彈性地基梁理論圖文豐富

第3章彈性地基梁理論

本章內(nèi)容—彈性地基梁理論概述彈性地基梁的計算模型彈性地基梁的撓度曲線微分方程及其初參數(shù)解彈性地基梁短梁、長梁及剛性梁算例123451.概述定義：彈性地基梁，是指擱置在具有一定彈性地基上，各點與地基緊密相貼的梁。如鐵路枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁，等等。通過這種梁，將作用在它上面的荷載，分布到較大面積的地基上，既使承載能力較低的地基，能承受較大的荷載，又能使梁的變形減小，提高剛度降低內(nèi)力。地下建筑結(jié)構(gòu)的計算，與彈性地基梁理論有密切關(guān)系。地下建筑結(jié)構(gòu)彈性地基梁可以是平放的，也可以是豎放的，地基介質(zhì)可以是巖石、粘土等固體材料，也可以是水、油之類的液體介質(zhì)。彈性地基梁是超靜定梁，其計算有專門的一套計算理論。1.概述通過這種梁，將作用在它上面的荷載，分布到較大面積的地基上，既使承載能力較低的地基，能承受較大的荷載，又能使梁的變形減小，提高剛度降低內(nèi)力。地下建筑結(jié)構(gòu)的計算，與彈性地基梁理論有密切關(guān)系。地下建筑結(jié)構(gòu)彈性地基梁可以是平放的，也可以是豎放的，地基介質(zhì)可以是巖石、粘土等固體材料，也可以是水、油之類的液體介質(zhì)。彈性地基梁是超靜定梁，其計算有專門的一套計算理論。1.荷載種類和組合彈性地基梁與普通梁的區(qū)別：1.超靜定次數(shù)是無限還是有限，這是它們的一個主要區(qū)別。2.地基的變形是考慮還是略去，這是它們的另一個主要區(qū)別。2.彈性地基梁的計算模型計算模型分類：.由于地基梁擱置在地基上，梁上作用有荷載，地基梁在荷載作用下與地基一起產(chǎn)生沉陷，因而梁底與地基表面存在相互作用反力，的大小與地基沉降y有密切關(guān)系，很顯然，沉降越大，反力也越大，因此在彈性地基梁的計算理論中關(guān)鍵問題是如何確定地基反力與地基沉降之間的關(guān)系，或者說如何選取彈性地基的計算模型問題。局部彈性地基模型2.半無限體彈性地基模型

局部彈性地基模型1867年前后，溫克爾（E.Winkler）對地基提出如下假設(shè)：地基表面任一點的沉降與該點單位面積上所受的壓力成正比。即

式中,y為地基的沉陷，m；k為地基系數(shù)，，其物理意義為：使地基產(chǎn)生單位沉陷所需的壓強；p為單位面積上的壓力強度，。這個假設(shè)實際上是把地基模擬為剛性支座上一系列獨立的彈簧。當(dāng)?shù)鼗砻嫔夏骋稽c受壓力p時，由于彈簧是彼此獨立的，故只在該點局部產(chǎn)生沉陷y，而在其他地方不產(chǎn)生任何沉陷。因此，這種地基模型稱作局部彈性地基模型。

（3.1）

優(yōu)點：按溫克爾假設(shè)計算地基梁時，可以考慮梁本身的實際彈性變形，因此消除了反力直線分布假設(shè)中的缺點。局部彈性地基模型缺點：溫克爾假設(shè)本身的缺點是沒有反映地基的變形連續(xù)性，當(dāng)?shù)鼗砻嬖谀骋稽c承受壓力時，實際上不僅在該點局部產(chǎn)生沉陷，而且也在鄰近區(qū)域產(chǎn)生沉陷。由于沒有考慮地基的連續(xù)性，故溫克爾假設(shè)不能全面地反映地基梁的實際情況，特別對于密實厚土層地基和整體巖石地基，將會引起較大的誤差。但是，如果地基的上部為較薄的土層，下部為堅硬巖石，則地基情況與圖中的彈簧模型比較相近，這時將得出比較滿意的結(jié)果。2.半無限體彈性地基模型

為了消除溫克爾假設(shè)中沒有考慮地基連續(xù)性這個缺點，后來又提出了另一種假設(shè)：把地基看作一個均質(zhì)、連續(xù)、彈性的半無限體（所謂半無限體是指占據(jù)整個空間下半部的物體，即上表面是一個平面，并向四周和向下方無限延伸的物體）。優(yōu)點：缺點：一方面反映了地基的連續(xù)整體性，另一方面又從幾何上、物理上對地基進(jìn)行了簡化，固而可以把彈性力學(xué)中有關(guān)半無限彈性體這個古典問題的已知結(jié)論作為計算的基礎(chǔ)。當(dāng)然這個模型也不是完美無缺的。例如其中的彈性假設(shè)沒有反映土壤的非彈性性質(zhì)，均質(zhì)假設(shè)沒有反映土壤的不均勻性，半無限體的假設(shè)沒有反映地基的分層特點等。此外，這個模型在數(shù)學(xué)處理上比較復(fù)雜，因而在應(yīng)用上也受到一定的限制。本章所討論的彈性地基梁計算理論采用局部彈性地基模型。

3.彈性地基梁的撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解

基本假設(shè)：在彈性地基梁的計算理論中，除上述局部彈性地基模型假設(shè)外，還需作如下三個假設(shè)：（1）地基梁在外荷載作用下產(chǎn)生變形的過程中，梁底面與地基表面始終緊密相貼，即地基的沉陷或隆起與梁的撓度處處相等；（2）由于梁與地基間的摩擦力對計算結(jié)果影響不大，可以略去不計，因而，地基反力處處與接觸面相垂直；（3）地基梁的高跨比較小，符合平截面假設(shè)，因而可直接應(yīng)用材料力學(xué)中有關(guān)梁的變形及內(nèi)力計算結(jié)論。1.彈性地基基梁的撓撓度曲線線微分方方程式左圖所示示為局部部彈性地地基梁上上的長為為l、寬度為為b單位寬度度1的等截面面直梁，，在荷載載及及Q作用下，，梁和地地基的沉沉陷為，，梁梁與地基基之間的的反力為為。。在在局部部彈性地地基梁的的計算中中，通常常以沉陷陷函數(shù)作作為基本本未知量量，地基基梁在外外荷載、、Q作用下產(chǎn)產(chǎn)生變形形，最終終處于平平衡狀態(tài)態(tài)，選取取坐標(biāo)系系xoy，外荷載載，地基基反力，，梁截面面內(nèi)力及及變形正正負(fù)號規(guī)規(guī)定如右右圖所示示。1.彈性地基基梁的撓撓度曲線線微分方方程式為建立應(yīng)應(yīng)滿滿足的撓撓曲微分分方程，，在梁中中截取一一微段，，考察該該段的平平衡有：：得：得：化簡得：

將上式對對于x求導(dǎo)得：：略去二階階微量得得：（3.2）（3.3）（3.4）如果梁的的撓度已已知，則則梁任意意截面的的轉(zhuǎn)角θ，彎矩M，剪力Q可按材料料力學(xué)中中的公式式來計算算，即:1.彈性地基基梁的撓撓度曲線線微分方方程式此即為彈彈性地基基梁的撓撓曲微分分方程式式令，，若若地基基梁寬度度為b，則有2.對應(yīng)齊次次微分方方程的通通解上面推導(dǎo)導(dǎo)得彈性性地基梁梁的撓曲曲微分方方程式是是一個四四階常系系數(shù)線性性非齊次次微分方方程，令令式中，即得對對應(yīng)齊次次微分方方程：由微分方方程理論論知，上上述方程程的通解解由四個個線性無無關(guān)的特特解組合合而成。。為尋找找四個線線性無關(guān)關(guān)的特解解，令并代入上上式有：：或由復(fù)數(shù)開開方根公公式得：：是與梁和和地基的的彈性性性質(zhì)相關(guān)關(guān)的一個個綜合參參數(shù)，反反映了地地基梁與與地基的的相對剛剛度，對對地基梁梁的受力力特性和和變形有有重要影影響，通通常把稱為特征系數(shù)，稱為換算長度。（3.7）（3.8）（3.9）2.對應(yīng)齊次次微分方方程的通通解由上式（（3.8），分別別令時k=1,2,3時，即可可得四個個線性無無關(guān)的特特解，將將其進(jìn)行行組合并并引入四四個積分分常數(shù)，，即得齊齊次微分分方程式式（3.7）的通解；利用雙曲函數(shù)數(shù)關(guān)系：且令則有式中B1、B2、B3、及B4均為待定積分分常數(shù)式（3.10）和式（3.11）均為微分方方程（3.7）的通解，在不同的問題題中，有各自自不同的方便便之處。（3.10）（3.11）（一）初參數(shù)數(shù)法3.初參數(shù)解由式（3.11），再據(jù)式（（3.5）有（3.12）式（3.12）中積分常數(shù)B1、B2、B3、B4的確定是一個重要環(huán)節(jié)，梁在任一截面都有四個參數(shù)量，即撓度y、轉(zhuǎn)角、彎矩M、剪力Q、而初始截面（x=o）的四個參數(shù)、、、就叫做初參數(shù)。用初參數(shù)法計計算了彈性地地基梁的基本本思路是，把把四個積分常常數(shù)改用四個個初參數(shù)來表表示，這樣做做的好處是:使積分常數(shù)具具有明確的物物理意義;根據(jù)初參數(shù)的的物理意義來來尋求簡化計計算的途徑。。3.初參數(shù)解（二）用初參參數(shù)表示積分分常數(shù)如圖3.4所示，梁左端端的四個邊界界條件（初參參數(shù)）為（3.13）將上式代入式式（3.12），解出積分分常數(shù)得：（3.14）3.初參數(shù)解再將式（3.14）代入式（3.12），并注意，，則有（3.15）3.初參數(shù)解其中、、、、、及及稱為雙雙曲線三角函函數(shù)，它們之之間有如下微微分關(guān)系：式（3.15）即為用初參參數(shù)表示的齊齊次微分方程程的解，該式的一個顯顯著優(yōu)點是式式中每一項都都具有明確的的物理意義，，如式（3.15）中的第一式式中，表表示示當(dāng)原點有單單位撓度（其其他三個初參參數(shù)均為零））時梁的撓度度方程，表示原點有單單位轉(zhuǎn)角時梁梁的撓度方程程，等等；另一個顯著優(yōu)優(yōu)點是，在四個待定定常數(shù)、、、、、、中中有兩個參參數(shù)可由原點點端的兩個邊邊界條件直接接求出，另兩兩個待定初參參數(shù)由另一端端的邊界條件件來確定。這這樣就使確定定參數(shù)的工作作得到了簡化化。表3.1列出了實際工工程中常遇到到的支座形式式反荷載作用用下梁端參數(shù)數(shù)的值。3.初參數(shù)解3.初參數(shù)解式（3.7）等價于地基基梁僅在初參參數(shù)作用下的的撓曲微分方方程，式（3.6）等價于地基基梁既有初參參數(shù)作用，又又有外荷載作作用的撓曲微微分方程，其其特解項就是是僅在外荷載載作用下引起起的梁撓度的的附加項。下下面根據(jù)梁上上作用的各種種形式荷載分分別加以討論論。4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解（一）集中荷荷載作用的特特解項1、集中力作用用的特解項。。如圖3.5為一彈性地基基梁，O端作用有初參參數(shù)、、、、、、，，A點有集中力p。設(shè)y1為OA段的撓度表達(dá)達(dá)式，y2為AB段的撓度表達(dá)達(dá)式，由梁上上無分布荷載載作用，故OA和AB段的撓曲微分分方程分別為為4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解其中式（3.16a）的解可用梁梁端初參數(shù)來來表示，即（3.17）式（3.16b）的解可用初初參數(shù)作用下下的解y1與集中力pi單獨作用下引引起的附加項項疊加，即將式（3.18）代入式（3.16b），并注意式式（3.16a）有（3.19）比較式（3.16a）和式（3.16b）知，式（3.19）解的形式與與式

（3.17）相同，不同同之處是將x換為，，四個初初參數(shù)應(yīng)解釋釋為處處的突突變撓度，，轉(zhuǎn)角，，彎矩矩，，剪力，，故有（3.20）4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解由A點的變形連續(xù)續(xù)條件和受力力情況有代入式（3.20）,并據(jù)式（3.5）得（3.21）當(dāng)時時，取特特解項為零。。4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解2、集中力偶mi作用的特解項項。由pi作用下特解項項的推導(dǎo)結(jié)果果可知，撓度度附加項形式式與初參數(shù)Q。作用下的撓撓度相同，只只是坐標(biāo)起點點與符號不同同。同理，在在集中力偶mi作用下?lián)隙雀礁郊禹椗c初參參數(shù)M。作用下?lián)隙榷纫簿哂邢嗤男问剑缛鐖D3.6所示，Mo=Mi，故有（3.22）當(dāng)時時，取取特解項為零零。4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解（二）分布荷荷載作用下的的特解項分布荷載可分分解成多個集集中力，按集集中力求特解解項，為此，，在x截面左邊，離離端點的距離離為u處取微段du，微段上荷載載為qdu，此微荷載在在它右邊的截截面x處引起的撓度度特解項為（（如圖3.7）而x截面以左所有有荷載引起的的特解項為（3-23）下面討論分布布荷載的幾種種特殊情況。。4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解1、均布荷載如圖3.7，荷載均布于于ab段，對于oa段顯然沒有附附加項，當(dāng)時時，，積分限是，，由式式（3.23）及式（3.5）有（3.24）當(dāng)時時，積積分限是（xa、xb），由式（3.23）及式(3.5)有（3.25）4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解當(dāng)荷載滿跨均均布時，積分分限是（o、x），故有（3.26）2、三角形分布布荷載如圖3.8所示，三角形形荷載分布于于ab段，有(3.27)當(dāng)時時，積分分限為,由式（3.27）及式

（3.5）得4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解（3.28）當(dāng)時，積分限是，同理得（3.29）當(dāng)三角形荷載載布滿全跨時時，積分限是是（o、x）有（3.30）3、梁全跨布滿滿梯形荷載的的特解項。如圖3.9所示的地基梁梁在梯形荷載載作用下的特特解項只須把把式(3.26)與式（3.30）兩式疊加即即可。4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解（三）彈性地地基梁在、、、、、、、、、、、、共同同作用下?lián)锨⒎址匠痰牡耐ń馊鐖D3.10所示的彈性地地基梁，同時時作用有集中中力、力偶、、均布載、三三角載時，綜綜合各種荷載載的影響，就就可得出撓度度的一般公式式，進(jìn)行微分分運算后，還還可得出轉(zhuǎn)角角、彎矩及剪剪力的一般公公式，即4.彈性地基梁撓撓曲微分方程程的特解

式（3.31）中，當(dāng)，時，pi、mi兩項取值為零。（3.31）4.彈性地基短梁梁、長梁及剛剛性梁上節(jié)的結(jié)果，，能直接用于于計算各種幾幾何尺寸及彈彈性特征值的的彈性地基等等截面直梁。。在工程實踐踐中，經(jīng)計算算比較及分析析表明，可根根據(jù)不同的換換算長度，，將地基基梁進(jìn)行分類類，然后采用用不同的方法法進(jìn)行簡化。。通常將彈性性地基梁分為為三種類型。。彈性地基梁的的分類短梁（又稱有限長長梁）（圖3.11（a）），當(dāng)彈性性地基梁的換換算長度時時，屬于短梁梁，它是彈性性地基梁的一一般情況。長梁：無限長梁（（圖3.11（b））、半無限限長梁（圖3.11（c））。當(dāng)換算算長度時時，屬于長長梁；若荷載載作用點距梁梁兩端的換算算長度均時時，可忽略該該荷載對梁端端的影響，這這類梁稱為無無限長梁；若若荷載作用點點僅距梁一端端的換算長度度時時，可忽忽略該荷載對對這一端的影影響，而對另另一端的影響響不能忽略，，這類梁稱為為半無限長梁梁，無限長梁梁可化為兩上上半無限長梁梁。剛性梁（3.11（b）），當(dāng)換算算長度時時，屬于于剛性梁。這這時，可認(rèn)為為梁是絕對剛剛性的，即EI→∞或2→0。長梁、短梁和和剛性梁的劃劃分標(biāo)準(zhǔn)主要要依據(jù)梁的實實際長度與梁梁和地基的相相對剛度之乘乘積，劃分的的目的是為了了簡化計算。。事實上，長長梁和剛性梁梁均可按上一一節(jié)介紹的公公式進(jìn)行計算算，但長梁、、剛性梁與短短梁相比有其其自身的一些些特點，較短短梁相比，計計算可以進(jìn)一一步簡化。1.長梁的計算（一）無限長長梁作用集中中力Pi的計算如圖3.12所示，梁上作作用有集中力力Pi，由于力作用用點至兩端點點均滿足，，故故把梁看作無無限長梁。又又因梁上分布布荷載，，為便于分分析，現(xiàn)采用用梁撓曲方程程齊次解式的的形式，即由條件；；又由對稱條條件知：考考慮地基反力力與外載Pi的平衡條件：：式（3.10）可寫為（3.32）最后可得無限限長梁右半部部分的撓度、、轉(zhuǎn)角、變矩矩及剪力：1.長梁的計算（3.33）其中對于梁的左半半部分，只需需將式（3.33）中Q和改變符號即即可。（二）無限長長梁在集中力力偶mi作用下的計算算如圖3.13(a)所示無限長梁梁，作和集中中力偶，盡管mi作用點并不一定在梁的對稱截面上，但只要mi作用點到兩端滿足，則mi作用點，就可看作是梁的對稱點，因而可把梁分為兩根半無限長梁（圖3.13(b)、（c）)。梁對稱截面上的反對稱條件為代入式（3.10）得A1=A2=A3=0及，，最后得無限限長梁右半部部分的變形及及內(nèi)力為：（3.34）對于左半部分分，只需將上上式中y與M變號即可。（二）無限長長梁在集中力力偶mi作用下的計算算（三）半無限限長梁作用初初參數(shù)的計算算如圖（3.14）所示的半無無限長梁，梁梁端作用有初參數(shù)，因因，，故可借借助撓曲方程程齊次解的結(jié)結(jié)果，為了方方便分析，采采用式（3.11）的形式：由代代入入上式得故有B1=-B3，B2=-B4再由得最后得（3.35）如梁端作用有有初參數(shù)、、，，則可得、、與與、、之之間的關(guān)系為為（三）半無限限長梁作用初初參數(shù)的計算算（四）半無限限長梁在梯形形荷載作用下下的計算如圖3.15所示的半無限限長梁，作用用分布荷載q、△q，共撓曲方程程為式（3.7）