概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件6.3參數(shù)的區(qū)間估計

6.3參數(shù)的區(qū)間估計一、區(qū)間估計的一般步驟二、單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計三、雙正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計一、區(qū)間估計的一般步驟

我們在討論抽樣分布時曾提到過區(qū)間估計.與點估計不同的是，它給出的不是參數(shù)空間的某一個點，而是一個區(qū)間（域）.按照一般的觀念，似乎我們總是希望能得到參數(shù)的一個具體值，也就是說用點估計就夠了，為什么還要引入?yún)^(qū)間估計呢？這是因為在使用點估計時，我們對估計量是否能“接近”真正的參數(shù)的考察是通過建立種種評價標準，然后依照這些標準進行評價，這些標準一般都是由數(shù)學特征來描繪大量重復試驗時的平均效果，而對于估值的可靠度與精度卻沒有回答.就是說，對于類似這樣的問題：“估計量落在參數(shù)的鄰域的概率是多大？”點估計并沒有給出明確結論，但在某些應用問題中，這恰恰是人們所感興趣的.例6.3.1

某工廠欲對出廠的一批電子器件的平均壽命進行估計，隨機地抽取件產(chǎn)品進行試驗，通過對試驗的數(shù)據(jù)的加工得出該批產(chǎn)品是否合格的結論？并要求此結論的可信程度為95%，應該如何來加工這些數(shù)據(jù)？

對于“可信程度”如何定義，我們下面再說，但從常識可以知道，通常對于電子元器件的壽命指標往往是一個范圍，而不必是一個很準確的數(shù).因此，在對這批電子元器件的平均壽命估計時，壽命的準確值并不是最重要的，重要的是所估計的壽命是否能以很高的可信程度處在合格產(chǎn)品的指標范圍內(nèi)，這里可信程度是很重要的，它涉及到使用這些電子元器件的可靠性.因此，若采用點估計，不一定能達到應用的目的，這就需要引人區(qū)間估計.

區(qū)間估計粗略地說是用兩個統(tǒng)計量，（）所決定的區(qū)間[，]作為參數(shù)取值范圍的估計.顯然，一般地這樣說是沒有多大的意義的，首先，這個估計必須有一定的精度，即是說-不能太大，太大不能說明任何問題；第二，這個估計必須有一定的可信程度，因此-又不能太小，太小難以保證這一要求.比如從區(qū)間[1，100]去估計某人的歲數(shù)，雖然絕對可信，卻不能帶來任何有用的信息；反之，若用區(qū)間[30，31]去估計某人的歲數(shù)，雖然提供了關于此人年齡的信息，卻很難使人相信這一結果的正確性.我們希望既能得到較高的精度，又能得到較高的可信程度，但在獲得的信息一定（如樣本容量固定）的情況下，這兩者顯然是不可能同時達到最理想的狀態(tài)。通常是采取將可信程度固定在某一需要的水平上，求得精度盡可能高的估計區(qū)間.定義6.3.1對于參數(shù)，如果有兩個統(tǒng)計量,,滿足對給定的，有則稱區(qū)間[，]是的一個區(qū)間估計或置信區(qū)間，，分別稱作置信下限、置信上限，稱為置信水平.對與定義，我們應注意以下幾點：1)置信區(qū)間[，]是一個隨機區(qū)間;2)置信區(qū)間端點和區(qū)間長度都是樣本的函數(shù)，都是統(tǒng)計量;3)[，]是的置信度為的置信區(qū)間的含義是：大量重復抽樣下，將樣本觀測值代入，可求得許多確定的區(qū)間，其中大約100()%的區(qū)間包含在內(nèi)，而觀察得到的一個具體區(qū)間[，]則可能包含，也可能不包含.這里的置信水平，就是對可信程度的度量.置信水平為1-，在實際上可以這樣來理解:如取，就是說若對某一參數(shù)取100個容量為的樣本，用相同方法做100個置信區(qū)間[，]，=1,2,…,100,那么其中大約有95個區(qū)間包含了真參數(shù)．因此,當我們實際上只做一次區(qū)間估計時，我們有理由認為它包含了真參數(shù).這樣判斷當然也可能犯錯誤，但犯錯誤的概率只有5%.下面我們來討論一下區(qū)間估計的一般步驟.1)設欲估計參數(shù)為，先取的一個點估計，它滿足兩點：一是它較前面提出的標準應該是一個“好的”估計量，二是它的分布形式應該已知，只依賴未知參數(shù)．2)所求的區(qū)間考慮為的一個鄰域,a,b﹥0,(或者等等)，使得對于=1-.且一般要求盡可能小.為確定，須用解不等式的方法將隨機事件變成類似于下述等價形式：其中，為可逆的的已知函數(shù),的分布與無關且已知，一般其分位點應有表可查，這是關鍵的一步.于是就可得出，為某個分位點,如，.3)從，的表達式中解出即可.區(qū)間估計涉及到抽樣分布，對于一般分布的總體,其抽樣分布的計算通常有些困難，因此，我們將主要研究正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計問題.二、單個正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計設為的樣本，對給定的置信水平，，我們來分別研究參數(shù)與的區(qū)間估計.1.總體均值的置信水平為的區(qū)間估計考慮的點估計為，確定使,且使區(qū)間長盡可能小.下面分兩種情況:1）已知，變換事件，使表成如下的形式：這里，為使，又要盡量使最小，亦即使最小，如圖6-1，從密度函數(shù)的特點來看（對稱、原點附近密度最大，往兩邊密度減?。挥腥?，即，從而所求的區(qū)間是

.圖6-12）未知，將事件變換成如下的形式：已知，為使，且區(qū)間盡量短，與情形一樣,只有取因此所求區(qū)間為.2.總體方差的置信水平為1-的區(qū)間估計我們知道的點估計量為，注意到，考慮，及的鄰域[，]，使,變換事件,由費歇定理知，故為使，通常取于是，所求區(qū)間為這里要使區(qū)間最短，計算太麻煩，因此，在取分位點時采用類似主對稱型分布的取法，使密度函數(shù)圖形兩端的尾部面積均為（如圖6-2）.圖6-2例6.3.2

某市教科所進行初中數(shù)學教學實驗，實驗班是從全市初一新生中抽取的一個的隨機樣本.初中畢業(yè)時該班參加全省畢業(yè)會考的平均分為84.3，標準差為10.78，如果全市都進行這種教學實驗，并實驗后全市畢業(yè)生的會考成績服從正態(tài)分布，那么，全市初中畢業(yè)會考成績的平均分不會低于多少(置信度為0.95)？并將其與現(xiàn)在全市初中畢業(yè)會考成績的平均分71.9進行比較.解:此處已知總體服從正態(tài)分布，且未知，查分布表得,于是的0.95的置信區(qū)間下限、上限分別為：所以的置信度為0.95的置信區(qū)間為.即當全市都進行這項教學實驗時，全市初中畢業(yè)會考成績有95%的把握其最低平均成績?yōu)?1.2，比現(xiàn)在的71.9高9.3分.（注：由于該例＞30，若總體不服從正態(tài)分布，也可用這種情形處理;若＜30，就只能用分布的置信區(qū)間處理了）.需要指出的是，置信區(qū)間并不唯一，如上例,我們由{}=0.95來確定置信區(qū)間，只要選擇,適合上式即可，顯然這樣的,有無窮多個，相應的置信區(qū)間也就有無窮多個，比如，由取,，則則算得的觀察值為(區(qū)間長度為6.3，前面長為6.0).我們總希望在同一置信度下，置信區(qū)間的長度越短越好，因為區(qū)間越短，估計的精確度越高.可以證明，像正態(tài)分布，分布這類密度曲線為單峰對稱的分布，對稱的置信區(qū)間最短，也就是像我們原來那樣，取,,這樣構造的精度最高.置信區(qū)間的長度也與樣本容量有關，一般來說，越大，區(qū)間長度越短，但大，又要增多試驗的次數(shù).此外，置信區(qū)間長度與置信度也有密切的關系，置信度越高,區(qū)間的可靠性越大，但樣本容量一定時，提高了置信度，置信區(qū)間的長度又往往變大，即精確度又降低了，所以必須具體問題具體掌握.例6.3.3

一批零件尺寸服從，對進行區(qū)間估計（未知）,要求估計精度不低于2，置信水平保持為，問至少要抽取多少件產(chǎn)品作為樣本？解:顯然，此處要求由上面可知，故上式不是的顯式，但對于具體數(shù)值，可采取“試算法”來確定．一般是先對作個大致估計(可以由以往的經(jīng)驗確定),然后用試算的方式確定適合方程中的．例如若估計出200，又已知,來試算：.顯然，如果任正整數(shù)不可能嚴格滿足方程的話，則應取使式方程左邊大于右邊的最小的n，因此應該取n=11．例6.3.4

有Ａ、Ｂ兩種牌號的燈泡各一批，希望通過抽樣試驗并進行區(qū)間估計，考察（ⅰ）兩種燈泡的壽命是否有明顯差異；或者考察（ⅱ）兩種燈泡的質(zhì)量穩(wěn)定性是否有明顯差異.我們補充一些合理假設，將上述應用問題變?yōu)閿?shù)理統(tǒng)計問題.設Ａ、Ｂ種燈泡的壽命分別服從，,并設兩種燈泡的壽命是獨立的.這就是兩正態(tài)總體的參數(shù)區(qū)間估計問題，對于（ⅰ）是求的置信區(qū)間，對于（ⅱ）是求的置信區(qū)間.如果在（?。┲校瑓^(qū)間估計的置信下限大于0，則認為明顯大于；若它的置信上限小于0，則認為明顯小于；若0含在置信區(qū)間內(nèi)，則認為兩者無明顯差別.對于（ⅱ）也可做類似的討論，只需將０相應地改為１即可.下面來給出這兩個區(qū)間估計.不妨設這兩種燈泡的樣本分別為及,置信水平為1-.例6.3.4

有Ａ、Ｂ兩種牌號的燈泡各一批，希望通過抽樣試驗并進行區(qū)間估計，考察（ⅰ）兩種燈泡的壽命是否有明顯差異；或者考察（ⅱ）兩種燈泡的質(zhì)量穩(wěn)定性是否有明顯差異.對于（ⅰ），顯然可用的點估計量來構造置信區(qū)間[,]，其中滿足下面分兩種情況進行討論.1）若已知，則變換事件A,注意到,欲使，取此時估計區(qū)間是.2)若未知，只研究的情形，變換事件A:其中,因此，為使，取故所求區(qū)間是對于（ii）取.為使，類似于分布，取分位點故所求