人教版八年級數(shù)學(xué)下冊16.3二次根式的加減教案及反思（2課時）

16．3二次根式的加減第1課時二次根式的加減教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】會進行二次根式的加減運算，利用二次根式的加減法解決生活實際問題．【過程與方法】經(jīng)歷由實際問題引入數(shù)學(xué)問題的過程，提高學(xué)生的抽象概括能力，進而掌握二次根式的加減運算方法．【情感態(tài)度】培養(yǎng)學(xué)生認真觀察、思考的習(xí)慣，鍛煉嚴謹細致、一絲不茍的科學(xué)精神．【教學(xué)重點】二次根式的加減法運算方法．【教學(xué)難點】二次根式的加減法的實際應(yīng)用．教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入，初步認識【問題】現(xiàn)有一塊長dm，寬5dm的木板，能否采用如圖所示的方式，在這塊木板上截出兩個面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板？【教學(xué)說明】可借助多媒體(或幻燈片)展示木板，嘗試截取兩個正方形木塊，并引導(dǎo)學(xué)生思考．解決問題的關(guān)鍵在哪里？如何解決？激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望．二、思考探究，獲取新知讓學(xué)生相互討論，共同探究，尋求解決問題的方案．與此同時，教師可設(shè)置如下問題幫助學(xué)生進行理解和分析：1．兩個正方形木塊的邊長分別是多少？2．最大正方形木板的邊長與原長方形木板的寬5dm的大小如何？3．兩個正方形木板的邊長之和與長方形木板的長dm的大小關(guān)系如何？你認為用什么辦法來得出結(jié)論？4．談?wù)勀阍讷@得結(jié)論的過程中的想法，你有哪些新的認識？在學(xué)生充分交流，初步形成認知后，師生共同探討：上述實際問題中，實質(zhì)是求eq\r(8)與eq\r(18)這兩個二次根式的和，我們可以這樣來計算：eq\r(8)＋eq\r(18)＝2eq\r(2)＋3eq\r(2)(化成最簡二次根式)＝(2＋3)eq\r(2)(被開方數(shù)相同的二次根式的合并)＝5eq\r(2).【教學(xué)說明】本環(huán)節(jié)教師要放手讓學(xué)生自主探究，自主發(fā)現(xiàn)問題，并嘗試解決問題，并能總結(jié)規(guī)律，形成認知．同時，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的完成情況，能否正確進行二次根式的化簡，能否運用分配律將二次根式合并．【歸納總結(jié)】二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．三、典例精析，掌握新知【例1】計算：(1)eq\r(80)－eq\r(45)；(2)eq\r(16x)＋eq\r(64x).【分析】將所給出的二次根式進行化簡，然后利用類似整式的加減方法來進行二次根式的加減．解：(1)原式＝4eq\r(5)－3eq\r(5)＝(4－3)eq\r(5)＝eq\r(5)；(2)原式＝4eq\r(x)＋8eq\r(x)＝(4＋8)eq\r(x)＝12eq\r(x).【例2】計算：(1)3eq\r(48)－9eq\r(\f(1,3))＋eq\r(27)；(2)(eq\r(12)＋eq\r(20))＋(eq\r(3)－eq\r(5))．【分析】在第(2)小題中，應(yīng)注意去括號的方法，同時防止出現(xiàn)eq\r(3)－eq\r(5)＝－eq\r(2)的錯誤．解：(1)原式＝12eq\r(3)－3eq\r(3)＋3eq\r(3)＝(12－3＋3)eq\r(3)＝12eq\r(3)；(2)原式＝2eq\r(3)＋2eq\r(5)＋eq\r(3)－eq\r(5)＝(2＋1)eq\r(3)＋(2－1)eq\r(5)＝3eq\r(3)＋eq\r(5).【教學(xué)說明】以上兩例，應(yīng)讓學(xué)生先獨立完成，并分別選派兩名中等成績同學(xué)上黑板進行演算．教師巡視，了解全班學(xué)生的掌握情況，并對有困難的同學(xué)及時予以點撥，幫助他們加深對新知的理解．最后，師生共同評析黑板上的作業(yè)，教師還可適時將巡視中發(fā)現(xiàn)的問題展示給全班同學(xué)，達到理解新知的目的．【例3】如圖，實驗中學(xué)計劃在校園內(nèi)修建一個正方形的花壇，在花壇中央還要修一個正方形的小噴水池，設(shè)計者需要考慮有關(guān)的周長，如果小噴水池的面積為8m2，花壇的綠化面積為10m2，則花壇的外周與小噴水池的周長一共是多少米？【分析】利用正方形的面積公式求出邊長，再根據(jù)周長公式即可得解．解：由題可知，花壇的外周圍成的大正方形的面積為8＋10＝18m2，邊長為eq\r(18)m＝3eq\r(2)m，小噴水池的邊長為eq\r(8)m＝2eq\r(2)m，故花壇的外周與小噴水池的周長一共是4×3eq\r(2)＋4×2eq\r(2)＝20eq\r(2)m.【教學(xué)說明】本例展示了二次根式的加減在實際問題中的應(yīng)用，在實際教學(xué)過程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進行合理分析，理清解題思路與步驟，再讓學(xué)生自主完成解答過程．最后教師可以給出示范性解題過程，也可以用幻燈片展示學(xué)生的優(yōu)秀作業(yè)及有代表性問題作業(yè)，讓學(xué)生通過觀察與反思，加深對知識的理解．四、運用新知，深化理解1．下列計算是否正確？為什么？(1)eq\r(8)－eq\r(3)＝eq\r(8－3)；(2)eq\r(4)＋eq\r(9)＝eq\r(4＋9)；(3)3eq\r(2)－eq\r(2)＝2eq\r(2).解：(1)不正確，兩邊不相等；(2)不正確，兩邊不相等；(3)正確．2．以下二次根式：①eq\r(12)；②eq\r(22)；③eq\r(\f(2,3))；④eq\r(27)中，與eq\r(3)可以合并的有__①④__(填序號)．3．計算5eq\r(a)－3eq\r(b)－7eq\r(a)＋9eq\r(b)的最后結(jié)果是__6eq\r(b)－2eq\r(a)__.4．計算下列各題：(1)eq\r(18)＋(eq\r(98)－eq\r(27))；(2)(eq\r(24)＋eq\r)－(eq\r(\f(1,8))－eq\r(6))．解：(1)原式＝10eq\r(2)－3eq\r(3)；(2)原式＝3eq\r(6)＋eq\f(1,4)eq\r(2).5．先化簡，再求值：(6xeq\r(\f(y,x))＋eq\f(3,y)eq\r(xy3))－(4yeq\r(\f(x,y))＋eq\r(36xy))，其中x＝eq\f(3,2)，y＝27.解：原式＝6eq\r(xy)＋3eq\r(xy)－(4eq\r(xy)＋6eq\r(xy))＝－eq\r(xy)，當(dāng)x＝eq\f(3,2)，y＝27時，原式＝－eq\r(\f(3,2)×27)＝－eq\f(9,2)eq\r(2).【教學(xué)說明】學(xué)生自主完成上面前3個題，教師巡視，后兩個題稍難，教師適當(dāng)予以點撥．五、師生互動，課堂小結(jié)師生共同回顧本節(jié)主要知識點及需要注意的問題．(1)知識要點：二次根式加減的一般思路，①不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；②相同的二次根式一定要進行合并．(2)需注意的問題：①應(yīng)能將化簡的二次根式化簡后再進行計算，不要出現(xiàn)eq\r(8)－eq\r(2)是最后結(jié)果的類似錯誤；②相同的二次根式合并時，只需把它們的系數(shù)相加減，根式不變，不相同的二次根式不能進行加減，防止出現(xiàn)3eq\r(5)－2eq\r(2)＝(3－2)(eq\r(5)－eq\r(2))＝eq\r(5)－eq\r(2)的錯誤．課后作業(yè)1．布置作業(yè)：從教材“習(xí)題”中選?。?．完成練習(xí)冊中本課時練習(xí)．教學(xué)反思1．創(chuàng)設(shè)情境，給出實例．由學(xué)生主動參與，經(jīng)過思考、討論、分析的過程，老師加以啟發(fā)和引導(dǎo)，類比得出二次根式的加減運算法則．2．三個例題，旨在幫助學(xué)生理解二次根式的加減運算．尤其是例2，要按照兩個步驟進行計算，培養(yǎng)了學(xué)生利用概念、法則進行計算和化簡的嚴謹態(tài)度和科學(xué)精神，此外，例3還展示了二次根式的加減在實際問題中的應(yīng)用．第2課時二次根式的混合運算教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】1．會進行二次根式的乘、除、加、減混合運算；2．能用多項式的乘法公式進行二次根式的化簡計算．【過程與方法】通過具體問題進一步體會有理數(shù)運算、二次根式的運算以及整式的運算之間的聯(lián)系，掌握二次根式混合運算方法．【情感態(tài)度】通過多項式乘除法則及乘法公式在二次根式運算中的應(yīng)用，體驗遷移、化歸思想，使學(xué)生進一步形成符號感，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．【教學(xué)重點】二次根式的混合運算．【教學(xué)難點】多項式的乘除法則及乘法公式在二次根式運算中的應(yīng)用方法．教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入，初步認識【問題】我們知道：(x＋y)·xy＝x·xy＋y·xy＝x2y＋xy2，(2x2y＋3xy2)÷xy＝2x2y÷xy＋3xy2÷xy＝2x＋3y，(x＋y)(x－y)＝x2－y2及(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，……試問：如果上述各式中的x，y分別代表著一個二次根式，我們會有哪些新的收獲呢？【教學(xué)說明】引入上述關(guān)于多項式的乘除算式及乘法公式，進而提出新的問題的目的在于暗示二次根式的運算與多項式的運算之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生的求知欲望和探究意識．二、思考探究，獲取新知【探究1】由(x＋y)·z＝x·z＋y·z＝xz＋yz，你能求出(eq\r(6)＋eq\r(8))×eq\r(3)的值嗎？你是怎樣做的？我們可以這樣做：(eq\r(6)＋eq\r(8))×eq\r(3)＝eq\r(6)×eq\r(3)＋eq\r(8)×eq\r(3)＝eq\r(18)＋eq\r(24)＝3eq\r(2)＋2eq\r(6).【探究2】由(x2y＋xy)÷z＝eq\f(x2y,z)＋eq\f(xy,z)，你能求出(4eq\r(6)－3eq\r(2))÷2eq\r(2)的值嗎？由此你有何發(fā)現(xiàn)？類似地，請解決以下幾個小題．(1)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)－5)；(2)(eq\r(5)＋eq\r(3))(eq\r(5)－eq\r(3))；(3)(2eq\r(5)－eq\r(2))2.我們可以依照題中的解法進行：(4eq\r(6)－3eq\r(2))÷2eq\r(2)＝4eq\r(6)÷2eq\r(2)－3eq\r(2)÷2eq\r(2)＝2eq\r(3)－eq\f(3,2).(1)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)－5)＝(eq\r(2))2－eq\r(2)×5＋3×eq\r(2)－3×5＝2－5eq\r(2)＋3eq\r(2)－15＝－2eq\r(2)－13；(2)(eq\r(5)＋eq\r(3))(eq\r(5)－eq\r(3))＝(eq\r(5))2－(eq\r(3))2＝5－3＝2；(3)(2eq\r(5)－eq\r(2))2＝(2eq\r(5))2－2×2eq\r(5)×eq\r(2)＋(eq\r(2))2＝20－4eq\r(10)＋2＝22－4eq\r(10).【教學(xué)說明】讓全班同學(xué)共同參與探究，相互交流，在類比的過程中嘗試給出問題的答案．教師巡視，予以點撥，肯定學(xué)生的成績，并引導(dǎo)學(xué)生完善對二次根式混合運算的初步認識，最后師生共同給出問題的結(jié)果．【歸納結(jié)論】1．二次根式的混合運算與整式的運算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號．2．在二次根式的運算中，多項式的乘法法則和乘法公式仍然適用．三、典例精析，掌握新知【例1】計算下列各題：(1)(4eq\r(6)－4eq\r(\f(1,2))＋3eq\r(8))÷2eq\r(2)；(2)(eq\r(10)＋eq\r(7))(eq\r(10)－eq\r(7))－(eq\r(2)＋1)2；(3)(－eq\r(3)－2eq\r(2))2＋eq\r(3)(eq\r(3)－eq\r(6))．【分析】對算式的結(jié)構(gòu)進行觀察分析，運用二次根式加、減、乘、除的法則進行運算，需注意乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2的靈活運用．解：(1)原式＝(4eq\r(6)－2eq\r(2)＋6eq\r(2))÷2eq\r(2)＝(4eq\r(6)＋4eq\r(2))÷2eq\r(2)＝4eq\r(6)÷2eq\r(2)＋4eq\r(2)÷2eq\r(2)＝2eq\r(3)＋2；(2)原式＝(eq\r(10))2－(eq\r(7))2－[(eq\r(2))2＋2×eq\r(2)×1＋12]＝10－7－(2＋2eq\r(2)＋1)＝－2eq\r(2).(3)原式＝(－eq\r(3))2＋2·(－eq\r(3))(－2eq\r(2))＋(－2eq\r(2))2＋eq\r(3)×eq\r(3)－eq\r(3)×eq\r(6)＝3＋4eq\r(6)＋8＋3－3eq\r(2)＝14＋4eq\r(6)－3eq\r(2).【例2】已知x＝eq\r(3)＋1，y＝eq\r(3)－1，求下列代數(shù)式的值．(1)x2＋2xy＋y2；(2)x2－y2【分析】分析：由條件易知x＋y＝2eq\r(3)，x－y＝2，而所求代數(shù)式中(1)可化為(x＋y)2，(2)可化為(x＋y)(x－y)，因而整體代入更簡潔些，當(dāng)然直接代入求值也是可行的，只不過要復(fù)雜多了．解：∵x＝eq\r(3)＋1，y＝eq\r(3)－1，∴x＋y＝2eq\r(3)，x－y＝2.(1)原式＝(x＋y)2＝(2eq\r(3))2＝12；(2)原式＝(x＋y)·(x－y)＝2eq\r(3)×2＝4eq\r(3).【教學(xué)說明】第1題可讓學(xué)生自主完成，并選派三名代表上黑板進行演算．教師巡視，了解學(xué)生對二次根式混合運算的掌握情況，及時予以幫助，幫助學(xué)生更好地掌握新知識．最后全班同學(xué)分析三位代表的解答過程及結(jié)果，深化理解．第2題仍可讓學(xué)生先自主探究，如果大部分學(xué)生選用直接代入求值時，教師仍應(yīng)肯定他們的成績，但需展示本例的最佳解題思路，達到融會貫通的目的．四、運用新知，深化理解1．計算：(1)eq\r(2)(eq\r(3)＋eq\r(5))；(2)(eq\r(80)＋eq\r(40))÷eq\r(5)；(3)(eq\r(5)＋3)(eq\r(5)－2)；(4)(eq\r(a)＋eq\r(b))(2eq\r(a)－eq\r(b))．解：(1)原式＝eq\r(6)＋eq\r(10)；(2)原式＝4＋2eq\r(2)；(3)原式＝eq\r(5)－1；(4)原式＝eq\r(a)·2eq\r(a)－eq\r(a)·eq\r(b)＋2eq\r(a)·eq\r(b)－(eq\r(b))2＝2a＋eq\r(ab)－b.2．計算：(1)(eq\r(6)＋eq\r(2))(eq\r(6)－eq\r(2))；(2)(eq\r(x)＋eq\r(x－1))(eq\r(x)－eq\r(x－1))；(3)(2eq\r(5)－eq\r(3))2；(4)(1－2eq\r(3))(1＋2eq\r(3))－(2eq\r(3)－1)2.解：(1)原式＝4；(2)原式＝(eq\r(x))2－(eq\r(x－1))2＝x－(x－1)＝1；(3)原式＝(2eq\r(