π＋2kπ(k∈Z)，得－eq\f(π,4)＋2kπ≤x≤eq\f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)，因?yàn)閇－a，a]?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以