理論力學(xué)課后答案第五章

1/1理論力學(xué)課后答案第五章第五章思考題

5.1虛功原理中的“虛功”二字作何解釋？用虛功原理理解平衡問(wèn)題，有何優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？5.2為什么在拉格朗日方程中，aθ不包含約束反作用力？又廣義坐標(biāo)與廣義力的含義如何？我們根據(jù)什么關(guān)系由一個(gè)量的量綱定出另一個(gè)量的量綱?

5.3廣義動(dòng)量ap和廣義速度aq&是不是只相差一個(gè)乘數(shù)m？為什么ap比aq&更富有意義？5.4既然

a

qT&??是廣義動(dòng)量，那么根據(jù)動(dòng)量定理，????????αqTdtd&是否應(yīng)等于廣義力a

θ？為什么

在拉格朗日方程()14.3.5式中多出了a

qT

??項(xiàng)？你能說(shuō)出它的物理意義和所代表的物理量嗎？

5.5為什么在拉格朗日方程只適用于完整系？如為不完整系，能否由式()13.3.5得出式

()14.3.5？

5.6平衡位置附近的小振動(dòng)的性質(zhì)，由什么來(lái)決定？為什么22s個(gè)常數(shù)只有2s個(gè)是獨(dú)立的？

5.7什么叫簡(jiǎn)正坐標(biāo)？怎樣去找？它的數(shù)目和力學(xué)體系的自由度之間有何關(guān)系又每一簡(jiǎn)正坐標(biāo)將作怎樣的運(yùn)動(dòng)？

5.8多自由度力學(xué)體系如果還有阻尼力，那么它們?cè)谄胶馕恢酶浇倪\(yùn)動(dòng)和無(wú)阻尼時(shí)有何不同？能否列出它們的微分方程？5.9dL和Ld有何區(qū)別？

aqL??和a

qL

??有何區(qū)別？5.10哈密頓正則方程能適用于不完整系嗎？為什么？能適用于非保守系嗎？為什么？5.11哈密頓函數(shù)在什么情況下是整數(shù)？在什么情況下是總能量？試祥加討論，有無(wú)是總能量而不為常數(shù)的情況？

5.12何謂泊松括號(hào)與泊松定理？泊松定理在實(shí)際上的功用如何？

5.13哈密頓原理是用什么方法運(yùn)動(dòng)規(guī)律的？為什么變分符號(hào)δ可置于積分號(hào)內(nèi)也可移到積分號(hào)外？又全變分符號(hào)?能否這樣？

5.14正則變換的目的及功用何在？又正則變換的關(guān)鍵何在？

5.15哈密頓-雅可比理論的目的何在？試簡(jiǎn)述次理論解題時(shí)所應(yīng)用的步驟.

5.16正則方程()15.5.5與()10.10.5及()11.10.5之間關(guān)系如何？我們能否用一正則變換由前者得出后者？

5.17在研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)的力學(xué)中，劉維定理能否發(fā)揮作用？何故？

5.18分析力學(xué)學(xué)完后，請(qǐng)把本章中的方程和原理與牛頓運(yùn)動(dòng)定律相比較，并加以評(píng)價(jià).

第五章思考題解答

5.1答：作.用于質(zhì)點(diǎn)上的力在任意虛位移中做的功即為虛功，而虛位移是假想的、符合約束的、無(wú)限小的.即時(shí)位置變更，故虛功也是假想的、符合約束的、無(wú)限小的.且與過(guò)程無(wú)關(guān)的

功，它與真實(shí)的功完全是兩回事.從∑?=i

iirFWρ

ρδδ可知：虛功與選用的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，這

正是虛功與過(guò)程無(wú)關(guān)的反映；虛功對(duì)各虛位移中的功是線性迭加，虛功對(duì)應(yīng)于虛位移的一次變分.在虛功的計(jì)算中應(yīng)注意：在任意虛過(guò)程中假定隔離保持不變，這是虛位移無(wú)限小性的結(jié)果.

虛功原理給出受約束質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件，比靜力學(xué)給出的剛體平衡條件有更普遍的意義；再者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功，利用虛功原理還可解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，這是剛體力學(xué)的平衡條件無(wú)法比擬的；另外，利用虛功原理解理想約束下的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問(wèn)題時(shí)，由于約束反力自動(dòng)消去，可簡(jiǎn)便地球的平衡條件；最后又有廣義坐標(biāo)和廣義力的引入得到廣義虛位移原理，使之在非純力學(xué)體系也能應(yīng)用，增加了其普適性及使用過(guò)程中的靈活性.由于虛功方程中不含約束反力.故不能求出約束反力，這是虛功原理的缺點(diǎn).但利用虛功原理并不是不能求出約束反力，一般如下兩種方法：當(dāng)剛體受到的主動(dòng)力為已知時(shí)，解除某約束或某一方向的約束代之以約束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘數(shù)法，景觀比較麻煩，但能同時(shí)求出平衡條件和約束反力.

5.2答因拉格朗日方程是從虛功原理推出的，而徐公原理只適用于具有理想約束的力學(xué)體系虛功方程中不含約束反力，故拉格朗日方程也只適用于具有理想約束下的力學(xué)體系，αθ不含約束力；再者拉格朗日方程是從力學(xué)體系動(dòng)能改變的觀點(diǎn)討論體系的運(yùn)動(dòng)，而約束反作用力不能改變體系的動(dòng)能，故αθ不含約束反作用力，最后，幾何約束下的力學(xué)體系其廣義坐標(biāo)數(shù)等于體系的自由度數(shù)，而幾何約束限制力學(xué)體系的自由運(yùn)動(dòng)，使其自由度減小，這表明約束反作用力不對(duì)應(yīng)有獨(dú)立的廣義坐標(biāo)，故αθ不含約束反作用力.這里討論的是完整系的拉格朗日方程，對(duì)受有幾何約束的力學(xué)體系既非完整系，則必須借助拉格朗日未定乘數(shù)法對(duì)拉格朗日方程進(jìn)行修正.

廣義坐標(biāo)市確定質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系完整的獨(dú)立坐標(biāo)，它不一定是長(zhǎng)度，可以是角度或其他物理量，如面積、體積、電極化強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等.顯然廣義坐標(biāo)不一定是長(zhǎng)度的量綱.在完整約束下，廣義坐標(biāo)數(shù)等于力學(xué)體系的自由度數(shù)；廣義力明威力實(shí)際上不一定有力的量綱可以

是力也可以是力矩或其他物理量，如壓強(qiáng)、場(chǎng)強(qiáng)等等，廣義力還可以理解為；若讓廣義力對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)作單位值的改變，且其余廣義坐標(biāo)不變，則廣義力的數(shù)值等于外力的功由

WqrFsiniiδδθδααα==?∑∑==1

1

ρ

ρ知，ααδθq有功的量綱，據(jù)此關(guān)系已知其中一個(gè)量的量綱則可得到另一個(gè)量的量綱.若αq是長(zhǎng)度，則αθ一定是力，若αθ是力矩，則αq一定是角度，若αq是體積，則αθ一定是壓強(qiáng)等.

5.3答αp與αq在廣義坐標(biāo)為角量的情形下，αp與α

q&相差為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱.αp為何比α

q&更富有物理意義呢？首先，αp對(duì)應(yīng)于動(dòng)力學(xué)量，他建立了系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)T、L或H與廣義速度、廣義坐標(biāo)的聯(lián)系，它的變化可直接反應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的改變，而αq&是對(duì)應(yīng)于運(yùn)動(dòng)學(xué)量，不可直接反應(yīng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征；再者，系統(tǒng)地拉格朗日函數(shù)L中不含某一廣義坐標(biāo)iq時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量=??=

i

iqL

p&常數(shù)，存在一循環(huán)積分，給解決問(wèn)題帶來(lái)方便，而此時(shí)循環(huán)坐標(biāo)iq對(duì)應(yīng)的廣義速度i

q&并不一定是常數(shù)，如平方反比引力場(chǎng)中()

r

mkrrmL222221++=θ&&，L不含θ，故有==??=θθθ&&mrLp常數(shù),但θθ&&=q常數(shù)；最后，由哈密頓正則方程知αp,αq是一組正則變量:哈密頓函數(shù)H中不含某個(gè)廣義坐標(biāo)iq時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量=ip常數(shù)，不含某個(gè)廣義動(dòng)量ip時(shí)，對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)=iq常數(shù)

5.4答只有對(duì)于完整系，廣義坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)，才能消去所有的約束方程，式（5.3.13）

01=??

??????????+??+??-∑=S

qQqT

qTdtdαααααδ&各αδq才能全部相互獨(dú)立，得到式（5.3.14），故拉格朗日方程只適用于完整系，非完整力學(xué)體系，描述體系的運(yùn)動(dòng)需要的廣義坐標(biāo)多于自由度數(shù)，各αδq不全部獨(dú)立，不能得到（5.3.14）式，但（5.3.13）式結(jié)合拉格朗日方程未定乘數(shù)法可用于非完整系。

5.6答力學(xué)體系在平衡位置附近的動(dòng)力學(xué)方程（5.4.4）得久期方程（本征值方程）（5.4.6）式02=+αβαβλCa，其中SΛ2,1,=βα，久期方程的各根（本征值）lλ的性質(zhì)決定體系平衡位置附近的小振動(dòng)性質(zhì)。

因從本征方程（5.4.6）式中可求出S2個(gè)的本征值lλ（Sl22,1Λ=），每一個(gè)lλ對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的常數(shù)故22S個(gè)常數(shù)中只有S2個(gè)是獨(dú)立的。

5.7答多自由度體系的小振動(dòng)，每一廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于S個(gè)主頻率的諧振動(dòng)的疊加。若通過(guò)坐標(biāo)間線性變換使得每一廣義坐標(biāo)僅對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率的振動(dòng)，則變換后的坐標(biāo)稱之為簡(jiǎn)正坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)的頻率為簡(jiǎn)正頻率，每一簡(jiǎn)正坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)簡(jiǎn)正頻率，而簡(jiǎn)正頻率數(shù)和力學(xué)體系的自由度數(shù)相等，故簡(jiǎn)正坐標(biāo)數(shù)等于自由度數(shù)。

值得說(shuō)的是，每一簡(jiǎn)正振動(dòng)為整個(gè)力學(xué)體系所共有，反映的是各質(zhì)點(diǎn)（整體）的振動(dòng)之一，其他坐標(biāo)都作為簡(jiǎn)正坐標(biāo)的線性函數(shù)，由S個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)疊加而成。這種方法在統(tǒng)計(jì)物理，固體物理中都有運(yùn)用。

5.8答對(duì)一完整的穩(wěn)定的力學(xué)體系在有阻尼的情況下，它們?cè)谄胶馕恢酶浇鼘⒆魉p運(yùn)動(dòng)。

引入耗散函數(shù)β

αβααβqqbFS

&&∑==1

,21則阻力

β

βαβααqbqF

RS

&&∑=-=??-=1

力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程改為

ααααqFqVqTq

Tdtd&&??-??-=??-????????

其中βαβααβqqaTS&&∑==1,21，βαβααβqqCVS

&&∑==1

,21，F(xiàn)中是的函數(shù)，把在平衡位形區(qū)域展開成

泰勒級(jí)數(shù)

()+????

????+=∑=rSrr

qqbbb0

10αβ

αβαβ高級(jí)項(xiàng)rq很小，只保留頭一項(xiàng)，則αβαβαβcba,,均為常數(shù)。FVT,,代入運(yùn)動(dòng)方程得

()S

qcqbqaS

Λ&&&2,1,01

==++∑=ββ

βαββαββαβ把teAqλββ=代入上式得本征值方程

S

S

cbaΛΛ2,12,10

2===++βαλλαβαβαβ

在0>V，VTF42<的小阻尼情況下，本征值()Slilll22,1Λ=+=γμλ，且0<lμ振動(dòng)方程為

()()()(){

}

()SeiAeiAeqtilliltillilS

ltlllΛ2,11

=-++-=-=-∑βγμ?γμ?

γβγβ

μβ

顯然是按指數(shù)率的衰減振動(dòng)。

5.9答：因()()

stqqLL,2,1,,,==ααα&，故()dttLqdpdqpdtt

LqdqLdqqLdLs

s

??++=??+????????+??=∑∑==11αααααααααα&&&&

由α

αqL

p&??=

解得()?

??

???===sstpqqq,2,1,

2,1,,,βαββαα&&所以

()()()[]

ttpqqqLtpqI,,,,,,ββαααα&=則

dLdtt

LqdqL

dqqLdIs

=??+????????+??=∑=1ααααα&&而

αβ

αβαααqL

qqqLqLqIs

??≠

?????+??=??∑=&&15.10答：拉格朗日方程只適用于完整系，哈密頓正則方程有保守系拉格朗日方程推出，故只能適用于完整的，保守的力學(xué)體系，對(duì)非保守體系（5.3.18）改寫為

()sQqV

qTqTdtd...2,1,=+??-=??-???

?????ααααα&其中αQ為非有勢(shì)力，或?qū)憺?/p>

()sQqL

qLdtd2,1,==??-???

?????αααα&

即α

ααqL

Qp??+

=&。經(jīng)勒讓德變換后用課本上同樣的方法可推得非保守系中的哈密頓正則方程

()???

???

?=+??-=??=sQqHppHq...2,1,,αααα

α

α&&5.11答：若哈密頓函數(shù)不顯含時(shí)間t，則()常熟==ααpqHH,；對(duì)穩(wěn)定約束下的力學(xué)體系，動(dòng)能不是速度的二次齊次函數(shù)，則VTH+=,是以哈密頓正則變量表示的廣義總能量，因不穩(wěn)定約束的約束范例可以做功，但拉格朗日方程中不含約束力，故有此差異，此時(shí)H并不是真正的能量；對(duì)穩(wěn)定的，保守的力學(xué)體系，若H含t則H是能量但不為常熟。5.12答：泊松括號(hào)是一種縮寫符號(hào)，它表示已同一組正則變量為自變量的二函數(shù)之間的關(guān)系。若()()()stqptqp...2,1,,,,,,===αψψ??αααα，則

[]∑=???

?

??

????-

????=s

qppq1,αααα

αψ

?ψ?ψ?[]H,?是物理學(xué)中最常用的泊松括號(hào)，用泊松括號(hào)可表示力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)正則方程

[][]()

sHqqHpp...2,1,,,,===ααααα&&用泊松括號(hào)的性質(zhì)復(fù)雜微分運(yùn)算問(wèn)題化為簡(jiǎn)單的括號(hào)運(yùn)算，這種表示法在量子力學(xué)，量子場(chǎng)論等課程中被廣泛應(yīng)用。

每一正則方程必對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，利用泊松括號(hào)從正則方程=積分

()()21,,,,,CtqpCtqp==ααααψ?

可以推出另外一個(gè)積分[]3,C=ψ?，這一關(guān)系稱為泊松定理。

5.13答：哈密頓原理是用變分的方法確定運(yùn)動(dòng)規(guī)律的，它是力學(xué)變分原理的積分形式?；舅枷胧窃诿枋隽W(xué)體系的S維空間中，用變分求極值的方法，從許多條端點(diǎn)相同的曲線中挑選一條真是軌道確定體系的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。

因?yàn)閷?duì)等時(shí)變分0=tδ，故變分符號(hào)δ可置于積分號(hào)內(nèi)也可置于積分號(hào)外，而不等時(shí)變分

0≠?t，故全變分符號(hào)不能這樣。

5.14答：力學(xué)體系的哈密頓函數(shù)H中是否有循環(huán)坐標(biāo)系或循環(huán)坐標(biāo)的數(shù)目與坐標(biāo)系（或參變數(shù)）的選取有關(guān)，故在正則方程形式不變的前提下，通過(guò)某種變數(shù)變換找到新的函數(shù)*H，使之多出現(xiàn)一些循環(huán)坐標(biāo)，此即正則變換的目的及公用。由于每一循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，正則變換后可多得到一些運(yùn)動(dòng)積分，給解決問(wèn)題帶來(lái)方便，正則變換的關(guān)鍵是母函數(shù)的選取，其選取的原則是使*H中多出現(xiàn)循環(huán)坐標(biāo)，但并無(wú)一定的規(guī)律可循，要具體問(wèn)題具體分析。

5.15答：哈密頓正則方程是s2個(gè)一階微分方程的方程組，用泊松定理解之，由而已知運(yùn)動(dòng)積分求出其余的運(yùn)動(dòng)積分往往是已知解的線性組合或橫等時(shí)，并不能給出新的解；而用正則變換可多得到一些循環(huán)坐標(biāo)是正則方程立即有解，但母函數(shù)的選取往往很困難，哈密頓—雅可畢理論的目的既是要彌補(bǔ)上述缺陷，通過(guò)一個(gè)特殊的正則變換，使得用新變量

)2,1(,,sQP=ααα表示的哈密頓函數(shù)0*=H，此時(shí)ααQP,全部為常數(shù)

)...2,1(,,siii=βα，這樣哈密頓得主函數(shù)極為母函數(shù)，從而解決母函數(shù)難以尋找的困難。

5.16答：對(duì)（5.9.8）式若為不穩(wěn)定約束，只需以h代替E即可，故對(duì)（5.9.8）式分離變量后推出的（5.9.12）中也只需以h代E即可用于不穩(wěn)定約束。正則方程利用哈—雅理論后得到結(jié)果十分普遍，可同時(shí)得出運(yùn)動(dòng)規(guī)律，軌道級(jí)動(dòng)量，故比拉格朗日方程優(yōu)越。

5.17答：經(jīng)典“牛頓力學(xué)”常用于幾何的觀點(diǎn)，運(yùn)用形象化思維的方式，研究力學(xué)體系的受力情況及運(yùn)動(dòng)情況，然后通過(guò)運(yùn)動(dòng)非常及時(shí)物體的受力與運(yùn)動(dòng)變化間的相互聯(lián)系和前因后果。這種方法形象，直觀，物理意義鮮明，被廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際。但由于它著眼于力，速度，加速度等矢量，給解決復(fù)雜的力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題帶來(lái)許多不便；再者，它僅僅局限于純力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)分析，其理論與方法難以建立與其它學(xué)科的聯(lián)系。

5.18答：十九世紀(jì)發(fā)展起來(lái)的“分析力學(xué)‘方法彌補(bǔ)了上述缺陷，它用純數(shù)學(xué)分析的方法用更具有概括性的抽象思維方式，從力學(xué)體系的一切可能的運(yùn)動(dòng)中挑選出實(shí)際運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這種方法盡管物理意義不如牛頓力學(xué)方法鮮明，但它給人們解決復(fù)雜力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題提供了有一方法；再者，由于廣義坐標(biāo)，廣義力的引入使其理論在其它學(xué)科中也能廣泛的應(yīng)用。建立了經(jīng)典物理學(xué)向近代物理學(xué)過(guò)渡的橋梁。

下面通過(guò)分析力學(xué)與牛頓力學(xué)理論及方法的比較扼要闡述分析力學(xué)的優(yōu)越性。牛頓力學(xué)的著眼點(diǎn)是力，實(shí)際力學(xué)體系除受到促使其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的主動(dòng)力，往往還存在很多限制其運(yùn)動(dòng)的約束條件體現(xiàn)這些約束的約束反作用力都要作為未知數(shù)出現(xiàn)于運(yùn)動(dòng)微分方程，使未知量增加給解算帶來(lái)許多麻煩；分析力學(xué)著眼于功和能在一定條件下，常?？梢圆豢紤]約束反作用力。如在理想條件下，用虛位移原理解決力學(xué)體系的平衡問(wèn)題可撇開眾多的未知未知約束力，直接得出平衡條件，比用牛頓力學(xué)中剛體受力的平衡方程方便得多；達(dá)朗伯——虛位移原理解決力學(xué)體系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，由于虛功的概念、廣義坐標(biāo)的引入，也可撇開約束力得解，比用牛頓方程即由此推出的動(dòng)量定理，動(dòng)量矩定理方便；拉格朗日方程、哈密頓原理即由此得到的分析力學(xué)一系列方程均具這一優(yōu)點(diǎn)。從一分為二的觀點(diǎn)來(lái)看，這也是分析力學(xué)的缺點(diǎn)——不能求出約束反作用力。當(dāng)把待求的約束反力或做功的約束反力作為主動(dòng)力來(lái)看，分析力學(xué)的理論修改后仍能應(yīng)用。

牛頓力學(xué)用矢量的方法研究力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)，著眼于力、加速度、速度等矢量，而矢量具有方向性、相對(duì)性，在坐標(biāo)變換中很費(fèi)事，故牛頓力學(xué)的動(dòng)力學(xué)方程都與參考系極坐標(biāo)系的選取有關(guān)；分析力學(xué)用標(biāo)量描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)及變化規(guī)律，著眼于功和能廣義坐標(biāo)和

廣義速度等一系列標(biāo)量，標(biāo)量便于變換及疊加，標(biāo)量形式的運(yùn)動(dòng)方程也是便于寫出的，且由于廣義坐標(biāo)和廣義力的引入，是指超出立憲的范圍也能應(yīng)用，給參變量的選用也帶來(lái)了許多方便，提高了靈活性。如用拉格朗日方程，哈密頓原理或哈密頓正則方程推證極坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程，比用牛頓力學(xué)的方法簡(jiǎn)便，但分析力學(xué)不如牛頓力學(xué)方法直觀物理意義也不如牛頓力學(xué)方法清晰。

牛頓力學(xué)的動(dòng)量守恒定律動(dòng)量矩守恒定律總是以牛頓第三定律為先決條件的；而分析力學(xué)中循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量守恒原理并不以牛頓第三定律為先決條件，其先決條件是拉格朗日函數(shù)或哈密頓函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)。若拉格朗日函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)于拉格朗日動(dòng)力學(xué)的廣義動(dòng)量守恒；若哈密頓函數(shù)中不含某廣義坐標(biāo)，則對(duì)應(yīng)于哈密頓動(dòng)力學(xué)的廣義動(dòng)量守恒。牛頓動(dòng)力學(xué)的動(dòng)量守恒定律，動(dòng)量矩守恒定律都是廣義動(dòng)量守恒原理對(duì)應(yīng)的某循環(huán)坐標(biāo)下的特例。恩西力學(xué)的理論更具有概括性，廣義動(dòng)量守恒原理具有更普遍的意義。

牛頓力學(xué)研究力學(xué)問(wèn)題也用到共和能的概念，但其功能關(guān)系動(dòng)能定理，功能原理，機(jī)械能守恒定律等，只不過(guò)提供了力學(xué)體系運(yùn)動(dòng)的某一方面特征，它的注意力集中于實(shí)際實(shí)現(xiàn)，而在實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)中，功能關(guān)系只能給出一個(gè)獨(dú)立的方程不能提供完全的解；分析力學(xué)則不然，它不只是注意實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)，而是以力學(xué)體系的一切可能存在的運(yùn)動(dòng)中挑選出真實(shí)的運(yùn)動(dòng)，故分析力學(xué)中的功能關(guān)系指的是一切可能出現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)中的功能關(guān)系，比實(shí)際實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)中的功能關(guān)系要豐富的多，它可以給出一組與力學(xué)體系自由度數(shù)相等的運(yùn)動(dòng)方程，足以確定體系的運(yùn)動(dòng)。如用牛頓力學(xué)中的功能關(guān)系——機(jī)械能守恒定律研究拋體運(yùn)動(dòng)（不計(jì)空氣阻力），只能給出一個(gè)獨(dú)立的方程，不能提供完全的解；而用拉格朗日方程則可以給出與自由度數(shù)相等的兩個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方程，足以解決其運(yùn)動(dòng)。

牛頓力學(xué)機(jī)械能守恒定律中的勢(shì)能對(duì)應(yīng)于所有的勢(shì)力，包括主動(dòng)力和約束反力，而分析力學(xué)中的拉格朗日函數(shù)或哈密頓函數(shù)中的勢(shì)能只對(duì)應(yīng)于廣義力，廣義力只包含主動(dòng)力，故兩種勢(shì)能不同。再者，分析力學(xué)中哈密頓函數(shù)H的守恒原理，在非穩(wěn)定的約束情況下

V

T

T

H+

-

=

2并非機(jī)械能，成為廣義能量，只有在穩(wěn)定的約束情況下V

T

H+

=才是機(jī)

械能。故牛頓力學(xué)的機(jī)械能守恒定律要求有勢(shì)力，而哈密頓函數(shù)的守恒原理要求H不顯含t且為穩(wěn)定約束，它們是從不同角度討論機(jī)械能守恒的。分析力學(xué)的廣義能量守恒比牛頓力學(xué)的機(jī)械能守恒有著更廣泛的意義。

牛頓力學(xué)定律不便于與其它形式的運(yùn)動(dòng)建立直接的聯(lián)系，分析力學(xué)著眼于能量，便于進(jìn)一步考慮能量的量子化問(wèn)題，為從經(jīng)典力學(xué)向近代物理學(xué)及其它領(lǐng)域過(guò)渡提供了方便的“跳板”。如哈密頓——雅可比方程量子化得到的薛定諤方程，哈密頓正則方程量子化得到量子力學(xué)的海森堡方程，經(jīng)典泊松括號(hào)考慮量子化效應(yīng)得到量子力學(xué)的泊松括號(hào)；哈密頓原理推廣到量子力學(xué)的變分原理等。再者，能量便于與其運(yùn)動(dòng)形式轉(zhuǎn)化，由于廣義坐標(biāo)概念的引入使得一系列分析力學(xué)的方程都適用于非力學(xué)體系；另外，分析力學(xué)是在多維的非歐幾得

空間中討論問(wèn)題的，故分析力學(xué)的理論及方法在物理學(xué)的各領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)代的場(chǎng)論都好似拉格朗日形成的，分析力學(xué)在物理學(xué)中有著重要的地位。

最后討論一下哈密頓動(dòng)力學(xué)與拉格朗日動(dòng)力學(xué)的關(guān)系。在處理實(shí)際問(wèn)題中哈密頓動(dòng)力學(xué)不如拉格朗日動(dòng)力學(xué)方便，拉格朗日動(dòng)力學(xué)中從拉格朗日函數(shù)可直接寫出力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程——拉格朗日方程；哈密頓動(dòng)力學(xué)中則必須從拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)到哈密頓函數(shù)才可寫出力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程——哈密頓正則方程，從哈密頓正則方程消去廣義動(dòng)量的結(jié)果其實(shí)不過(guò)是從另一途徑達(dá)到拉格朗日方程，這樣做的結(jié)果是繞了一個(gè)大圈子。

第五章習(xí)題

5.1試用虛功原理解3.1題。

5.2試用虛功原理解3.4題。

5.3長(zhǎng)度同為L(zhǎng)的輕棒四根，光滑地聯(lián)成一菱形ABCD。AB、AD兩邊支于同一水平線上相距為2a的兩根釘上，BD間則用一輕繩聯(lián)結(jié)，C點(diǎn)上系一重物W。設(shè)A點(diǎn)上的頂角為2a，試用虛功原理求繩中張力T。

第5.3題圖

5.4一質(zhì)點(diǎn)的重量為W，被約束在豎直圓周

2

x—2y—2r=0

上，并受一水平斥力2

kx的作用，式中r圓的半徑,k為常數(shù)。試用未定乘數(shù)法求質(zhì)點(diǎn)的平衡位置及約束反作用力的量值。

5.5在離心節(jié)速器中，質(zhì)量為2

m的質(zhì)點(diǎn)C沿著一豎直軸運(yùn)動(dòng)，而整個(gè)系統(tǒng)則以勻角速Ω

繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)。試寫出此力學(xué)體系的拉氏函數(shù)。設(shè)連桿AB、BC、CD、DA等的質(zhì)量均可不計(jì)。

1

第5.5題圖

D

5.6試用拉格朗日方程解4.10題。

5.7試用拉格朗日方程解本章補(bǔ)充例題5.3。

5.8一光滑細(xì)管可在豎直平面內(nèi)繞通過(guò)其一端的水平軸以勻角速ω轉(zhuǎn)動(dòng)。管中有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)。

開始時(shí)，細(xì)管取水平方向，質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離為a，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管的速度為0v，試由拉格朗日方程求質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于管的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

5.9設(shè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，受重力作用，被約束在半頂角為α的圓錐面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。試以r,θ為廣義坐標(biāo)，由拉格朗日方程求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

第5.9題圖

5.10試用拉格朗日方程解2.4題中的()a及()b。5.11試用拉格朗日方程求3.20題中的1a及2a。

5.12均質(zhì)棒AB，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為2a,其A端可在光滑水平導(dǎo)槽上運(yùn)動(dòng)。而棒本身又可

在豎直面內(nèi)繞A端擺動(dòng)。如除重力作用外，B端還受有一水平的力F的作用。試用拉割朗日方程求其運(yùn)動(dòng)微分方程。如擺動(dòng)的角度很小，則又如何？

答：()

F

aaxm=-+θθθθsincos2&&&

()[]

θθθθsincos2cos22

mgaFaka

xam-=++&&

如θ很小，則

mFax=+θ&&&&

m

Fgax234=++

θθ&&&&

式中x為任一瞬時(shí)A離定點(diǎn)O的距離，θ為任一瞬時(shí)棒與豎直線間所成的角度，k為繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑.

5.13行星齒輪機(jī)構(gòu)如右圖所示.曲柄OA帶動(dòng)行星齒輪Ⅱ在固定齒輪Ⅰ上滾動(dòng).已知曲柄的質(zhì)量為1m，且可認(rèn)為是勻質(zhì)桿.齒輪Ⅱ的質(zhì)量為2m，半徑為r，且可認(rèn)為是勻質(zhì)圓盤.至于齒輪Ⅰ的半徑則為R.今在曲柄上作用一不變的力矩M.如重力的作用可以忽略不計(jì)，試用拉格朗日方程研究此曲柄的運(yùn)動(dòng).

第5.13題圖

5.14質(zhì)量為m的圓柱體S放在質(zhì)量為的圓柱體P上作相對(duì)滾動(dòng)，而P則放在粗糙平面上.已知兩圓柱的軸都是水平的，且重心在同一豎直面內(nèi).開始時(shí)此系統(tǒng)是靜止的.若以圓柱體

P的重心的初始位置為固定坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則圓柱S的重心在任一時(shí)刻的坐標(biāo)為

()()

mmmc

x+M+M+=2sin3θ

θ

θ

coscy=

試用拉格朗日方程證明之.式中c為兩圓柱軸線間的距離，θ為兩圓柱連心線與豎直向上的直線間的夾角.

5.15質(zhì)量為M、半徑為a的薄球殼，其外表面是完全粗糙的，內(nèi)表面則完全光滑，放在粗糙水平著上.在球殼內(nèi)放一質(zhì)量為m、長(zhǎng)為2aαsin的勻質(zhì)棒.設(shè)此系統(tǒng)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，且在開始的瞬間棒在通過(guò)球心的豎直平面內(nèi)，兩端都與球殼相接觸，并與水平線成β角.試用拉格朗日方程證明在以后的運(yùn)動(dòng)中，此棒與水平線的夾角θ滿足關(guān)系

()()[]θααα2222

coscos9sincos

335mm-++M2

θ&

a()()αβθcoscoscos356-+M=mg

第5.15題圖

5.16半徑為r的勻質(zhì)小球，可在一具有水平軸、半徑為R的固定圓柱的內(nèi)表面滾動(dòng).試求圓球平衡位置作微振動(dòng)的方程及其周期.5.17質(zhì)點(diǎn)1M，其質(zhì)量為1m，用長(zhǎng)為1l的繩子系在固定點(diǎn)O上.在質(zhì)點(diǎn)1M上，用長(zhǎng)為2

l的繩系另一質(zhì)點(diǎn)2

M，其質(zhì)量為2m.以繩與豎直線所成的角度1θ與2θ為廣義坐標(biāo)，求此

系統(tǒng)在豎直平面內(nèi)作微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程.如1m=2m=m，1l=2l=l，試再求出此系統(tǒng)的振動(dòng)周期.

2

第5.17題圖

5.18在上題中，如雙擺的上端不是系在固定點(diǎn)O上，而是系在一個(gè)套在光滑水平桿上、質(zhì)量為2m的小環(huán)上，小環(huán)可沿水平桿滑動(dòng).如1m=2m=m，1l=2l=l，試求其運(yùn)動(dòng)方程及其周期.

5.19質(zhì)量分別為1m、2m的二原子分子、平衡時(shí)原子間的距離為a，它們的相互作用力是準(zhǔn)彈性的，取二原子的連線為x軸，試求此分子的運(yùn)動(dòng)方程。

5.20已知一帶電粒子在電磁場(chǎng)中的拉格朗日函數(shù)L（非相對(duì)論的）為

vAvA?+-=

?+-=qqmvqqTL??2

2

1式中v為粒子的速度，m為粒子的質(zhì)量，q為粒子所帶的電荷，?為標(biāo)量勢(shì)，A為矢量勢(shì)。試由此寫出它的哈密頓函數(shù)。

5.21試寫出自由質(zhì)點(diǎn)在作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系中的哈密頓函數(shù)的表示式。

5.22試寫出§3.9中拉格朗日陀螺的哈密頓函數(shù)H，并由此求出它的三個(gè)第一積分。5.23

試用哈密頓正則方程解4.10題。

5.24半徑為c的勻質(zhì)圓球，自半徑為b的固定圓球的頂端無(wú)初速地滾下，試由哈密頓正則方程求動(dòng)球球心下降的切向加速度。

5.25試求由質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量矩J的笛卡兒分量所組成的泊松括號(hào)。

5.26試求由質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量P和動(dòng)量矩J的笛卡兒分量所組成的泊松括號(hào)。5.27如果?是坐標(biāo)和動(dòng)量的任意標(biāo)量函數(shù)，即2

2pprrcba+?+=?，其中cba,,為

常數(shù)，試證[]zJ,?=0。

5.28半徑為a的光滑圓形金屬絲圈，以勻角速ω繞豎直直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，圈上套著一質(zhì)量為m的

小環(huán)。起始時(shí)，小環(huán)自圓圈的最高點(diǎn)無(wú)初速地沿著圓圈滑下。當(dāng)環(huán)和圈中心的聯(lián)線與豎直向上的直徑成角θ時(shí)，用哈密頓原理求出小環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。5.29試用哈密頓原理解4.10題。

5.30試用哈密頓原理求復(fù)擺作微振動(dòng)時(shí)的周期。5.31試用哈密頓原理解5.9題。5.32試證=Q㏑,sin1???

?

??pqqctgpP=為一正則變換。5.33證：變換方程

()()P

kQpPk

Qqsin2,cos22

12

12

12

1

==-代表一正則變換，并將正則方

程qHppHq??-=??=??

,變?yōu)镼HPPHQ??-

=??=*?*?,式中()kQHqkpH=*+=,2

12225.34如果利用下列關(guān)系把系數(shù)p，q換為P,Q:

()()QPpQPq,,,21??==

則當(dāng)

()()

1,,=??PQpq

時(shí)，這種變換是一正則變換，試證明之。

5.35試?yán)谜齽t變換，由正則方程求豎直上拋的物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。已知本問(wèn)題的母函數(shù)

??

?

??+=gQmgU361，式中q為確定物體位置的廣義坐標(biāo)，Q為變換后新的廣義坐標(biāo)，

g為重力加速度。

5.36試求質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)場(chǎng)

3

2

rFzrV-

=

α

中運(yùn)動(dòng)的主函數(shù)S，式中α及F為常數(shù)

5.37試用哈密頓-雅科畢偏微分方程求拋射體在真空中運(yùn)動(dòng)的軌道方程。5.38如力學(xué)體系的勢(shì)能V及動(dòng)能T可用下列二函數(shù)表示：

s

s

AAAVVVV++++++=

ΛΛ2121

()???

???+++++=???22222112121sssqBqBqBAAATΛΛ式中()sBAV,,2,1,,Λ=αααα都只是一個(gè)參數(shù)αq的函數(shù)，則此力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題可用積分法求解，試證明之。

5.39試用哈-雅方程求行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌道方程。

5.40試由()29.9.5及()30.9.5兩式推證()31.9.5及()32.9.5兩式。5.41試求質(zhì)點(diǎn)在庫(kù)侖場(chǎng)和均勻場(chǎng)

FzR

V-=

α

的合成場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的住函數(shù)S，以拋物線坐標(biāo)ξ，η，θ表示，式中α及F是常數(shù)，而

22zrR+=（參看圖1.2.4）

。5.42劉維定理的另一表達(dá)式是相體積不變定理。這里又有兩種不同的說(shuō)法：

（1）考慮相宇中任何一個(gè)區(qū)域。當(dāng)這區(qū)域的邊界依照正則方程運(yùn)動(dòng)時(shí)，區(qū)域的體積在運(yùn)動(dòng)中不變。

（2）相宇的體積元在正則變換下不變。試分別證明之。

第五章習(xí)題解答

5.1解如題5.1.1圖

題5.1.1圖

桿受理想約束，在滿足題意的約束條件下桿的位置可由桿與水平方向夾角α所唯一確定。桿的自由度為1，由平衡條件：

=δω0=∑iirFδ

即

mgδ?y=0①

變換方程

yc=2rcosαsinα-αsin2

l=rsin2ααsin2l-②

故

=cyδδααα??

?

?

?-cos2

12cos2lr③

代回①式即

0cos21cos2=??

?

??-δαααlr

因δα在約束下是任意的，要使上式成立必須有：

rcos2α-αcos2

l=0α

αcos2cos4rl=

④又由于

cosα=r

c2

故

cos2α=2

2

222rrc-

代回④式得

()

c

rcl2224-=

5.2解如題5.2.1圖

題5.2.1圖

三球受理想約束，球的位置可以由α確定，自由度數(shù)為1，故。

()αβsinsin21rlrx+-=-=()0sinsin232=+==xrlrxαβ

()()()β

α

αcos2coscoscos321rarlyrlyrly-+=+=+=

得

()()()δαδα

δββ

αδαδαδαδαδαδ?++-=+-=+-=sin2sinsinsin321rrlyrlyrly

由虛功原理

1

=i故

()()()0

sin2sinsinsin0

332211=?++-+-+-=++δαδαδβ

βαδααδααδαδδδrrlrlrlyPyPyP①因δα在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須

()0sin2sin3=++-δα

δβ

β

αrrl故

()α

βδβδαsin3sin2rlr+=

②又由()αδαβδβδcoscos21rlrx+-=-=得：

()α

βδβδαcoscos2rlr+=

③由②③可得

αβtan3tan=

5.3解如題5.3.1圖，

題5.31圖

在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。去掉繩代之以力T，且視為主動(dòng)力后采用虛功原理，α一確定便可確定ABCD的位置。因此自由度數(shù)為1。選α為廣義坐。由虛功原理：

1

=iw0=+-DDBBcxTxTyδδδ①

又

ααααcotcos2,sin,sinalylxlxcDB-==-=

取變分得

δαα

αδαδδα

αδαδαδ2

sinsin2cos;cosa

lylxlxcDB=-=?=-=

代入①式得：

DTalW+??

?

??+-δαααδα2

sinsin2()0coscos=+δαααll化簡(jiǎn)得

0cos2sinsin22

=??

????+???

??+-δααααTlalW②設(shè)

TTTDB==

因δα在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：

0cos2sinsin22

=+????

?

+-αααTlalW由此得

??

?

??-=1csc2tan3ααlaWT

5.4解自由度1=s，質(zhì)點(diǎn)位置為()yx，。由

01

1

=??+=??+∑∑==i

k

iyik

ixyfFxfFβββ

βββ

λλ①

由已知得

,1=i

()0,222=-+=ryxyxf

故

02022=+=+yWxxkλλ②

約束方程

222ryx=+③

聯(lián)立②③可求得

???????=±==rW

ryx20μλ或????

??

???-

==-±=22

2

222kkWykWrxλ又由于

λ=R2

2

???

?????+???????=?yfxffλ()

ryxλλ2422=+=

故

W

Rryxμ=±==0

或

r

kRkW

ykW

rx22

4

2

2

-==-±=

5.5解如題5.5.1圖

題5.5.1圖

按題意僅重力作用，為保守系。因?yàn)橐阎?ψ，故可認(rèn)為自由度為1.選廣義坐標(biāo)q=θ，在球面坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能：

()

2

22222sin2

1i

iiiiiiirrrmTψθθ&&&++=

()DCBi，，代表指標(biāo)其中由于

,arrDB==

θθθ==DB

所以

()

θθ222221sin2

1aamTTDBΩ+=

=&又由于

0=cθ

θcos2arc=

故

22222

2sin2cos221θθθ&amdtadmTc=??

???=()

2222222221sin2sinθ

θθθ&&amaamTTTTcDB+Ω+=++=取Ox為零勢(shì)，體系勢(shì)能為：

()θcos221mmgaV+-=

故力學(xué)體系的拉氏函數(shù)為：

()

()θ

θθθθcos2sin2sin21222222221mmgaamamV

TL+++Ω+=-=&&

5.6解如題5.

6.1圖.

題5.6.1圖

()1平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)自由度.

()2選廣義坐標(biāo)為θ=q，廣義速度

()3因未定體系受力類型，由一般形式的拉格朗日方程

ααQqTq

Tdtd=??-????????&①在

。

011==?=∑=δθδδQrFWin

ii廣義力

.01=Q

代入①得：

0=??-

???????θ

θT

Tdtd&②在極坐標(biāo)系下：

()

??????

?

??????

??????????????+????

?+??????

??=+=22222222cos22cos22121dttdadtadmrrmTωθθθθ&&?

?

???++=

22222222cos42cos421θθθωθω&&aaam③故

將以上各式代入②式得

0sin2sinsin222222=++-θθωθωθθσθ&&&&mamamama

0sin2=+θωθ&&

5.7解如題5.7.1圖

題5.7.1圖

222

22xyxvω++=&&

又由于

xa

xy

&&2=

所以

????????+?????+==222

2222121xxaxxmmvTω&&?

?????+???

???+=222224121xaxxmω&①取坐標(biāo)原點(diǎn)為零勢(shì)面

a

xmg

mgyv42==②

拉氏函數(shù)

2

22

222244121axmgxaxxmVTL-??

????+??????+=-=ω&③axmgxmaxmxL24222-???

???+=??ω&

22

2222224141axxmaxxmxLdtdaxxmxL&&&&&&+???

???+=??????????

???+=??

代入保守系拉格朗日方程0=??-???????x

LxLdtd&得024412

2222=+-+???

???+axmgxmaxxmaxxmω&&&

22

22

22224141axxmaxxmxLdtdaxxmxL&&&&&&+???

???+=??????????

?

??+=??

代入保守系拉格朗日方程

0=??-

???????x

L

xLdtd&得

024412

2222=+-+???

???+axmgxmaxxmaxxmω&&&

5.8解：如圖5.8.1圖

.

題5.8.1圖

(1)由于細(xì)管以勻角速ω轉(zhuǎn)動(dòng)，因此.θ=ω可以認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)的自由度為1.

(2)取廣義坐標(biāo)qx=.(3)根據(jù)極坐標(biāo)系中的動(dòng)能

)(2

1)(21222222ωθxxmrrmT+=+=

&&&取初始水平面為零勢(shì)能面，勢(shì)能:

)sin(tmgxVω=

拉氏函數(shù)

)sin()(2

1222

tmgxxxmVTLωω-+=

-=&①(4)

xmxL&&=??，)sin(2tmgxmx

Lωω-=??代入拉氏方程

0)(=??-??xL

x

Ldtd&得：

)sin(2tmgxmxmωω-=-&&

(5)先求齊次方程的解.

02=-xxω&&②

ttececxωω-+=21

特解為

)sin(22

tgωω

故①式的通解為

)sin(22

21tgececxttωω

ωω+

+=③

在0=t時(shí)：

21cca+=④

ω

ωω2210gccvx+

-==⑤

聯(lián)立④⑤得

2

01421ωωgvac-

?????+=

2

02421ωωgvac+

?????-=

將21,cc代回式③可得方程的解為：

)sin(24214212

2020tg

egvaegvaxttωωωωωωωω+??????+????

?-+??????-?????+=-

5.9解如題5.9.1圖.

第5.9題圖

（1）按題意為保守力系，質(zhì)點(diǎn)被約束在圓錐面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，故自有度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo)rq=1，θ=2q.（3）在柱坐標(biāo)系中：

()

22222

1z

rrmT&&&++=

θαcotrz=

()

αθ22222cot2

1rrrmT&&&++=

以O(shè)xy面為零勢(shì)能面，則：

αcotmgrV=

拉氏函數(shù)

()

αθ22222cot2

1rrrmVTL&&&++=

-=-αcotmgr①（4）因?yàn)長(zhǎng)不顯含θ，所以θ為循環(huán)坐標(biāo)，即

0=??

?????θ&Ldtd==??θθ

&&2mrL常數(shù)②對(duì)另一廣義坐標(biāo)

ααθ22cotcotrmrmr

L

mgmrrL&&&&+=??-=??代入保守系拉氏方程

0=??-

???????r

L

rLdtd&③有

0cotcot22=+-+αθαmgmrrmrm&&&&&

得

0cossinsin22=+-αααθmgmrrm&&&④

所以此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

?????=+-=0cossinsin222αααθθgrrAr&&&

&（A為常數(shù)）()θtan211xxy-=

所以

()[]

22

22212112

1tan21xmxxxmT&&&&+-+=

θ

5.10解如題5.10.1圖.

1

2

題5.10.1圖

（1）體系自由度數(shù)為2.（2）選廣義坐標(biāo).2211,xqxq==

（3）質(zhì)點(diǎn)的速度,

212121yxv&&+=劈的速度

22

22xv&=故體系動(dòng)能

()

22

22121212

121xmyxmTTT&&&++=

+=以x面為零勢(shì)面，體系勢(shì)能：

2211tan)(CxxgmV+-=θ

其中2C為劈勢(shì)能.拉氏函數(shù)

()[]

()2

2112

222221211tan2

1tan21CxxgmxmxxxmVTL+-+=

-=θθ&&&&①（4）

()θθ2

2211111

11

tantanxxmxmxLgmxL

&&&&-+??-=??

代入拉格郎日方程

011=?-???

?????xLxLdtd&得：

()

tantantan11221211=+-+θθθgmxmxm&&&&②

θtan12

gmxL

=??()2

22

2112

tanxmxxmxL&&&&+--=??θ代入拉格郎日方程得

tantantan122222211=-++-θθθgmxmxmxm&&&&&&③聯(lián)立②，③得

?

?

+=+-=θ

θθθθθ2121221221

sincossinsincossinmmgmxmmgmx&&&&

5.11解如題5.11.1圖

2

題5.11.1圖

（1）本系統(tǒng)內(nèi)雖有摩擦力，但不做功，故仍是保守系中有約束的平面平行運(yùn)動(dòng)，自由度.1=s

（2）選取廣義坐標(biāo).θ=q（3）根據(jù)剛體力學(xué)

222222224

3212121θ

θθ&&&mrMrmvIMvTBCc+=++=

其中繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

CBCCvvrvMrI2,,2

12===

θ&

選Ox為零勢(shì)面，體系勢(shì)能：

θmgrCV2-=

其中C為常數(shù).

拉氏函數(shù)

CmgrmrMrVTL-++=

-=θθθ224

32222&&(4)

θ

θθθ&&&2242

3,2mrMrLmgrL+=??=??代入保守系拉氏方程

0=??-

???????θ

θL

Ldtd&得：

0242

322=-+mgrmrMrθθ&&&&()m

Mmg

aamMmgrar

mMmg

8382834834121+=

=+=

=+=

θθ&&&&對(duì)于物體B，有

mMMmgmamgTmaTmg83322

+=

-==-

5.12解如題5.12.1圖

.

題5.12.1圖

（1）棒作平面運(yùn)動(dòng)，一個(gè)約束，故自由度2=s.（2）選廣義坐標(biāo).,21θ==qxq（3）力學(xué)體系的動(dòng)能

222

1

21ωCCImvT+=

根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成

()jaiaxvCθωθωsincos-+=&

又

θ

ω&=故

θθθcos22222&&&&xaaxvC++=

設(shè)k為繞質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑，代入①得動(dòng)能

222222

1cosxma2121θ

θθθ&&&&&mkmaxmT+++=

②（4）

()jaiaxrBθθcos2sin2++=

由

0.2

1

===∑=iiirFqWδδθδαα&③

（其中FiFmgjFB

C==,）

則

()()0sincos2sincos2=-+=-+=δθθθδθδθθδθδδmgaaFxFmgaaxFW④

因?yàn)閤δ、δθ在約束條件下任意且獨(dú)立，要使上式成立，必須：

θθsincos2,21mgaaFQFQ-==⑤

（5）

()

θθcos,0&&&axmx

TxT+=??=??代入一般形式的拉氏方程得：

()

Faaxm=-+θθθθsincos2&&&&&⑥

又

θθθ

sinxma&&-=??T()

θθθθ

&&&&22cosmkxaamT++=??

代入一般形式的拉氏方程得：

()[]

θθθ

θsincos2cos22mgaFakaxam-=++&&&&⑦⑥、⑦兩式為運(yùn)動(dòng)微分方程

（6）若擺動(dòng)角很小，則，代入式得：1cos,sin→→θθθ，代入⑥⑦式得：

()

???

???

?=

+++=-+mFagakaxamFaax2222θθθθθ&&&&&&&&&⑧又

()22212

am

mkIC=

=故

223

1ak=

代入⑧式得：

???

???

?=++=+mFgaxmFax234θθθ&&&&&&&&（因?yàn)棣冉呛苄?，故可略去?/p>

θ2&a-項(xiàng)）

5.13解如題5.13.1圖

題5.13.1圖

(1)由于曲柄長(zhǎng)度固定，自由度1=s.

(2)選廣義坐標(biāo)?=q，受一力矩，重力忽略，故可利用基本形式拉格朗日方程：

α

ααQqT

q

T

dtd=??-???

?????&①(3)系統(tǒng)動(dòng)能

()()()()()2

222212

222

222212

22222114

361212121612

12121??

???ωω&&&&&rRmrRmrrRrmrRmrRmIvmITA+++=??

????+??++++=++=

②（4）由定義式

∑=???

=MrFQi

i

i??③（5）

()()??

??&&&222

12

331,0rRmrRmTT+++=??=??代入①得：

MQTdtd==???

?

????α?&()()MrRmrRm=+++??&&&&22212

331

得

()?

????

?

++=

212292132mmrRmM

?&&

5.14.解如題5.14.1圖.

題5.14.1圖

（1）因體系作平面平行運(yùn)動(dòng)，一個(gè)約束方程：

()?θ?

'=++&&&bbaa(2)體系自由度2=s，選廣義坐標(biāo)?θ==21,qq.雖有摩擦，但不做功，為保守體系

（3）體系動(dòng)能：

PT=輪平動(dòng)動(dòng)能P+輪質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能S+輪質(zhì)心動(dòng)能

S+輪繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.

()()[]

()()[]()[]

()θθ?θθθ??θθ?

θθ???222222

22222222

sin2

1cos2

14143sin21cos2

212121&&&&&&&&&&&&bamabambaamaMbamabamIaMISP++-+++++=++-++'++=

①以地面為零勢(shì)面，體系勢(shì)能

()MgabamgV++=θcos

則保守系的拉氏函數(shù)

()[]()[]

()[]

()MgabamgbamabamabamaMVTL-+-++-+++++=

-=θθθ?

θθ?θ?cossin2

cos21414322

222222&&&&&&②

(1)因?yàn)長(zhǎng)不顯含?，得知?為循環(huán)坐標(biāo).故

()()?θθθ???&&&&&&222cos2

12123mabamabamamaMaL++-+++=??=常數(shù)③

開始時(shí)：

0==θ?

&&則

()()0cos2

1232322=+-+++θθθ??&&&&bamabamamaMa

代入bac+=得

()θεθ?&

&??

????+-=mMmcmcacos2又0=t時(shí)，0==?θ所以

()

mMmcmca+-=

3sin2θθ?()

()()θ

θθθθθ?θcos3sin33sin2sinsincymMmMmc

mMmcmccacx=+++=+--=-=

5.15解如題5.15.1圖

題5.15.1圖

（1）本系統(tǒng)作平面平行運(yùn)動(dòng)，干限制在球殼內(nèi)運(yùn)動(dòng)，自由度2=s；選廣義坐標(biāo)

θ==21,qxq，體系摩擦力不做功，為保守力系，故可用保守系拉氏方程證明

0=??-???

?????ααqLqLdtd&①（2）體系動(dòng)能=球殼質(zhì)心動(dòng)能+球殼轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能+桿質(zhì)心動(dòng)能+桿繞中心轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

22

2221122

12121ωωImvIxCMT+++

=&②其中

()()

θ

ωωθθαθθαα&&&&==++====

桿球,sincoscoscos,sin3

131,322

2221a

xaaxvammlIMaIj,i

代入②得

θαθααθcoscossin31cos21352122222&&&&xammaxmMT+??

???++?????+=

以地面為零勢(shì)面，則勢(shì)能：

1coscosCVmga+θα（其中1C為常數(shù)）

()

122222coscoscoscossin31cos213521CmgaxammaxmMVTL+-+

?????++?????+=

-=θαθαθααθ&&&&

(3)因?yàn)閤是循環(huán)坐標(biāo)，故

=+??

???+??θαθcoscos352&&&&amx

mMxL常熟③而

θαααθθθ

αθαθθcoscosxmasin31cosLsincossincosxmaL

222&&&&&+??

???+=??+-=??mamga代入①式得

0sincoscoscossin31cos22=??

???-++θαθαααθmgxmma&&

&&④聯(lián)立③、④可得（先由③式兩邊求導(dǎo)，再與④式聯(lián)立）

()()()

()0

sincos335coscoscos9sincos335222=++

-++θ

αθθθ

αθααgmMdt

damamM&

&&⑤⑤試乘θ&

2并積分得：()()[]()常數(shù)

++=-++θαθθαααcoscos356coscossincos3352

2

2

2

2

mMgamM&

又由于當(dāng)

βθθ

==，則0&()()()[]()()

βθαθθαααβ

αcoscoscos356coscos9sincos335coscos3562

2

2

2

2

-+=-+++-=mMgammMmMg&故常數(shù)

5.16解如題圖

5.1

6.1.

題5.16.1圖

（1）由已知條件可得系統(tǒng)自由度1=s.（2）取廣義坐標(biāo)θ=q.（3）根據(jù)剛體力學(xué)，體系動(dòng)能：

222

1

21ωCCImvT+=

①又

()()25

2,,mrIrrRrRvCC=-=-=θωθ&&

將以上各式代入①式得：

()()()222

22210

75121θθθ&&&

rRmrrRmrrRmT-=

?

?????-+-=

設(shè)原點(diǎn)O為零勢(shì)能點(diǎn)，所以體系勢(shì)能

()θcosrRmgV--=

體系的拉氏函數(shù)

()()θθcos10

72

2rRmgrRmVTL-+-=

-=&②(1)因?yàn)轶w系只有重力勢(shì)能做工，因而為保守系，故可采用

0=??-???

?????ααqLqLdtd&③()()()

θθθθ

θθ

≈--=--=??sinsin很小，所以因?yàn)槲⒄饎?dòng)，rRmgrRmgL

()225

7θθ&rRmL-=??代入③式得

()()05

72=-+-θθrRmgrRm&&即

075=-+

r

Rg

θ&&

（5）解方程得

gr

RtrRgA-=??????+-=57275cos0π

τ?θ周期

5.17解如題5.17.1圖

題5.17.1圖

（1）由題設(shè)知

()()

j

i22211122211121

11sinsincoscosθθθθθθθθθ&&&&&llllvlv+++==

系統(tǒng)動(dòng)能

()

()

()()21212122222212121222211122222111221211222211cos2

121sinsin21coscos21212121θθθθθθθθθθθθ