統(tǒng)計(jì)學(xué)第七章方差分析(00001)課件

第七章方差分析一、方差分析的基本問(wèn)題二、單因素方差分析三、雙因素方差分析

方差分析（AnalysisofVariance,ANOVA)是假設(shè)檢驗(yàn)的一種延續(xù)與擴(kuò)展，它可以解決諸如多個(gè)均值是否相等等方面的檢驗(yàn)問(wèn)題，在因素分析中具有一定的優(yōu)勢(shì)。

例4：一個(gè)兒童食品制造商生產(chǎn)兒童麥片，該制造商認(rèn)為以下三種因素影響麥片味道：（1）麥片中小麥與玉米的比例；（2）甜味劑類(lèi)型的選擇：糖、蜂蜜等；（3）制作時(shí)間的長(zhǎng)短。

該例中，食品制造商通過(guò)生產(chǎn)出不同類(lèi)型的麥片并邀請(qǐng)兒童進(jìn)行品嘗試驗(yàn)，最后發(fā)現(xiàn)：

（1）麥片成份及甜味劑類(lèi)型對(duì)麥片食味有很大影響；

（2）制作時(shí)間對(duì)麥片食味沒(méi)有影響。一、方差分析的基本問(wèn)題因此，食品制造商可以對(duì)麥片成份及甜味劑類(lèi)型給予充分的關(guān)注以生產(chǎn)更合兒童口味的麥片，而對(duì)制作時(shí)間不必太介意。

方差分析可以用來(lái)分析不同因素（如上例中小麥與玉米的比例、甜味劑類(lèi)型、制作時(shí)間）對(duì)總體特征是否有顯著影響。所以叫方差分析，因?yàn)殡m然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有差異時(shí)則需要借助于方差這個(gè)名字也表示：它是通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)誤差來(lái)源的分析判斷不同總體的均值是否相等。因此，進(jìn)行方差分析時(shí)，需要考察數(shù)據(jù)誤差的來(lái)源下表四種飲料銷(xiāo)售量情況樣本均值27.3229.5626.4431.46樣本方差2.672.143.311.66樣本標(biāo)準(zhǔn)差1.641.461.821.29四種顏色可以看作是四個(gè)總體其中，i(I=1,2,3,4)表示所有飲料（無(wú)色、粉紅、橘黃、綠色）銷(xiāo)售量之均值。樣本來(lái)自于一個(gè)相同的總體樣本來(lái)自于不同的總體

要知道顏色是否對(duì)飲料銷(xiāo)售有顯著影響，就是要知道四種顏色飲料銷(xiāo)售量的均值是否有顯著差異，即進(jìn)行下述假設(shè)檢驗(yàn)：

H0:1=2=3=4H1:四個(gè)總體均值不全相等

1、相關(guān)術(shù)語(yǔ)

因素：是一個(gè)獨(dú)立的變量，是方差分析的研究對(duì)象（上例中的飲料顏色）；二、方差分析的假設(shè)

單因素方差分析：只針對(duì)一個(gè)因素進(jìn)行分析；

多因素方差分析：同時(shí)針對(duì)多個(gè)因素進(jìn)行分析。

水平：因素中的內(nèi)容（上例中飲料的四種顏色：無(wú)色、粉色、橘黃色、綠色）在上述假定條件下，判斷顏色對(duì)銷(xiāo)售量是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的四個(gè)正態(tài)總體的均值是否相等的問(wèn)題如果四個(gè)總體的均值相等，可以期望四個(gè)樣本的均值也會(huì)很接近四個(gè)樣本的均值越接近，我們推斷四個(gè)總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，我們推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分如果原假設(shè)成立，即H0:m1=m2=m3=m4四種顏色飲料銷(xiāo)售的均值都相等沒(méi)有系統(tǒng)誤差

這意味著每個(gè)樣本都來(lái)自均值為、差為2的同一正態(tài)總體

Xf(X)1

2

3

4

如果備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一個(gè)總體的均值是不同的有系統(tǒng)誤差這意味著四個(gè)樣本分別來(lái)自均值不同的四個(gè)正態(tài)總體Xf(X)3

1

2

4

二、單因素方差分析的步驟提出假設(shè)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)決策提出假設(shè)一般提法H0:m1=m2=…=

mk

(因素有k個(gè)水平）H1:m1，m2，…，mk不全相等對(duì)前面的例子H0:m1=m2=m3=

m4顏色對(duì)銷(xiāo)售量沒(méi)有影響H0:m1，m2，m3，m4不全相等顏色對(duì)銷(xiāo)售量有影響構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算水平的均值全部觀察值的總均值離差平方和均方(MS)構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總和除以觀察值的總個(gè)數(shù)計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(前例計(jì)算結(jié)果)表8-2四種顏色飲料的銷(xiāo)售量及均值超市(j)水平A(i)無(wú)色(A1)粉色(A2)橘黃色(A3)綠色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合計(jì)136.6147.8132.2157.3573.9水平均值觀察值個(gè)數(shù)x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5總均值x=28.695構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總離差平方和SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計(jì)算公式為

前例的計(jì)算結(jié)果：

SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2

=115.9295構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平項(xiàng)平方和SSA)各組平均值與總平均值的離差平方和反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱(chēng)組間平方和該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差計(jì)算公式為

前例的計(jì)算結(jié)果：SSA=76.8455構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA)

之間的關(guān)系SST=SSE+SSA構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個(gè)平方和的作用)

SST反映了全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；SSE反映了隨機(jī)誤差的大??；SSA反映了隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小如果原假設(shè)成立，即H1＝H2＝…＝Hk為真，則表明沒(méi)有系統(tǒng)誤差，組間平方和SSA除以自由度后的均方與組內(nèi)平方和SSE和除以自由度后的均方差異就不會(huì)太大；如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說(shuō)明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差判斷因素的水平是否對(duì)其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小為檢驗(yàn)這種差異，需要構(gòu)造一個(gè)用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)

SSA的均方也稱(chēng)組間方差，記為MSA，計(jì)算公式為

SSE的均方也稱(chēng)組內(nèi)方差，記為MSE，計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F)將MSA和MSE進(jìn)行對(duì)比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F當(dāng)H0為真時(shí)，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布，即三、雙因素方差分析

分析兩個(gè)因素(因素A和因素B)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響分別對(duì)兩個(gè)因素進(jìn)行檢驗(yàn)，分析是一個(gè)因素在起作用，還是兩個(gè)因素都起作用，還是兩個(gè)因素都不起作用如果A和B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷因素A和因素B對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱(chēng)為無(wú)交互作用的雙因素方差分析如果除了A和B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的單獨(dú)影響外，因素A和因素B的搭配還會(huì)對(duì)銷(xiāo)售量產(chǎn)生一種新的影響，這時(shí)的雙因素方差分析稱(chēng)為有交互作用的雙因素方差分析對(duì)于無(wú)交互作用的雙因素方差分析，其結(jié)果與對(duì)每個(gè)因素分別進(jìn)行單因素方差分析的結(jié)果相同雙因素方差分析中需假設(shè)兩個(gè)因素不交互作用，即各自獨(dú)立地發(fā)揮影響作用。

（一）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

雙因素方差分析雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是因素A的第i個(gè)水平下各觀察值的平均值是因素B的第j個(gè)水平下的各觀察值的均值是全部kr個(gè)樣本數(shù)據(jù)的總平均值雙因素方差分析的步驟提出假設(shè)對(duì)因素A提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=

…=mi=…=

mk

(mi為第i個(gè)水平的均值)H1:mi

(i=1,2,…,k)不全相等對(duì)因素B提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=

…=mj=…=

mr

(mj為第j個(gè)水平的均值)H1:mj

(j=1,2,…,r)不全相等構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算總離差平方和水平項(xiàng)平方和誤差項(xiàng)平方和均方構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總離差平方和SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算SSA、SSB和SSE)因素A的離差平方和SSA因素B的離差平方和SSB誤差項(xiàng)平方和SSE構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(各平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA和SSB)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)之間的關(guān)系SST=SSA+SSB+SSE

構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對(duì)離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱(chēng)為方差計(jì)算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度三個(gè)平方和的自由度分別是總離差平方和SST的自由度為kr-1因素A的離差平方和SSA的自由度為k-1因素B的離差平方和SSB的自由度為r-1隨機(jī)誤差平方和SSE的自由度為(k-1)×(r-1)

構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)因素A的均方，記為MSA，計(jì)算公式為因素B的均方，記為MSB，計(jì)算公式為隨機(jī)誤差項(xiàng)的均方，記為MSE，計(jì)算公式為構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F)為檢驗(yàn)因素A的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)因素B的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)決策

將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進(jìn)行比較，作出接受或拒絕原假設(shè)H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平在F分布表中查找相應(yīng)的臨界值F

若FAF，則拒絕原假設(shè)H0，表明均值之間的差異是顯著的，即所檢驗(yàn)的因素(A)對(duì)觀察值有顯著影響若FBF，則拒絕原假設(shè)H0，表明均值之間有顯著差異，即所檢驗(yàn)的因素(B)對(duì)觀察值有顯著影響雙因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來(lái)源平方和SS自由度df均方MSF值因素A因素B誤差總和SSASSBSSESSTk-1r-1(k-1)(r-1)kr-1MSAMSBMSEFAFB雙因素方差分析

不同品牌的彩電在各地區(qū)的銷(xiāo)售量數(shù)據(jù)品牌(因素A)銷(xiāo)售地區(qū)(因素B)B1B2B3B4B5A1A2A3A4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298【例】有四個(gè)品牌的彩電在五個(gè)地區(qū)銷(xiāo)售，為分析彩電的品牌(因素A)和銷(xiāo)售地區(qū)(因素B)對(duì)銷(xiāo)售量是否有影響，對(duì)每個(gè)品牌在各地區(qū)的銷(xiāo)售量取得以下數(shù)據(jù)，見(jiàn)下表。試分析品牌和銷(xiāo)售地區(qū)對(duì)彩電的銷(xiāo)售量是否有顯著影響？雙因素方差分析

（提出假設(shè)）對(duì)因素A提出的假設(shè)為H0:m1=m2=m3=m4

(品牌對(duì)銷(xiāo)售量沒(méi)有影響)H1:mi

(i=1,2,…,4)不全相等(品牌對(duì)銷(xiāo)售量有影響