對坐標(biāo)的曲面積分課件

對坐標(biāo)的曲面積分一、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)二、對坐標(biāo)的曲面積分的計算方法三、兩類曲面積分之間的聯(lián)系一、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)1.引例設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面的流量.說明:(1)穩(wěn)定流動.(2)不可壓縮流體.(3)有向曲面.觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)莫比烏斯帶(單側(cè)曲面的典型)?設(shè)為有向曲面,其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定解決方法:微積分思想大化小,常代變,近似和,取極限.(1)若是面積為S的有向平面,法向量:

流速為常向量:

則流量(2)若是一般的有向曲面,法向量:

則流量設(shè)

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),分,記作P,Q,R叫做被積函數(shù);叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2.定義.稱為Q在有向曲面上對

z,x的曲面積分;稱為R在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;說明:(1)流過有向曲面的流體的流量為(2)三個對坐標(biāo)的曲面積分之和的簡記形式：

如果S是分片光滑的有向曲面，則規(guī)定:函數(shù)在S上對坐標(biāo)的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對坐標(biāo)的曲面積分之和．(3)在分片光滑的曲面上對坐標(biāo)的曲面積分：(4)存在條件:二、對坐標(biāo)的曲面積分的計算方法定理:設(shè)光滑曲面是上的連續(xù)函數(shù),則其中如果取曲面∑的上側(cè),則二重積分號前帶正號;如果取曲面∑的下側(cè),則二重積分號前帶負(fù)號．證:說明:

?若則有(前正后負(fù))?若則有(右正左負(fù))順口溜:一投二代三定向abxyzOc除外，其余四片曲面在yoz面上的投影為0，因此：類似地可得：于是所求曲面積分為：解:例34.2計算其中Σ是球面1222=++zyx外側(cè)在0,033yx的部分.取下側(cè);取上側(cè);注:向量形式記有向曲面的單位法向量為令則(A在n上的投影)位于原點(diǎn)電量為q的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場為解:。求E通過球面:r=R外側(cè)的電通量.例34.3.設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計算解:例34.4.原式=設(shè)S是球面的外側(cè),計算解:利用輪換對稱性,有例34.6.2.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標(biāo))二重積分(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化當(dāng)時，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式.求取外側(cè).解:注意±號其中備用題例34.7.利用輪換對稱性莫比烏斯全名：奧古斯特·費(fèi)迪南德·莫比烏斯（AugustFerdiUsMobiUs，1790－1868年）是德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。1790年11月17日生于德國瑙姆堡附近的舒爾普福塔。1808年入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，后轉(zhuǎn)攻數(shù)學(xué)、物理和天文。1814年獲博士學(xué)位，1816年任副教授，1829年當(dāng)選為柏林科學(xué)院通訊院士，1844年任萊比錫大學(xué)天文與高等力學(xué)教授。1868年9月26日卒于萊比錫。

莫比烏斯的科學(xué)貢獻(xiàn)涉及天文和數(shù)學(xué)兩大領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)方面,首先是他對19世紀(jì)射影幾何學(xué)的影響。莫比烏斯發(fā)展了射影幾何學(xué)的代數(shù)方法。他在《重心計算》（1827年）一書中，創(chuàng)立了代數(shù)射影幾何的基本概念------齊次坐標(biāo)。在同一著作中他還揭示了對偶原理與配極之間的關(guān)系，并對交比概念給出了完善的處理。他較早對拓?fù)鋵W(xué)作深入的探討并給出恰當(dāng)?shù)奶岱?。此外，莫比烏斯對球面三角等其它?shù)學(xué)分支也有重要貢獻(xiàn)。

公元1858年，莫比烏斯發(fā)現(xiàn)：把一個扭轉(zhuǎn)180°后再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術(shù)般的性質(zhì)。

因?yàn)?，普通紙帶具有兩個面（即雙側(cè)曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側(cè)曲面），一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣！我們把這種由莫比烏斯發(fā)現(xiàn)的神奇的單面紙帶，稱為“莫比烏斯帶”。

“莫比烏斯帶”在生活和生產(chǎn)中已經(jīng)有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動力機(jī)械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了。如果把錄音機(jī)的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就只有一個面了。

莫比烏斯帶是一種拓?fù)鋱D形,什么是拓?fù)淠?？拓?fù)渌芯康氖菐缀螆D形的一些性質(zhì)，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點(diǎn)重合為同一個點(diǎn)，又不產(chǎn)生新點(diǎn)。換句話說，這種變換的條件是：在原來圖形的點(diǎn)與變換了圖形的點(diǎn)之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，并且鄰近的點(diǎn)還是鄰近的點(diǎn)。這樣的變換叫做拓?fù)渥儞Q。拓?fù)溆幸粋€形象說法