《數(shù)學(xué)分析（第4版）》09-4定積分的性質(zhì)_第1頁(yè)
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本節(jié)將討論定積分的性質(zhì),包括定積分的線性性質(zhì)、關(guān)于積分區(qū)間的可加性、積分不等式與積分中值定理,這些性質(zhì)為定積分研究和計(jì)算提供了新的工具.§4定積分的性質(zhì)數(shù)學(xué)分析第九章定積分一、定積分的性質(zhì)二、積分中值定理*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容性質(zhì)1證定積分的性質(zhì)從而則kf在[a,b]若

f在

[a,b]上可積，k為常數(shù),后退前進(jìn)目錄退出定積分的性質(zhì)因此定積分的性質(zhì)性質(zhì)2且證從而定積分的性質(zhì)因此,f±g在[a,b]上可積,且定積分的性質(zhì)性質(zhì)3證并而成的新分割),則定積分的性質(zhì)于是因此fg在

[a,b]上可積.定積分的性質(zhì)性質(zhì)4f在[a,b]上可積的充要條件是:證(充分性)若

f在

[a,c]與

[c,b]上可積,則定積分的性質(zhì)(必要性)因此,f在[a,b]上可積.在T上加入分點(diǎn)

c得到新的分割由§3習(xí)題第1題,知道定積分的性質(zhì)因此，f在

[a,c]與

[c,b]上都可積.若

f在

[a,b]上可積,由必要性證明,若分割T使點(diǎn)定積分的性質(zhì)注性質(zhì)5證定積分的性質(zhì)因此推論證即定積分的性質(zhì)性質(zhì)6若

f在

[a,b]上可積,則

|

f|在

[a,b]上也可積,證且定積分的性質(zhì)因此證得定積分的性質(zhì)例如函數(shù)注1一般不能推得上連續(xù)，則可得到嚴(yán)格不等式定積分的性質(zhì)例1證由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性質(zhì),由此推得定積分的性質(zhì)即定積分的性質(zhì)此結(jié)論,由本章總練習(xí)題11證明.注3注2定積分的性質(zhì)定理9.7（積分第一中值定理）積分中值定理證因

f在[a,b]上連續(xù)，故存在最大值M和最小值m.

由于積分中值定理注1內(nèi)取到,由連續(xù)函數(shù)的介值性定理，則由連續(xù)函數(shù)的介值定理,必恒有事實(shí)上若積分中值定理因此積分中值定理注2積分第一中值定理的幾何意義如下圖所示:積分中值定理例2

解利用區(qū)間可加性，積分中值定理例3

解

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