時(shí)間序列課后習(xí)題答案

人大時(shí)間序列課后習(xí)題答案

第二章P34

1、(1)因?yàn)樾蛄芯哂忻黠@的趨勢(shì)，所以序列非平穩(wěn)。

(2)樣本自相關(guān)系數(shù)：

n-k

「"/(OU汽區(qū)_守

1=\

1〃1

X=-Yxt=——(1+2+???+20)=10.5

n片20

]20

7(°)=云2(為一幻2=35

119

/⑴=6工區(qū)一項(xiàng)七+「幻=2975

1九=1

118

八2)=/￡區(qū)一幻區(qū)+2一燈=25.9167

13/=]

117

/⑶=高￡(X,一元)區(qū)+3—元)=21.75

17仁]

/(4)=17.25/(5)=12.4167y⑹=7.25

p}=0.85(0.85)p2=0.7405(0.702)g=0.6214(0.556)

p4=0.4929(0.415)p5=0.3548(0.280)p6=0.2071(0.153)

注：括號(hào)內(nèi)的結(jié)果為近似公式所計(jì)算。

(3)樣本自相關(guān)圖：

AutocorrelationPartialCorrelationACPACQ-StatProb

「******1「…口1Q8500.85016.7320.000

「****.*|.|20.702-0.07628.7610.000

『***.*|.|30.556-0.07636.7620.000

.「**|.*|.|40.415-0.07741.5000.000

.1**.1..|50.280-0.07743.8000.000

?I*.1.*|.|60.153-0.07844.5330.000

.1.1.*|.|70,034-0.07744.5720.000

.*l.1.*|.|8-0.074-0.07744.7710.000

.*l.1.*|.|9-0.170-0.07545.9210.000

.**1.1.*|.|10-0.252-0.07248.7130.000

.**||..|11-0.319-0.06753.6930.000

***||.*|.|_12_-0.370-0.060_61.220_0.000

該圖的自相關(guān)系數(shù)衰減為0的速度凌慢，可認(rèn)為非平穩(wěn)。

in

4、LB=n(n+2)工

k=lI)

LB(6)=1.6747LB(12)=4.9895

ZO.O5(6)=12.59ZO.O5(I2)=21.O

顯然，LB統(tǒng)計(jì)量小于對(duì)應(yīng)的臨界值，該序列為純隨機(jī)序列。

第三章P97

1、解：E(x,)=0.7)+￡(￡,)

(l-0.7)E(x,)=0E(xt)=Q

(1-0.7B)x,=￡,

x,=(1—0.7B)T弓=(l+0.7B+0.72B2

Var(x)=——-——(7；=1.9608b；

'1-0.49'

Pi=妖Po=0-49赧=0

2、解：對(duì)于AR(2)模型：

必夕0+。22-1==0.5

VP\~

0=/21+。2。0=必。1+。2=。3

=7/15

解得:

弧=1/15

3、解：根據(jù)該AR(2)模型的形式，易得：E(x,)=0

原模型可變?yōu)椋簒,=0.8x,_1-0.15X,_2+￡T

1一人

Var(x1)=

(1+02)(1-。1一02)(1+。1—。2)

--------------------------------O-2=1.9823O-2

(1-0.15)(1-0.8+0.15)(1+0.8+0.15)

p、—必/(I—02)=0.6957必]=Pi—0.6957

<Pi=@\P\+02A)=04066<a2=4=-0.15

0

p3Eg+。2Pl=0.2209."3=

4、解：原模型可變形為：

(1-B-CB2)X,=￡,

由其平穩(wěn)域判別條件知：當(dāng)I右1<1，弧+必<1且。2-必<1時(shí)，模型平穩(wěn)。

由此可知c應(yīng)滿足：lcT<l,C-1<1且C+1<1

即當(dāng)一l〈c〈0時(shí)，該AR(2)模型平穩(wěn)。

1攵=0

Pk=<1/(1-c)k=1

c

Pk-\+Pk-2kN2

5、證明：已知原模型可變形為：

23

(1-B-cB+CB)X,=￡T

其特征方程為：23-A2-c/l+c=(/l-l)(22+/1—c)=0

不論c取何值，都會(huì)有一特征根等于1,因此模型非平穩(wěn)。

2

6、解：(1)錯(cuò),YQ=Var(xt)=o-2/(I-6>,)o

(2)錯(cuò)，E[(x,-4)(陽一〃)]=/,=A/o=仇蘇/(I一?)。

(3)錯(cuò)，3T(1)=69。

(4)錯(cuò)，e?(/)=￡?+/+G]￡?+/_]+++G/-i*r+i

=￡T+I+。聲r(shí)+/-i+￡T+I-2一.4￡T+\

(5)錯(cuò)，WmVar[x,-x(/)]=lim(/)]=lim—■_=~~~r

I-wT+TI_I―km1c2￡1Z)2

MA(1)模型的表達(dá)式為：陽=￡,+￡-]o

8、解：E(xt)=/(I-^)=10/(1-0.5)=20

原模型可變?yōu)椋?l-0.5B)(x,-20)=(l-0.8B2+CB3k,

'(1—0.58)

顯然，當(dāng)1-0.8B?+C爐能夠整除1—0.5B時(shí)，模型為MA(2)模型，由此

得B=2是1-0.8B2+CB3=0的根，故C=0.275。

9、解：：E(x,)=0

Var(xt)=(1++%)或=1.65a；

。廣溪餐智”

_一。20.4

02-1+毋+6；=0.2424pk—0,k>3

k65

10、解：(1)X,=￡,+C(￡.]+J_2+…)

%T=￡.]+C(￡.2+J-3+…)

(-\

匕=￡/+Cx￡I+%=x-+J+(C—1)￡1

即(1-5)^=[1-(C-1)BX

顯然模型的AR部分的特征根是1,模型非平穩(wěn)。

(2)yt=xf-Xt_x=8t+(C-1)￡,T為MA⑴模型，平穩(wěn)。

一dC-l

P\=

1+斤C2-2C+2

11、解：（1）1a1=12>1,模型非平穩(wěn);

2,=1.3738%=-0.8736

我+外=0.8<1,我—必=—1.4<1,模型平穩(wěn)。

4=0.6Z2=0.5

(3)\621=0.3<1,%+優(yōu)=0.6<1，02-0,=-1.2<1,模型可逆。

4=0.45+0.2693i2,=0.45-0.26931

(4)\02|=0.4<1,%+優(yōu)=-0.9<1,%一仇=L7>1，模型不可逆。

4=0.2569%=-1.5569

(5)I必|=0.7<1,模型平穩(wěn)；4=0.7

I優(yōu)1=0.6<1,模型可逆；4=0.6

(6)|021=0.5<1,%+必=—0.3<1，我一仇=13>1，模型非平穩(wěn)。

4=0.41242,=T.2124

\0}1=1.1>1,模型不可逆；4=1.1

12、解：(l—0.6B)x,=(1—0.36)弓

演=(1-038)(1+0.68+0.62B2+■■■)￡,

=(1+0.38+0.3*0.6B2+0.3*O.62爐+…應(yīng)

OQ

￡,+￡0.3*0.6尸￡_/

j=l

G0=l,G/=0.3*0.6，T

13、解：仇①(8)X/=E[3+?(B)%]=(1—0.5)2E(X,)=3

E(x,)=12

14、證明：p0=/(O)//(O)=1；

c0.25(1-0.5*0.25)

/(O)1+。；-26防1+0.252-2*0.5*0.25

Pk="Pk-i=05pk_\kN2

15、解：(1)錯(cuò)；(2)對(duì)；(3)對(duì)；(4)錯(cuò)。

16、解：(1)x,-10=0.3*(x”1—10)+弓，xT=9.6

xr⑴=E(x,+I)=￡[l0+0.3*(xr-10)+J*J=9.88

=E[10+0.3*(x-10)+s]=9.964

XT(2)=E(XI+2)r+lT+2

xT(3)=E(X,+3)=E[10+0.3*(xr+2-10)+sT+3]=9.9892

已知AR⑴模型的Green函數(shù)為：Gj=“，尸1,2,…

e(3)=+Gs=。]￡,+2+而￡

TGOE1+3+G[￡I+22l+lEI+3+l+i

22

Var[eT(3)]=(1+0.3+0.09)*9=9.8829

x,+3的95%的置信區(qū)間：[9.9892-1.96*百麗河，9.9892+1.96*79.8829]

即[3.8275,163509]

(2)￡t+}=xT+i-xr(1)=10.5-9.88=0.62

xr+l(1)=￡(X,+2)=0.3*0.62+9.964=10.15

xT+1(2)=E(xt+3)=0.09*0.62+9.9892=10.045

2

V?r[er+2(2)]=(1+0.3)*9=9.81

x,+3的95%的置信區(qū)間：[10.045-1.96X瘋麗，10.045+1.96*VW]

BP[3.9061,16.1839]

習(xí)題4

1、

--L

Xj]一~+^T-\+，r-2+,^T-3

lz、5551

X7+2=—(/+]+XT+XT_X+XT2)=—XT+-XTl+-XT_2+—巧-3

4lolololo

所以，在％+2中巧與巧-1前面的系數(shù)均為工。

2、由

\xt=axt+(1-?)%,_1

瓦二町+i+(l-a)E

代入數(shù)據(jù)得

JK=5.250+5(1-。)

[5.26=5.5a+(l-a)xt

解得

X,=5.1

<a=0.4(舍去的情況)

3、(1)

%2i=~(820+*19+*18+*17+%16)=彳(18+11+10+10+12=11.2

%22=一(.^21+%20+%19+%18+%17)=—11.2+13+11+10+10=11.04

(2)利用吊=0.駕+0.6可_1且初始值%=%進(jìn)行迭代計(jì)算即可。另外

x；2=x21=x20該題詳見Excel。11.79277

(3)在移動(dòng)平均法下:

1119

x21=-x90+-yxr.

Z1<zucI

33?=16

111g

X22=-x2]~i—x2°H—y2xi

LL<L1.ZUcI

3)3/=15

1116

a=-l—x—=—

55525

在指數(shù)平滑法中：

X))—%21=120=。.4%20+0,6X]9

.?.b=0.4

A

.\b-a=0.4------=0.16

25

5、由

可=g+(l-a)(￡i+*)

<

J=y(xt-xt_l)+(l-/)rt_l

代入數(shù)據(jù)得

JK=0.4%,+0.6x(20+5)

[4.1=0.2(i,-20)+0.8x5

解得

(xt=20.5

=13,75

z<-c(10,11,12,10,11,14,12,13,11,15,12,14,13,12,14,12,10,10,11,13)

6、

方法一：趨勢(shì)擬合法

incomec-scan('習(xí)題4.6數(shù)據(jù).txt')

ts.plot(income)

由時(shí)序圖可以看出，該序列呈現(xiàn)二次曲線的形狀。于是，我們對(duì)該序

列進(jìn)行二次曲線擬合：

t<-l:Iength(income)

t2<-tA2

z<-lm(income-t+t2)

summary(z)

lines(z$fitted.values,col=2)

方法二：移動(dòng)平滑法擬合

選取N=5

income.fil<-filter(income,rep(l/5,5),sides=l)

lines(income.fil,col=3)

7、(1)

milk<-scanC習(xí)題4.7數(shù)據(jù).txt，)

ts.plot(milk)

從該序列的時(shí)序圖中，我們看到長期遞增趨勢(shì)和以年為固定周期的季

節(jié)波動(dòng)同時(shí)作用于該序列,因此我們可以采用乘積模型和加法模型。

在這里以加法模型為例。

z<-scan('4.7.txt')

ts.plot(z)

z<-ts(z,start=c(1962,l),frequency=12)

z.s<-decompose(z,type=，additive')〃運(yùn)用力口法模型進(jìn)行分解

z.kzz.s$seas〃提取其中的季節(jié)系數(shù)，并在z中減去(因?yàn)槭羌臃?/p>

〃型)該季節(jié)系數(shù)

ts.plot(z.l)

Iines(z.s$trend,col=3)

z.2<-ts(z.l)

t<-l:length(z.2)

120tA2

t3<-tA3

rl<-lm(z.2~t)

r2<-Im(z.2~t+t2)

r3<-lm(z.2~t+t2+t3)

summary(rl)

summary(r2)

summary(r3)##發(fā)現(xiàn)3次擬合效果最佳，故選用三次擬合

ts.plot(z.2)

lines(r3$fitt,col=4)

pt<-(length(z.2)+l):(length(z.2)+12)

ptl<-pt##預(yù)測(cè)下一年序列

pt2<-ptA2

pt3<-ptA3

pt<-matrix(c(ptl,pt2,pt3),byrow=T,nrow=3)/*為預(yù)測(cè)時(shí)間的矩陣。*/

p<-r3$coef[2:4]%*%pt+r3$coef[l]/*矩陣的乘法為%*%；coefL1]

為其截距項(xiàng)，coef[2：4]為其系數(shù)*/

pl<-z.s$sea[l:12]+p/*加回原有季節(jié)系數(shù)，因?yàn)樵瓉硎羌臃Ｐ?/

ts.plot(ts(z),xlim=c(l,123),ylim=c(550,950))

lines(ptl,pl,col=2)

##包含季節(jié)效應(yīng)的SARIMA模型

z<-scan('4.7.txt')

ts.plot(diff(z))

sq<-diff(diff(z),lag=12)Z*12步差分*/

par(mfrow=c(2,1))

acf(sq,50)

pacf(sq,50)

##

Seriessq

N

OLhL

Lr

LLOO

V:

?

o1o

20304050

g

LoL.0

a0

w

m

o

cod—

o

203050

Lag

##觀察上圖，發(fā)現(xiàn)ACF圖12階處明顯，24階處即變到置信區(qū)間內(nèi)。

##而PACF圖12階，24階，36階處有一個(gè)逐漸遞減過程，可認(rèn)為

##拖尾，故可以考慮對(duì)季節(jié)效應(yīng)部分采用MA(1)模型

##同時(shí)，ACF圖在第一階處顯著后即立刻變動(dòng)到置信區(qū)間內(nèi)，具有

##截尾性質(zhì)，PACF圖在第5、6階時(shí)變動(dòng)到置信區(qū)間外，可以考慮

##使用MA(1)模型，故綜合可采用乘積模型SAK/M4(0/,l)x(0,l,l"

##即ril、mal模型乘以季節(jié)因素

resuIt<-arima(z,order=c(0,l,l),seasonal=list(order=c(0,l,l),Period=12

))/*季節(jié)因素里的order為階數(shù)的意思，與前面的airma模型的階數(shù)

含義同*/

tsdiag(result)〃診斷

##下圖為預(yù)測(cè)后的圖

020406080100120

Time

4.8

z<-scan('4.8.txt')

adf.test(z)##單位根檢驗(yàn)。比較科學(xué)的定量的方法

##其原假設(shè)：具有單位根，即不平穩(wěn)。此題中接受備則假設(shè)：平穩(wěn)。

指數(shù)平滑預(yù)測(cè)

ffe<-function(z,a)##定義指數(shù)平滑預(yù)測(cè)。其中a為平滑項(xiàng)

{

y<-c()

y<-z[i]

for(iinl:length(z))

y<-c(y,a*z[i]+(l-a)*y[i])

return(y)

)

y<-ffe(z,0.6)##執(zhí)行上述定義的function

ts.plot(z)

lines(y,col=3)

y[length(y)]

簡單移動(dòng)平均

z.l<-filter(z,rep(l/12,12),side=l)##side