對坐標的曲面積分課件

對坐標的曲面積分一、對坐標的曲面積分的概念與性質二、對坐標的曲面積分的計算方法三、兩類曲面積分之間的聯系一、對坐標的曲面積分的概念與性質1.引例設穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面的流量.說明:(1)穩(wěn)定流動.(2)不可壓縮流體.(3)有向曲面.觀察以下曲面的側(假設曲面是光滑的)曲面分上側和下側曲面分內側和外側曲面分左側和右側莫比烏斯帶(單側曲面的典型)?設為有向曲面,其面元在xoy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似可規(guī)定解決方法:微積分思想大化小,常代變,近似和,取極限.(1)若是面積為S的有向平面,法向量:

流速為常向量:

則流量(2)若是一般的有向曲面,法向量:

則流量設

為光滑的有向曲面,在

上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,分,記作P,Q,R叫做被積函數;叫做積分曲面.或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場若對的任

則稱此極限為向量場A在有向曲面上對坐標的曲面積2.定義.稱為Q在有向曲面上對

z,x的曲面積分;稱為R在有向曲面上對

x,

y

的曲面積分.稱為P在有向曲面上對

y,z

的曲面積分;說明:(1)流過有向曲面的流體的流量為(2)三個對坐標的曲面積分之和的簡記形式：

如果S是分片光滑的有向曲面，則規(guī)定:函數在S上對坐標的曲面積分等于函數在各片光滑曲面上對坐標的曲面積分之和．(3)在分片光滑的曲面上對坐標的曲面積分：(4)存在條件:二、對坐標的曲面積分的計算方法定理:設光滑曲面是上的連續(xù)函數,則其中如果取曲面∑的上側,則二重積分號前帶正號;如果取曲面∑的下側,則二重積分號前帶負號．證:說明:

?若則有(前正后負)?若則有(右正左負)順口溜:一投二代三定向abxyzOc除外，其余四片曲面在yoz面上的投影為0，因此：類似地可得：于是所求曲面積分為：解:例34.2計算其中Σ是球面1222=++zyx外側在0,033yx的部分.取下側;取上側;注:向量形式記有向曲面的單位法向量為令則(A在n上的投影)位于原點電量為q的點電荷產生的電場為解:。求E通過球面:r=R外側的電通量.例34.3.設是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計算解:例34.4.原式=設S是球面的外側,計算解:利用輪換對稱性,有例34.6.2.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)二重積分(1)統一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(4)確定積分域把曲面積分域投影到相關坐標面注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉化當時，（上側取“+”,下側取“”)類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉化公式.求取外側.解:注意±號其中備用題例34.7.利用輪換對稱性莫比烏斯全名：奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯（AugustFerdiUsMobiUs，1790－1868年）是德國數學家、天文學家。1790年11月17日生于德國瑙姆堡附近的舒爾普福塔。1808年入萊比錫大學學習法律，后轉攻數學、物理和天文。1814年獲博士學位，1816年任副教授，1829年當選為柏林科學院通訊院士，1844年任萊比錫大學天文與高等力學教授。1868年9月26日卒于萊比錫。

莫比烏斯的科學貢獻涉及天文和數學兩大領域。在數學方面,首先是他對19世紀射影幾何學的影響。莫比烏斯發(fā)展了射影幾何學的代數方法。他在《重心計算》（1827年）一書中，創(chuàng)立了代數射影幾何的基本概念------齊次坐標。在同一著作中他還揭示了對偶原理與配極之間的關系，并對交比概念給出了完善的處理。他較早對拓撲學作深入的探討并給出恰當的提法。此外，莫比烏斯對球面三角等其它數學分支也有重要貢獻。

公元1858年，莫比烏斯發(fā)現：把一個扭轉180°后再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質。

因為，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以涂成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面），一只小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣！我們把這種由莫比烏斯發(fā)現的神奇的單面紙帶，稱為“莫比烏斯帶”。

“莫比烏斯帶”在生活和生產中已經有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了。如果把錄音機的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就只有一個面了。

莫比烏斯帶是一種拓撲圖形,什么是拓撲呢？拓撲所研究的是幾何圖形的一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產生新點。換句話說，這種變換的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在著一一對應的關系，并且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做拓撲變換。拓撲有一個形象說法