量子力學(xué)復(fù)習(xí)題部分解答

s5如果算符滿足條件1，求證：??2??2?，s??3??3?2，證]利用條件1左乘之得?????則有??)????最后得??2??2?。左乘上式得???2??)2?2， 即??2??2?2則有 ??3??3?2最后得 ?3?3?2i d7（10分）求角動量z分量

d 的本征值和本征函數(shù)。解：L

()i d ()l()z d z解得： ()

il z其中c是積分常數(shù)，亦可看成歸一化系數(shù)。波函數(shù)單值條件，要求當(dāng)φ轉(zhuǎn)過2π角回到原位時波函數(shù)值相等，即：()()2l

ceilzeilz2

ceilz(2)于是 z

m0,1,2, l m m0,1,2,z求歸一化系數(shù)

0

||2dc2 02c211212最后，得Lz的本征函數(shù)l m1212() m

eim

m0,1,2,9(x)U(x)證：在一維勢場中運動的粒子的定態(tài)S-方程為2 d2(x)U(x)(x)E(x) ①2dx2將式中的x以(x)代換，得2 d2(x)U(x)(x)E(x) ②2dx2利用U(x)U(x，得2 d2(x)U(x)(x)E(x) ③2dx2比較①、③式可知，(x)和(x)都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個狀態(tài)，因此(x)和(x)之間只能相差一個常數(shù)c(xx而得其對方，由①經(jīng)xx反演，可得③，(x)c(x)④由③再經(jīng)xx反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。(x)c(x)⑤④乘⑤，得

(x)(x)c2(x)(x)c21c1當(dāng)c時，(x)(x(x具有偶宇稱，當(dāng)c時，(x)(x(x具有奇宇稱，當(dāng)勢場滿足U(x)U(x時，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱一粒子在一維勢場，x0U(x)，0xa0，xa中運動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。解：U(x)與t無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S—方程2 d2(x)U(x)(x)E(x)2mdx2Ⅰ：x0

2 d2

(x)U

(x)E

(x) ①2mdx2 1 1 1Ⅱ：0xa

2 d22mdx2

(x)E2

(x) ②Ⅲ：xa

2 d22mdx2

(x)U(x)3

(x)E3

(x) ③由于(1)、(3)方程中，由于U(x)，要等式成立，必須 (x)01 (x)02即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。方程(2)可變?yōu)?/p>

d22

(x)

2mE

(x)0dx2 2 2令k2

2mE2

d22

(x)

k

(x)0dx2 2其解為 (x)AsinkxBcoskx ④2A，B，(0)(0) ⑤2 1(a)(a) ⑥2 3⑤ B0⑥

Asinka0A0sinka0kan (n∴2由歸一化條件

(x)Asinnxa得 A2

sina0a

(x)2dx1nxdx1a由ab2aA2a

sin

m n axsin xdx a a 2mn (x)22mE

sinnx2aa2ak2En

2222ma

n2 (nE對應(yīng)于En

的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為(x,t)n

sinn2aa2a

ixe, 0xa xa, xat=0(x)A[sin2kx1coskx]2求此時粒子的平均動量和平均動能。解：x)2kx1coskx]1cos2kx1coskx]2 2 2Acos2kxcoskx]2A[11(ei2kx

ei2kx)

1(e

eikx)]2 2 2A A 2 [ei0x2

1ei2kx2

1ei2kx2

1e2

1eikx]2可見，動量p的可能值為0 n2k22k222k22k22k2222n2

的可能值為0對 應(yīng) 的 幾 率 應(yīng) 為n(A2 A2 A2 A2 A2)24 16 16 16 16(1 1 1 1 1)2 8 8 8 8上述的A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得1 (A24A2)A2n 4 16 2n∴ A1∴ p的平均值為p pn nn02kA22kA2kA2kA2

2016 16 16 16Tp22n

p2n2 nn0

2k2

12

k2

12 8 2 85k228#一維運動粒子的狀態(tài)是Axe, 當(dāng)x0(x)其中0，求：

0, 當(dāng)x0(2)粒子的平均動量。解：(1)先求歸一化常數(shù)，由1

(x)2dxA2x2e2xdx0 1 A243∴A23/2(x)23/2xe(x0)(x)0 (x0)2c(p)2

eikx(x)dx

12

)1/

23/2

xe(ik)(x)dx23 x

1 ()1/2[

e(ik)x0

e(ik)xdx(23

)1/

x 23 1p( )1/2p2

(ik)2

(i )2動量幾率分布函數(shù)為(p)c(p)2

23

(2

12p2)2

23

1(22p2)22(2)p*(x)(xdxi

43xe

d(ex)dxi43

dxx(1x)edxi431

(x2)edx1i43(0

42

)42a(x)Ax(ax)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。x)的形式可知一維無限深勢阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為(x)

sinn2aa2a

x, 0xa 0, x0, xaE n22n 2a2

(n)動量的幾率分布函數(shù)為(E)C 2na C *(x(xdxa

x(x)dxn 0 a先把x歸一化，由歸一化條件，1(x)2dxaA2x2(axdxA2ax2(a2axx2dx 0 0A2a(a2x22ax3x4dx0a5 a5 a5 a5A2( )A23 2 5 3030a5∴30a5∴C an 0

sinn2a30a2a30a5

xx(ax)dx2 15 [aaxsinnxdxax2sinnxdx]2 15a3 0 a 0 a2 15a2 n a3 n a n2 15 [ xcos x sin x x2cos xa3 n a

n22

a n a2a2

n 2a

n axsin x cos x]n22

a n33 a04 154 15n3

[1(1)n]3∴(E)C n

240n66

(1)n]2960，nn66 ，n,4,6,E(x)?(xdx

a(x0

?2(xdx2a30

x(xa)

2 d

x(xa)]dx0a5

2dx2302

ax(xa)dx

30

(a

a3)5 52a2

5 2 3151515a3016(r,a30r

1 er/a0，求：勢能e2r

的平均值；解：(1)rr(r,,)2d

100

2re2r/a

r2sindrdd0 0 0004r3a2r/aa3 00xneaxdx0n!an14 3a0a324 2 00a a0e2 e2(2) U( )

2

e2r/ar2sindrdd00r a3 0 0 0r0e2 2

e2r/arsindrdd00a3 0 0 004e2 a3 00

e2r/ardr04e2 1 e200a3 22 a00a a017限高勢阱中的粒子質(zhì)量為m的一個粒子在邊長為a能由下式給出：;y V,others（1）列出定態(tài)薛定諤方程，用分離變量法（ XxYyZz）一化波函數(shù)；21）定態(tài)薛定諤方程：2

2 E 分離變量： XxYyZz，E E E Ex y z2d2Xx2 dx22dy

sinmxa2a2aEXxx2a2aEXxxXxEYyy；YyEZzzZz

2 2E m2x 2a22 22 dy22d2Zz2

sin ；Ea 2asinlz E2aa z

n22a22 2l22a2x,y,z

23/2 mxsin

sinnx

sinlxa a a a2 2E m

n2

，m1,2,3,...mnl 2a2基態(tài)：E0

2E111

32 a2

，基態(tài)波函數(shù)：Ar,s

x

xA1 1z 2

2z 111

1 1 1

2 2 223 x y z x y z sin 1 sin 1 sin 1 sin 2 sin 2 sin 2a a a a a a a21 s s21z 2z

s s1z 2z18氫原子處于態(tài)

1R

2R

2R

中，問34331

341

34111,,是否為能量的本征態(tài)若是，寫出其本征值。若不是，說明理由；在 ,中，測角動量平方的結(jié)果有幾種可能值相應(yīng)幾率為多19求能量表象中，一維無限深勢阱的坐標(biāo)與動量的矩陣元。

(x)n

sinnx2aa2a22n2能量：E n

2a2對 角 元 ：

a2xsin2mxdxamm 0a a 2當(dāng)時，mn

2a(sinmx)x(sinn)dxucosnudu1cosucosnudu1cosnuusinnucn2n1axcos(m

(mxa0

a a xdx1 a2 (max (ma cos x sin x]a

(mn)2

a (ma0[ a2

cos(mx

ax sin(m

ax] (mn)22 a (ma 0a 1 1 (1)mn1 2 (mn)2 (mn)2a 4mn 2

(m2

n2)2

(1)mn1

a2 m d np umn

*(x)pum

(x)dxi0

sin x sin a a dx ai2nasinxcos

xdxa2 0 a ainasin(mn

(mxsin

xdxa2 0

a a ai a cos(mx a cos(mxaa2 (m

a (ma 0a 1 1 i

(1)mn

1] i2ma2 (mn) (m i2m (1)mn1(m2n2)asinmucosnuducos(mn)ucos(mn)uC2(mn)2(mn)例：作一維運動的粒子被束縛在例：作一維運動的粒子被束縛在0<x<a的范圍內(nèi)，已知其波函數(shù)為a求：(1)常數(shù)A；(2)粒子在0到a/2區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率；(3)粒子在何處出現(xiàn)的概率最大？xAsinx解：(1)由歸一化條件a/2 dx22a/2解得2dxA sinxdx12asin2xdxaa12002a(3)概率最大的位置應(yīng)該滿足aA2120A2addx即當(dāng)22sin2x0aa(2)粒子的概率密度為k,k0,1,2,22sin2xaaa#粒子在0到a/2區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率時，粒子出現(xiàn)的概率最大。因為x=a/2，此處粒子出現(xiàn)的概率最大。20設(shè)一體系未受微擾作用時有兩個能級：E 及E ，現(xiàn)在受到微擾H的作用，01 02微擾矩陣元為H H a，HH bb都是實數(shù)用微擾公式求能量12 21至二級修正值。

11 22解：由微擾公式得E(1)nE(2)n

HnnHmn2Hmn2E(0)

E(0)m n m得 E(1)

H b E(1)H b01Hm12'Hm12'

11 02 22a201E(2)

E Em 01 Hm1Hm12'

E E01 02a202 E Em 02 0m

E E02 01∴能量的二級修正值為E E1 01

b

a2E E01 02E E2 02

b

a2E E02 01(0<x<a)中的粒子，受到微擾H'2x/a

(0xa/2)作用，求基態(tài)能量的一級修正.2x(1-x/a)(a/2xa)2 2 1 2E E(0)

E

。1 1

2 22323242425.（a）粒子在二維無限深方勢阱中運動， 0xa,0yV 其它區(qū)域試寫出能級和能量本征函數(shù)（能量最低的兩個態(tài)；（b）加上微擾 Hxy求最低的兩個能級的一級微擾修正。（a）

（1）（2）E()nn

ma

nn

n,n

,,,

nn() sin sin ,(阱內(nèi),下同)

a a a基態(tài)是非簡并的，能級E()，本征函數(shù)為()

sin

xsiny

a a a第一激發(fā)態(tài)是二重簡并的，能級E(),本征函數(shù)為()

sinsina a a

()

sin sin a a a (b)基態(tài)能級的一級修正等于H的平均值即 E11

a2 （7）4E(1)

1024

a20.1320.2825第一激發(fā)態(tài) 12 4 4 4 0.2175（8）結(jié)論：在微擾作用下，基態(tài)能級升高a，第一激發(fā)能級的重心也升高a，同時分裂為二，裂距為a。質(zhì)量為m的粒子處于位勢yz0 0xa,0ya0za 其他中。假設(shè)它又經(jīng)受微擾Hbxy，試求第一激發(fā)態(tài)能量的一級修正。六.(16分)22

(n2n2n2)3分 粒子的能量為2ma2第一激發(fā)態(tài)為112121

x y zE022E1 2ma2

21132214) ，a2 2 25分 r1( )32sin xsin ysin za a a a2)32a 2)32a 2 sin xsin ysina a a2)322sin x sin ysinaaaar2( zr3( z2 a a 1H1( )2xsina0

ysin2 a a0axsin20

a2xdxa 41H1

2( )2

a2

a2

b

1ba2a 4 4 41H21H302 a

2 12H2( )2bxsin2 ysin2 ba22H3

a a a 40 022 a 2xdxaysin2 ( )bxsin xsin ysin a 0 a a 0 a a( )b( )( ) 22 8a2 8a2 ( )b( )( )a 92 92 8142 a 2 a 13H3( )2bxsin2 ysin2 ba2a a a 40 04分 于是有

1ba240

01ba24

0644ba2810644ba28141ba242分 E11

01ba4

644ba28141 1 2 644ba2 1 64

2 1 4 4 22分 E2,3

4ba

814

(4

[ ( )814 4 2626，歸一化A2

0(e2x

dx0

2x

dx)A

1a2a1，Aa

2x2xE(a)

2

a d[(1) e

xax

1m2x2e

adxxxxxxe2am dx a x 2xxxxxe2

1

1 1 12am(a)

a(2(x)e

a a

a m2 a22 2 2 (2

1 1 21 2 a) m a2a2m 2

a 2 21m2a22a2m 41

x

（6分（動能計算錯扣3分）x1xx另一種求法E(a)x

2 amam

ap2e

adx

m2a241x1x2x (i e

)*(i

ea

1m2a21xx2am 1xx2 2x 1a23 a

adx m2a24 2 1m2a2E'

2a2m 421m2a0 a4

22(a)

a3m

, m22 （3）2mm22mm2222

1

122m222m22minaa

1e

4 xx2ma,2m

（3分）（結(jié)果錯扣3分）270為E EH0 ， E E0求的本征值和本征態(tài)；若t0

?1

10表象中的表示為 試求出0 t>0時的粒子波函數(shù)；E0 E

E

E0A.E E E , 00EE0E，u

11212111

（2分）21 EE0E, u 21

（2分）22 122 B.(0)

0au

au

u

u （4）11i(E

E)t 11i(EE)t21(t)21

0 2e 01iEt1

cosEt

isinEt （4）一電荷為e的線性諧振子受恒定弱電場作用。設(shè)電場x方向：用微擾法求能量至二級修正；求能量的準(zhǔn)確值，并和所得的結(jié)果比較。[解]（1）荷電為e的線性諧振子由于電場作用所具有的能量為ex，因為是弱電場，故與無電場時諧振子具有的總能量H0相比較，顯然有H0ex令HxH可以看作微擾，因此可以用微擾法求解。線性諧振子在外電場作用下的總哈密頓算符是0? p2 1 ? ?0H222x2H H無微擾時，線性諧振子的零級波函數(shù)是 m 2m12

e2x2H2m2

(x)Hmn2當(dāng)體系處于第Hmn2E E0m m

H mm

E0E0mn m n其中 H *(x)ex(x)dxxee

*()m

()d 其中2e

N2em

2H ()e 2H222

()d2利用遞推公式

N2e2Hm

()Hm

()d()m

1H2 m

()

m

()e 1 故 H N2e2H ) H )mH )dmm 2 m m 2 m1 m1 mm利用厄密多項式的正交性可以看出上面的積分為零，即H 0mm這表明能量一級修正為零。下面求能量的二級修正。為此計算矩陣元eH mm 2

N Ne2Hm n

()Hn

()de 1 2

N Ne2Hm n

)2

n

()nH

n

()de1N

e22

()NH ()e22d22 m

m n n1nN

e22Hm

()Nn

n

()e22de1 n 2n 2(n*()d *()d2n22e n

m n1nn2

m n2 2

m,n1 m,n1 m m1 |H |2 mn

e22 2 2 E0mn

E

2 E

E

E0E0m n

m m1而 E0mE0m

E0 mm12m112m1m122E0 m1