二項分布與泊松分布

二項分布與泊松分布第一頁，共七十四頁，2022年，8月28日目錄

第二節(jié)Poisson分布及其應用

第一節(jié)二項分布及其應用第二頁，共七十四頁，2022年，8月28日第一節(jié)二項分布及其應用

一、二項分布的概念及應用條件

二項分布（binominaldistribution）是一種重要的離散型分布，在醫(yī)學上常遇到屬于兩分類的資料，每一觀察單位只具有相互獨立的一種結(jié)果，如檢查結(jié)果的陽性或陰性，動物試驗的生存或死亡，對病人治療的有效或無效等。第三頁，共七十四頁，2022年，8月28日二項分布也稱為貝努里分布（Bernoullidistribution）或貝努里模型，是由法國數(shù)學家J.Bernoulli于1713年首先闡述的概率分布。第四頁，共七十四頁，2022年，8月28日如果已知發(fā)生某一結(jié)果（如陽性）的概率為π，其對立結(jié)果（陰性）的概率為（1-π），且各觀察單位的觀察結(jié)果相互獨立，互不影響，則從該總體中隨機抽取n例，其中出現(xiàn)陽性數(shù)為X(X=0,1,2,3,…，n)的概率服從二項分布。第五頁，共七十四頁，2022年，8月28日貝努里模型應具備下列三個基本條件

試驗結(jié)果只出現(xiàn)對立事件A或，兩者只能出現(xiàn)其中之一。這種事件也稱為互斥事件。試驗結(jié)果是相互獨立，互不影響的。例如，一個婦女生育男孩或女孩，并不影響另一個婦女生育男孩或女孩等。每次試驗中，出現(xiàn)事件A的概率為π，而出現(xiàn)對立事件的概率為１-π

。則有總概率π

+（1-π

）=1。第六頁，共七十四頁，2022年，8月28日二、二項分布的概率函數(shù)

根據(jù)貝努里模型進行試驗的三個基本條件，可以求出在n

次獨立試驗下，事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的概率分布。X為離散型隨機變量，其可以取值為0,1,2,…,n。則X的概率函數(shù)為：X=0,1,2,…,n式中：0<π<1，為組合數(shù)，上述公式稱隨機變量X服從參數(shù)為n，π的二項分布，則記為X～B(n,π)。第七頁，共七十四頁，2022年，8月28日三、二項分布的性質(zhì)

1.二項分布的每種組合的概率符合二項展開式，其總概率等于1第八頁，共七十四頁，2022年，8月28日二項展開式有以下特點：（1）展開式的項數(shù)為n+1。（2）展開式每項π和（1-π

）指數(shù)之和為n。（3）展開式每項π的指數(shù)從0到n；（1-π

）的指數(shù)從n到0。2.二項分布的累積概率設m1≤X≤m2

（m1＜m2）,則X在m1至m2區(qū)間的累積概率有：

第九頁，共七十四頁，2022年，8月28日

至多有x例陽性的概率為：

至少有x例陽性的概率為：X=0,1,2，…，x(7.4)

X=x，x+1，…，n分別為下側(cè)累計概率，和上側(cè)累計概率。第十頁，共七十四頁，2022年，8月28日3.二項分布的概率分布圖形

以X為橫坐標，P（X）為縱坐標，在坐標紙上可繪出二項分布的圖形,由于X為離散型隨機變量，二項分布圖形由橫坐標上孤立點的垂直線條組成。二項分布的圖形取決于與n的大小。當n充分大時，二項分布趨向?qū)ΨQ，可以證明其趨向正態(tài)分布。一般地，如果nπ之積大于5時，分布接近正態(tài)分布；當nπ<5時，圖形呈偏態(tài)分布。當π=0.5時，圖形分布對稱，近似正態(tài)。如果π≠0.5或距0.5較遠時，分布呈偏態(tài)。第十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖

二項分布示意圖第十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日4.二項分布的數(shù)字特征

(這里的數(shù)字特征主要指總體均數(shù)、方差、標準差等參數(shù)）

（1）隨機變量X的數(shù)學期望E（X）＝μ，即指總體均數(shù)：

μ＝nπ（2）隨機變量X的方差D（X）＝σ2

為：

（3）隨機變量X的標準差為:第十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日四、二項分布展開式各項的系數(shù)

二項分布展開式的各項之前均有一個系數(shù)，用組合公式來表示。計算公式為：

第十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日該系數(shù)也可用楊輝三角來表示，國外參考書習慣稱之為巴斯噶三角。

當試驗次數(shù)n較小時，可直接利用楊輝三角將二項分布展開式各項的系數(shù)寫出來，應用十分方便。第十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖楊輝三角模式圖

第十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日楊輝三角的意義：①楊輝三角中每行有幾個數(shù)字，表示展開式有幾項。當試驗次數(shù)為n時，有n+1項。②楊輝三角中每行中的數(shù)字表示展開式中每項的系數(shù)大小。③楊輝三角中的各數(shù)字項及其數(shù)字的排列很有規(guī)律?？梢勒找?guī)律繼續(xù)寫下去。第一行的第一、第二項均為數(shù)字１，以后每下一行的首項及末項均為１，中間各項為上一行相鄰兩項數(shù)字之和。第十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日五、二項分布的應用

二項分布在醫(yī)學領域中，主要應用在下列幾個方面：①總體率的可信區(qū)間估計，②率的u檢驗，③樣本率與總體率比較的直接計算概率法。

第十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日（一）應用二項分布計算概率

例如出生男孩的概率π=0.5，出生女孩的概率為（1-π）=0.5。在一個婦產(chǎn)醫(yī)院里有3名產(chǎn)婦分娩3名新生兒，其中男孩為X=0,1,2,3的概率按公式計算的結(jié)果列于表7-1的第（3）欄中。分析：根據(jù)題意，已知生育男孩為事件A，其概率P(A)=0.5（即π=0.5）；生育女孩為事件A-，其概率為P(A-)=1-P(A)=1-0.5＝0.5（即1-π=0.5）。第十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日第二十頁，共七十四頁，2022年，8月28日

三個婦女生育一個男孩，兩個女孩的概率為：

三個婦女生育均為女孩（即無男孩）的概率為：余類推第二十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日(二)樣本率與總體率的比較的直接概率法

此法適用nπ和n(1-π)均小于5的情形。應注意：

①當樣本率大于總體率時，應計算大于等于陽性人數(shù)的累積概率。②當樣本率小于總體率時，應計算小于等于陽性人數(shù)的累積概率。第二十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日

例A藥治療某病的有效率為80％。對A藥進行改進后，用改進型A藥繼續(xù)治療病人，觀察療效。①如果用改進型A藥治療20例病人，19例有效。②如果用改進型A藥治療30例病人，29例有效。試分析上述二種情形下，改進型A藥是否療效更好。

分析:

A藥有效率為80％，可以作為總體率，即π0＝0.8。治療20例病人的樣本有效率為（19／20）×100％＝95％；治療30例病人的樣本有效率為（29／30）×100％＝96.67％。兩個樣本率均大于總體率80％，故應計算大于等于有效例數(shù)的單側(cè)累積概率。第二十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日情形一：治療20例病人的療效分析

（1）建立檢驗假設H0：改進型A藥的療效與原A藥相同，π＝π0＝0.80

H1:改進型A藥的療效高于原A藥，π＞π0＝0.80單側(cè)α＝0.05（2）計算概率值根據(jù)二項分布有：

=0.0548+0.0115=0.0663第二十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日情形二：治療30例病人的療效分析

（1）檢驗假設同情形一。

（2）計算單側(cè)累積概率有：

（3）推斷結(jié)論本例P＝0.0663＞0.05,在0.05檢驗水準上,不拒絕H0。尚不能認為改進型A藥的療效優(yōu)于原A藥。=0.008975+0.001238=0.0102

第二十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日（3）推斷結(jié)論

本例P＝0.0102,在＝0.05水準上,拒絕H0,接受H1。可以認為改進型A藥的療效優(yōu)于原A藥。

注意：治療20例病人的有效率為95％，治療30例病人的有效率為96.67％，兩個樣本有效率很接近。但最終得出的結(jié)論卻不相同。一般地，臨床上觀察療效，樣本含量不能太小。隨著觀察例數(shù)的增加，療效的穩(wěn)定性及可靠性也相應增加，受到偶然因素影響的機會也變得較小。第二十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日分析:本例總體率＝1％。調(diào)查人群樣本反應率為（1／300）×100％＝0.33％。由于樣本率小于總體率，故應計算小于等于陽性人數(shù)的累積概率。

例一般人群對B藥的副作用反應率為1％。調(diào)查使用B藥者300人，其中只有1人出現(xiàn)副作用。問該調(diào)查人群對B藥的副作用反應率是否低于一般人群。第二十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日（1）建立檢驗假設H0：調(diào)查人群反應率與一般人群相同，π＝π0＝0.01

H1:調(diào)查人群反應率低于一般人群，π<π0＝0.01單側(cè)α＝0.05（2）計算單側(cè)累積概率:（3）推斷結(jié)論本例P＝0.1976,在α＝0.05水準上,不拒絕H0。尚不能認為調(diào)查人群的B藥副作用反應率低于一般人群。

第二十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日第二節(jié)Poisson分布及其應用一、Poisson分布的概念及應用條件(一)Poisson分布的概念Poisson分布由法國數(shù)學家S.D.Poisson在1837年提出。該分布也稱為稀有事件模型，或空間散布點子模型。在生物學及醫(yī)學領域中，某些現(xiàn)象或事件出現(xiàn)的機會或概率很小，這種事件稱為稀有事件或罕見事件。稀有事件出現(xiàn)的概率分布服從Poisson分布。第二十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日Poisson分布的直觀描述：如果稀有事件A在每個單元（設想為n次試驗）內(nèi)平均出現(xiàn)λ次，那么在一個單元（n次）的試驗中，稀有事件A出現(xiàn)次數(shù)X的概率分布服從Poisson分布。Poisson分布屬于離散型分布。在Poisson分布中，一個單元可以定義為是單位時間，單位面積，單位體積或單位容積等。如每天8小時的工作時間，一個足球場的面積，一個立方米的空氣體積，1升或1毫升的液體體積,培養(yǎng)細菌的一個平皿，一瓶礦泉水等都可以認為是一個單元。一個單元的大小往往是根據(jù)實際情況或經(jīng)驗而確定的。若干個小單元亦可以合并為一個大單元。第三十頁，共七十四頁，2022年，8月28日(二)常見Poisson分布的資料在實際工作及科研中，判定一個變量是否服從Poisson分布仍然主要依靠經(jīng)驗以及以往累積的資料。以下是常見的Poisson分布的資料：1.產(chǎn)品抽樣中極壞品出現(xiàn)的次數(shù)；2.槍打飛機擊中的次數(shù)；3.患病率較低的非傳染性疾病在人群中的分布；4.奶中或飲料中的病菌個數(shù)；5.自來水中的細菌個數(shù)；6.空氣中的細菌個數(shù)及真菌飽子數(shù)；7.自然環(huán)境下放射的粒子個數(shù)；第三十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日8.布朗顆粒數(shù)；9.三胞胎出生次數(shù)；10.正式印刷品中錯誤符號的個數(shù)；11.通訊中錯誤符號的個數(shù)；12.人的自然死亡數(shù)；13.環(huán)境污染中畸形生物的出現(xiàn)情況；14.連體嬰兒的出現(xiàn)次數(shù)；15.野外單位面積某些昆蟲的隨機分布；16.單位容積內(nèi)細胞的個數(shù)；17.單位空氣中的灰塵個數(shù)；18.平皿中培養(yǎng)的細菌菌落數(shù)等。第三十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日二、Poison分布的概率函數(shù)及性質(zhì)

㈠定義其中λ＞0，則稱X服從參數(shù)λ為的Poisson分布。記為X～P(λ)。式中：λ為總體均數(shù)，λ＝nπ或λ=np；X為稀有事件發(fā)生次數(shù)；e為自然底數(shù)，即e=2.71828

。（X=0,1,2,…）如果稀有事件A在每個單元（設想為n次試驗）內(nèi)平均出現(xiàn)λ次，那么在一個單元（n次）的試驗中，稀有事件A出現(xiàn)次數(shù)X的概率分布服從Poisson分布。

第三十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日亦可用下列公式計算P（0）=e－λ

第三十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日(二)性質(zhì)1.所有概率函數(shù)值（無窮多個）之和等于1，即2.分布函數(shù)（X=0,1,2,…x）

第三十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日（0≤x1＜x2）

3.累積概率

4.其它性質(zhì)總體均數(shù):方差：標準差：μ＝λ＝nπ(或np)σ2＝λ第三十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日（三）Poisson分布的圖形一般地，Poisson分布的圖形取決于λ值的大小。λ值愈小，分布愈偏；λ值愈大，分布愈趨于對稱。當λ＝20時，分布接近正態(tài)分布。此時可按正態(tài)分布處理資料。當λ＝50時，分布呈正態(tài)分布。。這里通過計算一個具體實例來觀察Poisson分布的概率分布趨勢。第三十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日圖Poisson分布的概率分布圖

第三十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日例計算Poisson分布X~P(3.5)的概率。

第三十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日余類推。經(jīng)計算得到一系列數(shù)據(jù)，見表。

表X～P（3.5）的Poisson分布第四十頁，共七十四頁，2022年，8月28日（四）Poisson分布的可加性從同一個服從Poisson分布的總體中抽取若干個樣本或觀察單元，分別取得樣本計數(shù)值X1，X2，X3，…，Xn，則∑Xi仍然服從Poisson分布。根據(jù)此性質(zhì)，若抽樣時的樣本計數(shù)X值較小時，可以多抽取幾個觀察單元，取得計數(shù)Xi,將其合并以增大X計數(shù)值。第四十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日三、Poisson分布與二項分布的比較

Poisson分布也是以貝努里模型為基礎的。實際上，Poisson分布是二項分布的一種特殊情形，即稀有事例A出現(xiàn)的概率很小，而試驗次數(shù)n很大，也可將試驗次數(shù)n看作是一個單元。此時，n或np=λ為一個常數(shù)，二項分布就非常近似Poisson分布。p愈小，n愈大，近似程度愈好。設λ＝1。當n=100,=0.01時，及n=1000,=0.001時，按照二項分布及Poisson分布計算概率P（X）。第四十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日表二項分布與Poisson分布計算的概率值比較

第四十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日余類推。1.按二項分布計算已知：n=100,π=0.01,1－π=0.99，代入公式有：第四十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日2.按Poisson分布計算代入公式有：

余類推。第四十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日（四）Poisson分布的應用

Poisson分布有多種用途。主要包括總體均數(shù)可信區(qū)間的估計，樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較，兩樣本均數(shù)的比較等。應用Poisson分布處理醫(yī)學資料時，一定要注意所處理資料的特點和性質(zhì)，資料是否服從Poisson分布。第四十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日（一）總體均數(shù)的估計

總體均數(shù)的估計包括點估計和區(qū)間估計。

點估計是指由樣本獲得的稀有事件A出現(xiàn)的次數(shù)X值，作為總體均數(shù)的估計值。該法的優(yōu)點是計算簡便，但缺點是無法得知樣本代表總體均數(shù)的可信程度。

區(qū)間估計可以確切獲知總體均數(shù)落入一個區(qū)域的可信度，一般可信度取95％或99％。第四十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日估計總體均數(shù)可信區(qū)間一般分為小樣本法和大樣本法。

1.小樣本法當樣本均數(shù)或樣本計數(shù)值X≤50時，可直接查“Poisson分布的可信區(qū)間”表，得到可信區(qū)間（略）。第四十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日2.正態(tài)近似法當樣本均數(shù)或計數(shù)X＞50時，可按正態(tài)分布法處理?？傮w均數(shù)λ95％的可信區(qū)間為總體均數(shù)λ99％的可信區(qū)間為

第四十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日例某防疫站檢測某天然水庫中的細菌總數(shù)。平均每毫升288個細菌菌落。求該水體每毫升95％和99％的可信區(qū)間。

應用公式有：λ95％的可信區(qū)間=（255.74，320.26）

λ99％的可信區(qū)間=（244.22，331.78）

第五十頁，共七十四頁，2022年，8月28日(1)發(fā)病人數(shù)的95％可信區(qū)間為：

例調(diào)查1985年某市某區(qū)30萬人，流行性出血熱發(fā)病人數(shù)為204人。求該市發(fā)病人數(shù)及發(fā)病率（1／10萬）95％的可信區(qū)間。分析：已知樣本均數(shù)X為204人，觀察單元n＝30萬人。先計算出發(fā)病人數(shù)的可信區(qū)間，再按照發(fā)病率的要求以10萬人作為觀察單元，計算發(fā)病率可信區(qū)間的上下限值。=（176，232）第五十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日(2)發(fā)病率的95％可信區(qū)間為：

上限值：下限值：

第五十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日（二）樣本均數(shù)與總體均數(shù)的比較

常用的方法有兩種。①直接計算概率法：與二項分布的計算思路基本相同。即當λ＜20時，按Poisson分布直接計算概率值。②正態(tài)近似法：當λ≥20時，Poisson分布接近正態(tài)分布。按正態(tài)分布使用u檢驗處理資料。第五十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日1.直接計算概率法

例某地區(qū)以往胃癌發(fā)病率為1／萬。現(xiàn)在調(diào)查10萬人，發(fā)現(xiàn)3例胃癌病人。試分析該地區(qū)現(xiàn)在的胃癌發(fā)病率是否低于以往的發(fā)病率。H0:現(xiàn)在胃癌發(fā)病率與以往相同，π＝π0

=0.0001H1：現(xiàn)在胃癌發(fā)病率低于以往，π<π0單側(cè)α＝0.05第五十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日（2）計算概率值

已知：n=100000，π=0.0001，λ＝nπ=100000×0.0001=10。根據(jù)題意，應計算小于等于3人發(fā)病的概率P（X≤3），即：P（X≤3）＝P(0)＋P(1)+P(2)+P(3)

第五十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日（3）推斷結(jié)論本例P＝0.0103，小于P＝0.05。在α＝0.05水準上拒絕H0，接受H1。可以認為現(xiàn)在該地區(qū)胃癌發(fā)病率低于以往發(fā)病率。第五十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日2．正態(tài)近似法當λ≥20時，用u檢驗法例根據(jù)醫(yī)院消毒衛(wèi)生標準，細菌總數(shù)按每立方米菌落形成單位（CFU／m3）表示。無菌間的衛(wèi)生標準為細菌菌落數(shù)應不大于200（CFU／m3）。某醫(yī)院引進三氧消毒機，每天自動對無菌間進行2小時消毒。對無菌間抽樣調(diào)查顯示，細菌總數(shù)為121CFU／m3。試問該醫(yī)院無菌間的細菌總數(shù)是否低于國家衛(wèi)生標準。第五十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日

(1)建立檢驗假設H0:無菌間的細菌總數(shù)符合國家衛(wèi)生標準，λ=λ0=200H1:無菌間的細菌總數(shù)低于國家衛(wèi)生標準，λ<λ0單側(cè)α＝0.05（2）計算u值：已知：λ0＝200CFU／m3,X＝121CFU／m3，代入公式有：第五十八頁，共七十四頁，2022年，8月28日(3)確定P值查u界值表,單側(cè)u0.05=1.64,現(xiàn)u>u0.05,故P<0.05。

⑷推斷結(jié)論因P<0.05，拒絕H0,接受H1,差異有統(tǒng)計學意義。

可以認為該醫(yī)院無菌間的細菌總數(shù)低于國家衛(wèi)生標準。第五十九頁，共七十四頁，2022年，8月28日例某地區(qū)以往惡性腫瘤發(fā)病率為126.98／10萬人。今調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)惡性腫瘤發(fā)病率上升為148.62/10萬人。試分析現(xiàn)在的發(fā)病率是否高于以往的發(fā)病率。第六十頁，共七十四頁，2022年，8月28日（3）確定P值本例u=1.92，大于單側(cè)u0.05=1.64,則P＜0.05。

（4）推斷結(jié)論在＝0.05水準上拒絕H0，接受H1，差異有統(tǒng)計學意義?？梢哉J為該地區(qū)惡性腫瘤發(fā)病率高于以往的發(fā)病率。

（1）建立檢驗假設H0:現(xiàn)在的發(fā)病率與以往的發(fā)病率相同，λ＝λ0＝126.98H1:現(xiàn)在的發(fā)病率高于以往的發(fā)病率，λ＞λ0單側(cè)＝0.05（2）計算u值：第六十一頁，共七十四頁，2022年，8月28日（三）兩樣本均數(shù)的比較應用條件要求資料服從Poisson分布，兩個樣本均數(shù)X1及X2均大于20。1．兩樣本觀察單元相同觀察單元可以指單位面積、容積、體積、時間等。注意：Poisson分布中的觀察單元具有可加性，如∑X1和∑X2。檢驗公式為：第六十二頁，共七十四頁，2022年，8月28日

例空氣中負離子狀況可以反映空氣的新鮮感及污染狀況。現(xiàn)調(diào)查某風景名勝區(qū)不同地點的負離子狀況。海拔較高的山上風景點負離子數(shù)為240個／cm3。該景區(qū)商業(yè)區(qū)的百貨大樓內(nèi)的負離子數(shù)為146個／cm3。試分析該風景區(qū)兩個不同地點負離子狀況有無差異。(1)建立檢驗假設H0:兩地點負離子狀況相同，λ1＝λ2H1:兩地點負離子狀況不同，λ1≠λ2雙側(cè)0.001（2）計算u值:第六十三頁，共七十四頁，2022年，8月28日(3)確定P值

u0.001=3.2905，現(xiàn)u>u0.001,故P<0.001。

⑷推斷結(jié)論因P<0.001，拒絕H0,接受H1,差異有統(tǒng)計學意義。

可以認為該風景區(qū)兩個不同地點的空氣負離子狀況有差異。第六十四頁，共七十四頁，2022年，8月28日例調(diào)查某地區(qū)人群死亡狀況。結(jié)果顯示，男性及女性的意外死亡率分別為62人／10萬人和72人／10萬人。試分析男女意外死亡率有無差異。分析：該資料服從Poisson分布，每10萬人可以作為一個觀察單元。（1）建立檢驗假設

H0：男女意外死亡率相等，H1：男女意外死亡率不相等，α=0.05第六十五頁，共七十四頁，2022年，8月28日(3）確定P值，推斷結(jié)論本例u=0.86,小于u0.05=1.96,則P＞0.05。在α＝0.05水準上，不拒絕H0，無統(tǒng)計學意義?？梢哉J為男女性意外死亡率無差異。（2）計算u值：第六十六頁，共七十四頁，2022年，8月28日例某醫(yī)院使用一定方法對住院病房進行消毒，并檢測某一病房消毒前后的細菌菌落數(shù)（CFU／m3）。消毒前后均檢測9次。消毒前的菌落數(shù)為18,10,9,15,5,2,6,5,2。消毒后的菌落數(shù)為5，4，5，6，7，2，3，2，1。試分析該病房消毒前后的衛(wèi)生狀況有無差異。分析：該資料服從Poisson分布。根據(jù)Poisson分布的可加性，將9次取樣的菌落數(shù)相加為一個觀察單元。消毒前為∑X1＝72；消毒后為∑X2＝35。第六十七頁，共七十四頁，2022年，8月28日（1）