專題1.3 圖形的平移-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（教師版含解析） 2022年七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（浙教版）

專題1.5圖形的平移-重難點(diǎn)題型【浙教版】【知識點(diǎn)1平移的定義】1．圖形的平移必須具備兩個(gè)要素：平移的方向與平移的距離．其中，平移的方向是平移前圖形上的某一點(diǎn)到其對應(yīng)點(diǎn)所指的方向；平移的距離是平移前圖形上的某一點(diǎn)到其對應(yīng)點(diǎn)之間的距離．2．平移只改變位置，形狀與大小都不改變。【題型1平移的定義】【例1】（2021春?揚(yáng)州期末）下列圖形中哪一個(gè)圖形不能由平移得到（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平移概念，將圖形上的所有點(diǎn)都按照某一個(gè)方向做相同距離的移動(dòng)叫平移，可以直接得出答案．【解答】解；根據(jù)平移的概念；A，B．D，都是平移，只有C是旋轉(zhuǎn)，故選：C．【變式1-1】（2021春?臨西縣期末）下列各組圖形可以通過平移互相得到的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平移不改變圖形的形狀和大小，將題中所示的圖案通過平移后可以得到的圖案是C．【解答】解：觀察圖形可知圖案C通過平移后可以得到．故選：C．【變式1-2】（2021春?包河區(qū)期末）下列幾種運(yùn)動(dòng)中屬于平移的有（）①水平運(yùn)輸帶上磚的運(yùn)動(dòng)；②筆直的鐵路上行駛的動(dòng)車（忽略車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)）；③升降機(jī)上下做機(jī)械運(yùn)動(dòng)；④足球場上足球的運(yùn)動(dòng)．A．4種 B．3種 C．2種 D．1種【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，對各小題進(jìn)行分析判斷即可求解．【解答】解：①水平運(yùn)輸帶上磚的運(yùn)動(dòng)，是平移變換；②筆直的鐵路上行駛的動(dòng)車（忽略車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)），是平移變換；③升降機(jī)上下做機(jī)械運(yùn)動(dòng)，是平移變換；④足球場上足球的運(yùn)動(dòng)，是旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)．所以屬于平移的有①②③共3種．故選：B．【變式1-3】（2021春?龍崗區(qū)期末）在以下現(xiàn)象中：①用打氣筒打氣時(shí)，氣筒里活塞的運(yùn)動(dòng)；②傳送帶上，瓶裝飲料的移動(dòng)；③在筆直的公路上行駛的汽車；④溫度計(jì)中，液柱的上升或下降；⑤鐘擺的擺動(dòng)．屬于平移的是（）A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，對題中的現(xiàn)象進(jìn)行一一分析，選出正確答案．【解答】解：①用打氣筒打氣時(shí)，氣筒里活塞沿直線運(yùn)動(dòng)，符合平移的性質(zhì)，故屬平移；②傳送帶上，瓶裝飲料的移動(dòng)沿直線運(yùn)動(dòng)，符合平移的性質(zhì)，故屬平移；③在筆直的公路上行駛的汽車沿直線運(yùn)動(dòng)，符合平移的性質(zhì)，故屬平移；④隨溫度計(jì)中，液柱的上升或下降時(shí)，體積要發(fā)生變化，不符合平移的性質(zhì)；⑤鐘擺的擺動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過程中改變圖形的方向，不符合平移的性質(zhì)．故選：C．【知識點(diǎn)2平移的性質(zhì)】（1）平移得到的圖形與原圖形中的對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等；對應(yīng)角相等；對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或共線）且相等；（2）“將一個(gè)圖形沿某一個(gè)方向移動(dòng)一定的距離”意味著“圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都沿同一方向移動(dòng)了相同的距離”?！绢}型2利用平移的性質(zhì)解長度問題】【例2】（2021春?西城區(qū)校級期中）如圖所示：某公園里有一處長方形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD，AB長50米，BC寬25米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），小明同學(xué)在假期沿著小路的中間行走（圖中虛線），則：小明同學(xué)所走的路徑長約為（）米．（小路的寬度忽略不計(jì)）A．150米 B．125米 C．100米 D．75米【分析】由于路的寬度忽略不計(jì)，因此行走的路線的長AD+AB+BC，代入計(jì)算即可．【解答】解：由平移的性質(zhì)可知，由于小路的寬度忽略不計(jì)，因此說行走的路程為AD+AB+BC＝25+50+25＝100（米），故選：C．【變式2-1】（2021春?伍家崗區(qū)期末）如圖是一段臺(tái)階的截面圖，高BC為5米，直角邊AC為12米，現(xiàn)打算在臺(tái)階上鋪上一整張防滑毯，至少需防滑毯的長為（）A．12米 B．13米 C．17米 D．18米【分析】根據(jù)平移可知防滑毯的長度等于橫向與縱向的長度之和即可求出地毯的長度．【解答】解：防滑毯的長度為：5+12＝17（米）；故選：C．【變式2-2】（2021春?含山縣期末）夏季荷花盛開，為了便于游客領(lǐng)略“人從橋上過，如在河中行”的美好意境，某景點(diǎn)擬在如圖所示的長方形荷塘上架設(shè)小橋（圖中虛線），若荷塘周長為900m，且橋?qū)捄雎圆挥?jì)，則小橋的總長為450m．【分析】根據(jù)圖形得出荷塘中小橋的總長為矩形的長與寬的和，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵荷塘周長為900m，∴小橋總長為：900÷2＝450（m）．故答案為：450．【變式2-3】（2021春?炎陵縣期末）如圖，從甲地到乙地有三條路線：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，在這三條路線中，走哪條路線近？答案是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③【分析】將三條路線分別平移，可知這三條路線的長度都是長方形周長的一半．【解答】解：如圖所示：三條路線的長度都等于大長方形周長的一半．故選：D．【題型3利用平移的性質(zhì)解周長問題】【例3】（2021秋?市中區(qū)期末）如圖，三角形ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm，BC＝3.5cm，將三角形ABC沿BC方向平移2cm，連接AD，則四邊形ACFD的周長是10cm．【分析】先利用平移的性質(zhì)得到AD＝CF＝2cm，DF＝AC＝3cm，然后計(jì)算四邊形ACFD的周長．【解答】解：∵三角形ABC沿BCA方向平移2cm得到△DEF，∴AD＝CF＝2cm，DF＝AC＝3cm，∴四邊形ACFD的周長＝2+3+2+3＝10（cm）．故答案為10cm．【變式3-1】（2021秋?江夏區(qū)期中）如圖，將△ABC向右平移acm（a＞0）得到△DEF，連接AD，若△ABC的周長是36cm，則四邊形ABFD的周長是（）A．（36+a）cm B．（72+a）cm C．（36+2a）cm D．（72+2a）cm【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)得出AD＝a，BF＝BC+CF＝BC+a，DF＝AC，再根據(jù)四邊形ABFD的周長＝AD+AB+BF+DF即可得出結(jié)論．【解答】解：∵將周長為36cm的△ABC沿邊BC向右平移a個(gè)單位得到△DEF，∴AD＝a，BF＝BC+CF＝BC+a，DF＝AC，又∵AB+BC+AC＝36cm，∴四邊形ABFD的周長＝AD+AB+BF+DF＝a+AB+BC+a+AC＝（36+2a）（cm）．故選：C．【變式3-2】（2021春?廬江縣期中）如圖，將△ABC沿CB向左平移3cm得到△DEF，AB，DF相交于點(diǎn)G，如果△ABC的周長是12cm，那么△ADG與△GBF周長之和為（）A．12cm B．15cm C．18cm D．24cm【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得AD＝EB，然后判斷出△ADG與△BGF的周長之和＝AD+DG+GF+AG+BG+BF＝EF+AB+DF，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【解答】解：∵將△ABC向左平移3cm得到△DEF，∴AD＝EB，∴△ADG與△GBF的周長之和＝AD+DG+GF+AG+BG+BF＝EF+AB+DF＝BC+AB+AC＝12（cm），故選：A．【變式3-3】（2021?寧波模擬）如圖，所有角均為直角，所有線段均不相等，若要知道該圖形周長，至少需要知道幾條線段的長（）A．3條 B．4條 C．5條 D．6條【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，通過平移構(gòu)成矩形，據(jù)此判斷即可．【解答】解：如圖：若要知道該圖形周長，至少需要知道4條線段的長：BC、AB，IJ，EF，∵BC＝AL+KJ+IH+GF+DE，AB＝LK+KK′＝LK+CC′，IJ＝HG+GG′＝HG+C′D′，EF＝DD′，∴只要知道BC、AB，IJ，EF4條線段的長，就能知道該圖形周長．故選：B．【題型4利用平移的性質(zhì)解面積問題】【例4】（2021秋?海陽市期末）如圖，將Rt△ABC沿著點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到△DEF的位置，已知AB＝6，HD＝2，CF＝3，則圖中陰影部分的面積為（）A．12 B．15 C．18 D．24【分析】先判斷出陰影部分面積等于梯形ABEH的面積，再根據(jù)平移變化只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得DE＝AB，然后求出HE，根據(jù)平移的距離求出BE＝CF＝3，然后利用梯形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵△ABC沿著點(diǎn)B到點(diǎn)C的方向平移到△DEF的位置，∴△ABC的面積＝△DEF的面積，∴陰影部分面積等于梯形ABEH的面積，由平移的性質(zhì)得，DE＝AB＝6，BE＝CF＝3，∵AB＝6，DH＝2，∴HE＝DE﹣DH＝6﹣2＝4，∴陰影部分的面積=12×（4+6）×3故選：B．【變式4-1】（2021春?市中區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝10．將△ABC沿著BC的方向平移至△DEF，若平移的距離是5，則圖中陰影部分的面積為（）A．25 B．50 C．35 D．70【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)得AC＝DF，AD＝CF＝5，于是可判斷四邊形ACFD為平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵直角△ABC沿BC邊平移5個(gè)單位得到直角△DEF，∴AC＝DF，AD＝CF＝5，∴四邊形ACFD為平行四邊形，∴S平行四邊形ACFD＝CF?AB＝5×10＝50，即陰影部分的面積為50，故選：B．【變式4-2】（2021春?和平區(qū)校級月考）如圖，一塊形狀為長方形ABCD的場地，長AB＝98米，寬AD＝46米，A、B兩處入口E小路寬都為1米，兩小路匯合處路口寬2米，其余部分種植草坪，那么草坪的面積為（）A．4320平方米 B．4410平方米 C．4416平方米 D．4508平方米【分析】本題要看圖解答．從圖中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一個(gè)長方形，然后根據(jù)題意求出長和寬，最后可求出面積．【解答】解：由圖可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一個(gè)新的矩形，且它的長為：98﹣2＝96，寬為46﹣1＝45，所以草坪的面積是：長×寬＝96×45＝4320（米2）．故選：A．【變式4-3】（2021春?洪洞縣期末）如圖，將△ABC沿射線BC方向移動(dòng)，使點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△DCE，連接AE，若△ABC的面積為2，則△ACE的面積為（）A．2 B．4 C．8 D．16【分析】首先根據(jù)平移的性質(zhì)，可得BC＝CE；然后根據(jù)兩個(gè)三角形的高相等時(shí)，面積和底成正比，可得△ACE的面積等于△ABC的面積，據(jù)此解答即可．【解答】解：∵將△ABC沿射線BC方向移動(dòng)，使點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)C，得到△DCE，∴BC＝CE，∵△ACE和△ABC底邊和高都相等，∴△ACE的面積等于△ABC的面積，又∵△ABC的面積為2，∴△ACE的面積為2．故選：A．【題型5利用平移作圖】【例5】（2021春?高郵市期中）如圖，在邊長為1個(gè)單位的正方形網(wǎng)格中，△ABC經(jīng)過平移后得到△A′B′C′，圖中標(biāo)出了點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′．根據(jù)下列條件，利用網(wǎng)格點(diǎn)和無刻度的直尺畫圖并解答相關(guān)的問題（保留畫圖痕跡）：（1）畫出△A′B′C′；（2）連接AA′、CC′，那么AA′與CC′的關(guān)系是平行且相等；（3）△ABC的面積是7.5．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和平移的性質(zhì)，畫出A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)進(jìn)行判斷；（3）用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)直角三角形的面積和一個(gè)小正方形的面積去計(jì)算△ABC的面積．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′為所求；（2）如圖，AA′＝CC′，AA′∥CC′；故答案為平行且相等；（3）△ABC的面積＝5×5-12×4×1-12×4×1﹣1-故答案為7.5．【變式5-1】（2021春?江都區(qū)期中）如圖，在方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)就是小正方形的格點(diǎn)，將△ABC向右平移3個(gè)單位長度再向下平移1個(gè)單位長度，得到△A′B′C′．（1）在格中畫出平移后的△A′B′C′；（2）若連接AA′，CC′，則這兩段線段的關(guān)系是平行且相等．；（3）用直尺作出平移后△A′B′C′高線A′D′；（4）△ABC的面積是3．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A′，B′，C′即可．（2）利用平移變換的性質(zhì)判斷即可．（3）根據(jù)三角形的高的定義作出圖形即可．（4）利用分割法把三角形面積看成矩形面積截取周圍三個(gè)三角形面積即可．【解答】解：（1）如圖，△A′B′C′即為所求．（2）如圖，AA′∥CC′．故答案為：平行且相等．（3）如圖，線段A′D′即為所求．（4）△ABC的面積＝2×4-12×1×4-12×1×2-故答案為：3．【變式5-2】（2021春?江都區(qū)月考）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的位置如圖所示，將△ABC先向右平移5格，再向上平移2格得△A1B1C1．（1）畫出平移后的△A1B1C1；（2）畫出△ABC的高BH（借助格點(diǎn)，留下作圖痕跡）；（3）圖中AC與A1C1的關(guān)系是AC＝A1C1，AC∥A1C1；（4）平移中線段AC掃過部分的面積是28．【分析】（1）利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．（2）根據(jù)三角形的高的定義，畫出圖形即可．（3）利用平移變換的性質(zhì)判斷即可．（4）平移中線段AC掃過部分的面積是兩個(gè)平行四邊形的面積之和．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，線段BH即為所求．（3）圖中AC與A1C1的關(guān)系是AC＝A1C1，AC∥A1C1．故答案為：AC＝A1C1，AC∥A1C1．（4）平移中線段AC掃過部分的面積是5×4+2×4＝28．【變式5-3】（2021春?興化市期末）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是1，△ABC是格點(diǎn)三角形（三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．△ABC經(jīng)過平移后得到△A'B'C'，點(diǎn)B恰好落在點(diǎn)B'處，（1）請畫出平移后的△A'B'C'；（2）△A'B'C'的面積等于152（3）在線段PQ上是否存在格點(diǎn)M，使得△MA'C'的面積是△MA'B'面積的2倍？若存在，請畫出所有這樣的格點(diǎn)M1，M2，…，若不存在，請說明理由．【分析】（1）將三個(gè)頂點(diǎn)分別向左平移5個(gè)單位、向上平移2個(gè)單位得到其對應(yīng)點(diǎn)，再首尾順次連接即可；（2）利用割補(bǔ)法，用長為2、寬為6的矩形面積減去四周的三個(gè)三角形的面積即可；（3）根據(jù)三個(gè)三角形的高相同，要使△MA'C'的面積是△MA'B'面積的2倍只需使對應(yīng)底邊的長度滿足2倍的關(guān)系即可．【解答】解：（1）畫出平移后的△A'B'C'；（2）△A'B'C'的面積等于3×6-12×3×3-12×2×3故答案為：152（3）如圖所示，點(diǎn)M1、M2即為所求．【題型6平移中幾何綜合問題】【例6】（2021秋?吉林期末）如圖，點(diǎn)C、M、N在射線DQ上，點(diǎn)B在射線AP上，且AP∥DQ，∠D＝∠ABC＝80°，∠1＝∠2，AN平分∠DAM．（1）試說明AD∥BC的理由；（2）試求∠CAN的度數(shù)；（3）平移線段BC．①試問∠AMD：∠ACD的值是否發(fā)生變化？若不會(huì)，請求出這個(gè)比值；若會(huì)，請找出相應(yīng)變化規(guī)律；②若在平移過程中存在某種位置，使得∠AND＝∠ACB，試求此時(shí)∠ACB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義解答即可；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）∵AP∥DQ，∴∠D+∠DAB＝180°．∵∠D＝80°，∴∠DAB＝100°．∵∠ABC＝80°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（2）∵AN平分∠DAM，∴∠NAM＝∠NAD=12∠∵∠1＝∠2，∴∠CAM=12∠∴∠NAM+∠CAM=12∠DAM+1即：∠CAN=12∵∠DAB＝100°，∴∠CAN＝50°，（3）①不會(huì)．∵AP∥DQ，∴∠AMD＝∠MAB＝2∠1，∠ACD＝∠1，∴∠AMD：∠ACD＝2，②∵AP∥DQ，AD∥BC，∴∠AND＝∠NAB，∠ACB＝∠DAC，∵∠AND＝∠ACB，∴∠NAB＝∠DAC，∴∠NAB﹣∠NAC＝∠DAC﹣∠NAC，即：∠1＝∠DAN．∴∠1＝∠2＝∠DAN＝∠MAN＝25°，∴∠ACB＝∠DAC＝75°．【變式6-1】（2021春?吉林月考）如圖，AM∥BN，線段CD的兩個(gè)端點(diǎn)C，D分別在射線BN，AM上，且∠A＝∠BCD＝108°，E是線段AD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、D重合），BD平分∠EBC．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）請?jiān)趫D中找出與∠ABC相等的角，并說明理由；（3）若平行移動(dòng)CD，那么∠ADB與∠AEB的度數(shù)之比是否隨著CD位置的變化而發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個(gè)比值．【分析】（1）由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”求得∠ABC的度數(shù)；（2）與∠ABC相等的角：∠ADC，∠DCN．根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（3）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義推知∠ADB【解答】解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180108°＝72°；（2）與∠ABC相等的角：∠ADC，∠DCN．理由：∵AM∥BN，∠ADC＝∠DCN，∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠ADC＝180°﹣∠BCD＝72°，∴∠DCN＝72°，∴∠ADC＝∠DCN＝∠ABC；（3）不發(fā)生變化．∵AM∥BN，∴∠AEB＝∠EBC，∠ADB＝∠DBC．∵BD平分∠EBC，∴∠DBC=12∠∴∠ADB=12∠∴∠ADB【變式6-2】如圖，已知直線AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E、F在CD上，且滿足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）求∠DBE的度數(shù)．（2）若平行移動(dòng)AD，那么∠BFC：∠BDC的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個(gè)比值．（3）在平行移動(dòng)AD的過程中，是否存在某種情況，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度數(shù)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由直線AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求得∠ABC的度數(shù)，又由∠DBE=12∠ABC，即可求得∠（2）由直線AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得∠BFC＝∠ABF＝2∠ABD，∠ABD＝∠BDC，繼而可求得∠BFC：∠BDC的比值；（3）首先設(shè)∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°，由直線AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)與兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可求得∠BEC與∠ADB的度數(shù)，又由∠BEC＝∠ADB，即可得方程：x°+40°＝80°﹣x°，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBE