統(tǒng)計學(xué)第七章方差分析(00001)課件

第七章方差分析一、方差分析的基本問題二、單因素方差分析三、雙因素方差分析

方差分析（AnalysisofVariance,ANOVA)是假設(shè)檢驗的一種延續(xù)與擴(kuò)展，它可以解決諸如多個均值是否相等等方面的檢驗問題，在因素分析中具有一定的優(yōu)勢。

例4：一個兒童食品制造商生產(chǎn)兒童麥片，該制造商認(rèn)為以下三種因素影響麥片味道：（1）麥片中小麥與玉米的比例；（2）甜味劑類型的選擇：糖、蜂蜜等；（3）制作時間的長短。

該例中，食品制造商通過生產(chǎn)出不同類型的麥片并邀請兒童進(jìn)行品嘗試驗，最后發(fā)現(xiàn)：

（1）麥片成份及甜味劑類型對麥片食味有很大影響；

（2）制作時間對麥片食味沒有影響。一、方差分析的基本問題因此，食品制造商可以對麥片成份及甜味劑類型給予充分的關(guān)注以生產(chǎn)更合兒童口味的麥片，而對制作時間不必太介意。

方差分析可以用來分析不同因素（如上例中小麥與玉米的比例、甜味劑類型、制作時間）對總體特征是否有顯著影響。所以叫方差分析，因為雖然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有差異時則需要借助于方差這個名字也表示：它是通過對數(shù)據(jù)誤差來源的分析判斷不同總體的均值是否相等。因此，進(jìn)行方差分析時，需要考察數(shù)據(jù)誤差的來源下表四種飲料銷售量情況樣本均值27.3229.5626.4431.46樣本方差2.672.143.311.66樣本標(biāo)準(zhǔn)差1.641.461.821.29四種顏色可以看作是四個總體其中，i(I=1,2,3,4)表示所有飲料（無色、粉紅、橘黃、綠色）銷售量之均值。樣本來自于一個相同的總體樣本來自于不同的總體

要知道顏色是否對飲料銷售有顯著影響，就是要知道四種顏色飲料銷售量的均值是否有顯著差異，即進(jìn)行下述假設(shè)檢驗：

H0:1=2=3=4H1:四個總體均值不全相等

1、相關(guān)術(shù)語

因素：是一個獨立的變量，是方差分析的研究對象（上例中的飲料顏色）；二、方差分析的假設(shè)

單因素方差分析：只針對一個因素進(jìn)行分析；

多因素方差分析：同時針對多個因素進(jìn)行分析。

水平：因素中的內(nèi)容（上例中飲料的四種顏色：無色、粉色、橘黃色、綠色）在上述假定條件下，判斷顏色對銷售量是否有顯著影響，實際上也就是檢驗具有同方差的四個正態(tài)總體的均值是否相等的問題如果四個總體的均值相等，可以期望四個樣本的均值也會很接近四個樣本的均值越接近，我們推斷四個總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，我們推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分如果原假設(shè)成立，即H0:m1=m2=m3=m4四種顏色飲料銷售的均值都相等沒有系統(tǒng)誤差

這意味著每個樣本都來自均值為、差為2的同一正態(tài)總體

Xf(X)1

2

3

4

如果備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一個總體的均值是不同的有系統(tǒng)誤差這意味著四個樣本分別來自均值不同的四個正態(tài)總體Xf(X)3

1

2

4

二、單因素方差分析的步驟提出假設(shè)構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計決策提出假設(shè)一般提法H0:m1=m2=…=

mk

(因素有k個水平）H1:m1，m2，…，mk不全相等對前面的例子H0:m1=m2=m3=

m4顏色對銷售量沒有影響H0:m1，m2，m3，m4不全相等顏色對銷售量有影響構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量為檢驗H0是否成立，需確定檢驗的統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量需要計算水平的均值全部觀察值的總均值離差平方和均方(MS)構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù)計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(前例計算結(jié)果)表8-2四種顏色飲料的銷售量及均值超市(j)水平A(i)無色(A1)粉色(A2)橘黃色(A3)綠色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合計136.6147.8132.2157.3573.9水平均值觀察值個數(shù)x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5總均值x=28.695構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算總離差平方和SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計算公式為

前例的計算結(jié)果：

SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2

=115.9295構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算水平項平方和SSA)各組平均值與總平均值的離差平方和反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方和該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差計算公式為

前例的計算結(jié)果：SSA=76.8455構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(三個平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST)、誤差項離差平方和(SSE)、水平項離差平方和(SSA)

之間的關(guān)系SST=SSE+SSA構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(三個平方和的作用)

SST反映了全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；SSE反映了隨機(jī)誤差的大??；SSA反映了隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小如果原假設(shè)成立，即H1＝H2＝…＝Hk為真，則表明沒有系統(tǒng)誤差，組間平方和SSA除以自由度后的均方與組內(nèi)平方和SSE和除以自由度后的均方差異就不會太大；如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差判斷因素的水平是否對其觀察值有影響，實際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小為檢驗這種差異，需要構(gòu)造一個用于檢驗的統(tǒng)計量構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)

SSA的均方也稱組間方差，記為MSA，計算公式為

SSE的均方也稱組內(nèi)方差，記為MSE，計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算檢驗的統(tǒng)計量F)將MSA和MSE進(jìn)行對比，即得到所需要的檢驗統(tǒng)計量F當(dāng)H0為真時，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布，即三、雙因素方差分析

分析兩個因素(因素A和因素B)對試驗結(jié)果的影響分別對兩個因素進(jìn)行檢驗，分析是一個因素在起作用，還是兩個因素都起作用，還是兩個因素都不起作用如果A和B對試驗結(jié)果的影響是相互獨立的，分別判斷因素A和因素B對試驗指標(biāo)的影響，這時的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析如果除了A和B對試驗結(jié)果的單獨影響外，因素A和因素B的搭配還會對銷售量產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析對于無交互作用的雙因素方差分析，其結(jié)果與對每個因素分別進(jìn)行單因素方差分析的結(jié)果相同雙因素方差分析中需假設(shè)兩個因素不交互作用，即各自獨立地發(fā)揮影響作用。

（一）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

雙因素方差分析雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是因素A的第i個水平下各觀察值的平均值是因素B的第j個水平下的各觀察值的均值是全部kr個樣本數(shù)據(jù)的總平均值雙因素方差分析的步驟提出假設(shè)對因素A提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=

…=mi=…=

mk

(mi為第i個水平的均值)H1:mi

(i=1,2,…,k)不全相等對因素B提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=

…=mj=…=

mr

(mj為第j個水平的均值)H1:mj

(j=1,2,…,r)不全相等構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量為檢驗H0是否成立，需確定檢驗的統(tǒng)計量構(gòu)造統(tǒng)計量需要計算總離差平方和水平項平方和誤差項平方和均方構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算總離差平方和SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算SSA、SSB和SSE)因素A的離差平方和SSA因素B的離差平方和SSB誤差項平方和SSE構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(各平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST)、水平項離差平方和(SSA和SSB)、誤差項離差平方和(SSE)之間的關(guān)系SST=SSA+SSB+SSE

構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差計算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度三個平方和的自由度分別是總離差平方和SST的自由度為kr-1因素A的離差平方和SSA的自由度為k-1因素B的離差平方和SSB的自由度為r-1隨機(jī)誤差平方和SSE的自由度為(k-1)×(r-1)

構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算均方MS)因素A的均方，記為MSA，計算公式為因素B的均方，記為MSB，計算公式為隨機(jī)誤差項的均方，記為MSE，計算公式為構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量

(計算檢驗的統(tǒng)計量F)為檢驗因素A的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計量為檢驗因素B的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計量統(tǒng)計決策

將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進(jìn)行比較，作出接受或拒絕原假設(shè)H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平在F分布表中查找相應(yīng)的臨界值F

若FAF，則拒絕原假設(shè)H0，表明均值之間的差異是顯著的，即所檢驗的因素(A)對觀察值有顯著影響若FBF，則拒絕原假設(shè)H0，表明均值之間有顯著差異，即所檢驗的因素(B)對觀察值有顯著影響雙因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來源平方和SS自由度df均方MSF值因素A因素B誤差總和SSASSBSSESSTk-1r-1(k-1)(r-1)kr-1MSAMSBMSEFAFB雙因素方差分析

不同品牌的彩電在各地區(qū)的銷售量數(shù)據(jù)品牌(因素A)銷售地區(qū)(因素B)B1B2B3B4B5A1A2A3A4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298【例】有四個品牌的彩電在五個地區(qū)銷售，為分析彩電的品牌(因素A)和銷售地區(qū)(因素B)對銷售量是否有影響，對每個品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù)，見下表。試分析品牌和銷售地區(qū)對彩電的銷售量是否有顯著影響？雙因素方差分析

（提出假設(shè)）對因素A提出的假設(shè)為H0:m1=m2=m3=m4

(品牌對銷售量沒有影響)H1:mi

(i=1,2,…,4)不全相等(品牌對銷售量有影響