三角形軸對(duì)稱(chēng)角平分線(xiàn)和垂直平分線(xiàn)應(yīng)用集錦

角分和段垂直分知點(diǎn)解定理在角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；定理2：到一個(gè)角的兩距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。角平分線(xiàn)另一種定義：角的平分線(xiàn)是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)。那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)叫做另一個(gè)的逆命題。如果一個(gè)定理的逆命題是經(jīng)過(guò)證明的真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫互逆定理。其中一個(gè)叫另一個(gè)的逆定理，雖然一個(gè)命題都有逆命題，但一個(gè)定理并不都有逆定理。定理：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)和這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理：和一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。

線(xiàn)段的垂直分線(xiàn)另一種義：線(xiàn)段的直平分線(xiàn)可看作和線(xiàn)段個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有的集合。

例分

第階例1.已知如圖CD⊥AB于D，BE⊥AC于，且CD、BE相交O點(diǎn)求證：）當(dāng)1=2時(shí)，OB=OC）當(dāng)OB=OC時(shí)，1=2點(diǎn)：要證OB=OC，須證Rt△CEO與Rt全等由對(duì)頂角等與1=2的條件，即得證，反之成立。此是證明互逆命題。答：證明（）1=2，OE，OD∴OE=OD（角分線(xiàn)上的點(diǎn)角兩邊距離相等）∴OB=OC在△OEC與△ODB中∴△OEC≌△ODB）（2∵OE⊥AC，OD⊥AB∴△OEC≌△ODB（AAS）∴OEC=∴OE=OD

在△OEC與△ODB中說(shuō)：利用平分性質(zhì)定或判定定理，一定要注意垂直的條。例寫(xiě)出命題“角三角形兩銳角互余”逆命題，并斷它的真假點(diǎn)：在判逆命題時(shí)，明確互余的角必是銳角，另外在未一個(gè)三角形出判斷之前般不稱(chēng)“銳”。答：解：命題是：有個(gè)角互余的角形是直角三角形。說(shuō)：在寫(xiě)個(gè)命題的逆題時(shí)，并不將原命題的題設(shè)和結(jié)論單地互換，注意命題本的邏輯性。

例3.已知：如圖1=2，BC⊥AC于C⊥AD于D，連結(jié)CDABE.求證AB垂平分CD點(diǎn)：要證結(jié)論“垂直分”，實(shí)際（1）AB⊥CD（2）CE=ED角相等和垂兩個(gè)條件寫(xiě)后，再使用平分線(xiàn)性質(zhì)理，得BC=BD，利用△CBE與△DBE全等得證。答：證明：∵1=2，BC⊥AC，BD⊥AD∴BC=BD（角分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離等）∵1+3=2+4=90°∴3=4（等角的余角等）在△CBE與△DBE中

∴△CBE≌△DBE（SAS∴CE=DE，CEB=DEB∵C，E，D三在同一直線(xiàn)∴AB⊥CD于E∴AB垂直平分CD說(shuō)：用了平分線(xiàn)性質(zhì)理，可代替全等三角形得到的結(jié)論簡(jiǎn)化證明過(guò)。

第階例已知：如圖AB=CD，AD=BC，AO=OC過(guò)點(diǎn)O任一直線(xiàn)交AB于，交CD于F

求證：（1）AD//BC（2D+（）BE=DF點(diǎn)：要AD//BC，須證3=4由已知件，可證得ADC≌得角等線(xiàn)段等的結(jié)論后再證△EOA與△FOC全等，再線(xiàn)段和、差證明：（1在△ADC與△CBA中∵AD//BC∴B+DAB=180°∵△ADC≌△CBA（SSS）∴3=4∴AD//BC

（2∵△ADC≌△CBA∴B=D∴D+DAB=180°∵DC=ABCF=AE∴AB-AE=CD-CF（3∵△ADC△CBA∴1=2在△FOC與△EOA中

即BE=DF∴△FOC≌△EOA（ASA）∴CF=AE

說(shuō)：（1）利用三形全等可以明線(xiàn)段相等角相等（或補(bǔ)），也可證明兩直線(xiàn)位置關(guān)系（平行或垂）（2）如果EF分別與AD延長(zhǎng)線(xiàn)交，結(jié)論如呢？如果EF⊥AB，結(jié)論又如何呢？試一試，EF過(guò)O點(diǎn)動(dòng)起來(lái)觀(guān)察其特殊位置關(guān)系，看有什么結(jié)論？例求證：有兩邊其中一邊上高對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)銳角三形全等。點(diǎn)：對(duì)命題證明，先依題意，出符合條的銳角三角，再根據(jù)圖，寫(xiě)出已知求證，利用等三角形知識(shí)進(jìn)行證明已知：如圖在銳角△ABC與△’B’C’中，’B，BC=B’C’，AD⊥BC于，A’D’⊥B’C’于D，AD=A’D’求證：△ABC≌△A’B’C’證明：在Rt△ABD與Rt△A’B’D中在△ABC與A’B’C’中

∴Rt△ABD≌Rt△A’D’（HL）∴B=B

∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）說(shuō)：（1）此類(lèi)命中的兩個(gè)三形，在畫(huà)圖，一般不具備特殊的位關(guān)系，證明在獨(dú)立的兩三角形間進(jìn)。（2）命題明是個(gè)難點(diǎn)要加強(qiáng)文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)，言的轉(zhuǎn)化訓(xùn)。例3.已知：如AD為△的平分線(xiàn)于E，DF⊥AB于F，EF交AD于M,求證：MF=ME點(diǎn)：要證MF=ME，要證所在三角形全等由AD是角分線(xiàn)條件可得DE=DF，3=4，則這個(gè)結(jié)論恰巧全等創(chuàng)造了極好的條件答：證明：∵AD為△ABC的角平分線(xiàn)

，在Rt△AFDRt△AED中DE⊥AC，DF⊥AB1+3=4=90°∴DE=DF

∴3=4

1=2在△FDM與△EDM中∴△FDM△EDM∴MF=ME說(shuō)：在知條件中，角平分線(xiàn)，以在角平線(xiàn)上任取一向兩邊作垂，構(gòu)造全等角形。第階例已知：如圖，正方形ABCD中，E對(duì)角線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE交AC于F，G垂足。

求證：（1）△CDF≌△DAE）EF//AB點(diǎn)撥△CDF與△DAE中知正方形件可得到DC=ADDCF=ADE=45°須再證一邊一角等，由BD⊥AC⊥AE，出1=2則CDG=證明：（1）∵四形ABCD正方形（2由△CDF≌△DAE得∴DC=DA∵AC與BD為角線(xiàn)∴3=ADE=45°4=5=45°AC⊥BD∵DG⊥AE∴在Rt△DFO與Rt△AFG1=2（等的余角相等

CF=DE∵AC，BD交于OABCD是正形∴DO=CO，DO⊥CO∴OE=OF△OFE等腰直角三形∵△OAB是等腰直角三角形∴OEF=OBA=45°

∴CDF=DAE∴EF//AB∴△CDF△DAE）說(shuō)：在較復(fù)雜的形中，注意殊四邊形，角形所隱含條件，如正形的對(duì)角線(xiàn)具有的性質(zhì)平行四邊形邊，角，梯的中位線(xiàn)，角，等邊三形的邊與角等都具有特性質(zhì)，結(jié)合目中的條件行選擇性應(yīng)。例已知：如圖△ABC中，ACB=90°⊥AB于D，ABC的平分線(xiàn)交于G，

交AC于E，GF//AB交AC于F求證AF=CG點(diǎn)：AF不在某個(gè)角形中，所要借助于它等量來(lái)證明。由1=2，BG是公共邊，以構(gòu)造與△CGB全等的三角形所以過(guò)G作GH//AF就在必行。答：證：過(guò)G作GH//AF交ABH∵FG//AB∴四邊形是平四邊形∴AF=HG，A=

∵ACB=90°，CD⊥AB∴3=A=4∵BE是角平分線(xiàn)∴1=2∴△BCG≌△BHG）∴CG=GH=AF∴AF=CG說(shuō)：把線(xiàn)用平行線(xiàn)轉(zhuǎn)到其它三角中，借助于中介量證明段相等，還以在長(zhǎng)線(xiàn)段截取某線(xiàn)段已知線(xiàn)段等例如圖，在梯ABCD，AD//BC，E，F(xiàn)分是BD，AC的中點(diǎn)，BD平分ABC求證：）AE⊥BD（2）EF=（BC-AB）

點(diǎn)：在1）中，只須證△ABE與△ADE全等，在（2中，把延長(zhǎng)，構(gòu)造△ADE△GBE全等，得AD=BG，AB和等量AD轉(zhuǎn)移到上。答：證明1）∵AD//BC（2）延長(zhǎng)AE交BC于G∴2=3

可證△AED≌△GEB（ASA∴AB=AD∴AD=BG=AB∵E是BD的中點(diǎn)∴BE=DE

∵EF是△AGC的位線(xiàn)∴EF=GC∵1=2=3AE是公共邊∴△AEB≌△AED∴AEB=AED

∵GC=BC-BG=BC-AD=BC-AB∴EF=（BC-AB）∴AEB=90°∴AE⊥BD

說(shuō)：從直觀(guān)看，圖形不完善，可通作輔助線(xiàn)先善圖形，如把AE延長(zhǎng)后沒(méi)有破壞原形的完整性，又構(gòu)造了等形和圖形有的對(duì)稱(chēng)性。例精例1.已知如圖在ΔABC中AD是∠BAC的平線(xiàn)，DE⊥AB于E，DFAC于F，證：AD⊥EF。分析：欲證AD

⊥EF

，就要證∠AOE=AOF=

∠

°。所以要慮證ΔAEO≌ΔAFO。由題條件可知ΔAEO，ΔAFO已有一邊（公邊）一角對(duì)相等，只要出AE=AF問(wèn)就解決了，以需先證明≌。證：是∠BAC的分線(xiàn)，，DF⊥AC（已）∴DE=DF

（角平分線(xiàn)的點(diǎn)到這個(gè)的兩邊距離等）在和RtΔAFD中∴RtΔAEDRtΔAFD(HL),

∴AE=AF(等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)在ΔAEOΔAFO

∴ΔAEO≌ΔAFO,∴∠∠AOF(

全等三角形應(yīng)角相等)∴∠AOE=

∠

°，∴AD⊥EF

（垂直定義。例寫(xiě)出下列定的逆命題，并判斷真假(1)同角相等，直線(xiàn)平行。(2)如x=3，那么x2=9.(3)如ΔABC是直三角形，那當(dāng)每個(gè)內(nèi)角一個(gè)對(duì)應(yīng)外時(shí)，ΔABC的三個(gè)角中只有兩鈍角。(4)如ΔABCΔA'B'C'，那么BC=B'C',AC=A'C',

∠ABC=∠A'B'C'。解：(1)的命題是：直線(xiàn)平行，位角相等，命題。(2)的命題是：2=9,則x=3。是一個(gè)命題?！?-3)

=9,

∴

或x=-3.(3)的命題是：果ΔABC的每個(gè)內(nèi)角取個(gè)對(duì)應(yīng)外角，若三個(gè)外中只有兩個(gè)角，那么ΔABC是直角角形。

它是一個(gè)假題，因?yàn)棣BC還可能鈍角三角形(4)的命題：如在ΔABC和ΔA'B'C'，BC=B'C'，AC=A'C'，∠ABC=∠A'B'C'，那么Δ≌ΔA'B'C'。這是一個(gè)假題，因?yàn)橛羞吋捌渲幸坏膶?duì)角對(duì)應(yīng)等的兩個(gè)三形不一定全等。例已知：圖，M，N分別在∠的兩邊，求作一點(diǎn)，使點(diǎn)到M，N兩點(diǎn)的距離相等且到∠AOB兩邊的離相等。作法：1、連結(jié)MN，線(xiàn)段MN垂直平線(xiàn)CD2、作∠AOB的平分OE，交CD于P，點(diǎn)P即為所。例在等腰直角角形ABC中，已知AB=AC，B的平線(xiàn)交ACD。求證：BC=AC+AD

分：圖：BD為∠ABC

的平分線(xiàn)，

⊥AB，利用角平分的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化方法是作DE垂直于E則有AD=DE，容易得到DE=CE，AB=BE。證明：過(guò)DDE垂直BCE，∵

為∠ABC

的平分線(xiàn)，A=90°∴AD=DE（角平分線(xiàn)的質(zhì)）在Rt和RtΔEBD中，∴RtΔABDRtΔEBD（HL）∴AB=EB∵ΔABC等腰直角角形（已知，∴∠C=45

°

DE垂直BC于E，∴∠

°，∴∠C=∠EDC=45

°，∴DE=EC等腰三角形性質(zhì)）∴BC=BE+CE=AB+DE=AC+AD說(shuō)：種方法是利角平分線(xiàn)的質(zhì)作DEBC，實(shí)際上是長(zhǎng)的線(xiàn)段BC上，作出了BE=AB=AC，以只要證明AD=EC就以證明結(jié)。相應(yīng)的，可以將線(xiàn)段AB補(bǔ)長(zhǎng)，方法如。方法二：如圖，延長(zhǎng)BA到M，使得AM=AD，接DM。證提：只要明三角形BDM和三角BDC全等即。（容易證∠∠C=45

°）例已知：如圖∠∠2

，BC=BD求證：AC=AD。分析：注意利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，連結(jié)CD，只證明直線(xiàn)AB是線(xiàn)段CD的垂直分線(xiàn)。

證明：連結(jié)CDAB于點(diǎn)E，∵BC=BD∠∠

，∴

∴是等ΔCBD頂角平分線(xiàn)（三角角平分線(xiàn)定）垂直平分CD（等三角形頂平分線(xiàn)平分垂直底邊）∴直線(xiàn)AE是線(xiàn)段CD的垂直平分線(xiàn)又∵點(diǎn)A在直線(xiàn)AE上∴AC=AD（線(xiàn)段直平分線(xiàn)上點(diǎn)到這條線(xiàn)兩端點(diǎn)距相等。）說(shuō)：可以證明ΔCBA和全。小結(jié)：主要內(nèi)容是平分線(xiàn)的性定理和它的定理以及線(xiàn)垂直平分線(xiàn)性質(zhì)定理及其逆定理能夠利用它證明兩個(gè)角等或兩條線(xiàn)相等對(duì)于原命題逆命題的關(guān)系，要能說(shuō)題設(shè)和結(jié)論比較簡(jiǎn)單的題的逆命題同練：一、寫(xiě)出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）對(duì)頂角相等；

（2）兩直線(xiàn)平行，位角相等。（3）如果a=-b,么a|=|b|。（4）若a·b=0,則二、填空題在等腰中AB=ACBAC=120

°的垂平分線(xiàn)交BC于DDC=6厘米∠DAC=_____,BC=_____,

點(diǎn)D到AB的距離______D到AC的距離為_(kāi)____。三、已知如圖，在Rt中，∠C=90°，AB垂直平線(xiàn)交BC于D，∠CAD∠DAB=12求∠B的度數(shù)。四、如圖所，已知，三形ABC中，AB>AC,P在A(yíng)BC的角平線(xiàn)AD上。求：AB-AC>BP-PC.五、如圖：BF

⊥AC，CE

⊥AB，CE、BF交于D且BD=CD。求證：∠BAC

的平分線(xiàn)上

六、如圖，在Rt中，∠C=90

°，AC=BC是∠BAC

的平分線(xiàn)，DE

⊥AB，垂足為E。求：ΔDBE的長(zhǎng)等于A(yíng)B。七、在中已知AB的直平分線(xiàn)交AC于E，ΔABCΔBEC的周長(zhǎng)別為24厘米和14厘米，求AB長(zhǎng)。答案：一、1.若兩個(gè)相等，則這個(gè)角是對(duì)頂，假命題。2．同位角相等，直線(xiàn)平行真命題。3．如果|a|=|b|，那么a=-b，假命。4．若a=0,ab=0真命。二、9cm,1.5cm,3cm

三、∠

°四、提示：AB上取AE=AC，ΔBEP中，BP-PE<BE.五、提示：RtΔBDE

≌

ΔCDF，得DE=DF。六、提示：DE=CD可證ΔACD≌ΔAED，∴AC=AEΔDBE周長(zhǎng)=DE+EB+BD=CD+BD+EB=BC+BE=AC+BE=AE+EB=AB。七、提示：如圖，連接BE，BE=AE，AD=BD，∴三角形BEC的周長(zhǎng)于BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC，AB=24-14=10（cm

專(zhuān)輔角分的用平線(xiàn)應(yīng)。幾何題中，常出現(xiàn)“已角的平分線(xiàn)這一條件。個(gè)條件一般下面幾個(gè)方面的應(yīng)用：（1）利用“角的平線(xiàn)上的點(diǎn)到個(gè)角的兩距離相等”性質(zhì)，證明條線(xiàn)段相等（2）利用角是軸對(duì)圖形，構(gòu)造等三角形（3）構(gòu)造等腰三角。應(yīng)用舉例：

用角分的義例1.圖，已知AB=AC，AD//BC求證AD平分∠證明：因AB=AC，故∠B=∠C又因AD//BC，∠1=∠B，∠2=∠C，

。故∠∠2

，即AD分∠EAC

。用等三形線(xiàn)一例2.方形ABCD中，CD的中，E是BC邊上的一，且AE=DC+CE，證：AF平∠DAE。證明：連結(jié)并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，則ΔFDG≌ΔFCE，故CE=DG，EF=GF，是AG=AD+DG=DC+CE=AE。又因EF=GF，故AF是等腰三形的底邊上中線(xiàn)，于是平分∠。

用定定理：到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)的平分線(xiàn)上。例3.如圖已知ΔABC的兩個(gè)外角∠、∠NCA的分線(xiàn)相交于P，求證點(diǎn)P在∠B的平分線(xiàn)上。證明：過(guò)P作PD

⊥AB，PE

⊥AC，PF

⊥BC，垂足分別是D、F，因P在∠MAC

的平分線(xiàn)上故PD=PE。又因P在∠ACN平分線(xiàn)上故PE=PF，是PD=PF，故點(diǎn)P在∠B

的平分線(xiàn)上4.和平線(xiàn)合用容易到等線(xiàn)基本圖形：

P是∠CAB

的平分線(xiàn)上點(diǎn)，PD

∥AB，則有∠1=∠2=∠3

，所以AD=DP。例4.圖，ΔABC中，∠B

的平分線(xiàn)與C

外角的平分交于D，過(guò)D作BC的平行線(xiàn)交AB、AC于E、F，求證EF=BE-CF。分析：由BD平分∠ABC，ED

∥BC，不難得出BE=DE。要證EF=BE-CF，就轉(zhuǎn)為要證EF=DE-CF。面要證FD=FC，即證∠FCD=FDC

。由CD分∠ACG

∥BC，很容易得出FCD=∠FDC

，從而問(wèn)題證。用角分的稱(chēng)。例5.圖，已知在ΔABC中，AB>AC，ADΔABC的角平分，P是AD上點(diǎn)，求證AB-AC>PB-PC。

分析：證明等關(guān)系，一要把所證明有關(guān)線(xiàn)段放一個(gè)三角形。通過(guò)角平分線(xiàn)這一條可以構(gòu)造全三角形：在A(yíng)B上截取AC'=AC，則有Δ≌，AC'=AC,PC'=PC。在ΔBPC'，BC'+C'P>PB,即AB-AC'>PB-PC'，從而得出AB-AC>PB-PC中典1．（云南昆明）圖，在ΔABC中AB=AC，DE是AB垂直平分，的周長(zhǎng)14，BC=6，則AB的長(zhǎng)_________?？迹褐逼椒志€(xiàn)的質(zhì)評(píng)析：因?yàn)镈E是AB的中垂線(xiàn)可知AE=BE，ΔBCE的周長(zhǎng)為14，BC=6所以BE+EC=8，而B(niǎo)E+EC=AE+EC=AC=AB=8。真題專(zhuān)練1．（安徽?。┰贏(yíng)BC中，∠A=50°，AB=AC，AB的直平分線(xiàn)DE交于D，∠DBC的度數(shù)是________.答：1、15°

練習(xí)題1.選擇（1在下列各組件中，能斷△ABC≌△A’B’C的是（）。A.B.C.D.（2下列命題中正確的命是（）A.一邊等的兩個(gè)直三角形全等B.斜邊等的兩個(gè)直三角形全等C.兩條角邊對(duì)應(yīng)相的兩直角三形全等D.兩個(gè)腰直角三角全等（3如圖，ABCD是正形，P是BC上一點(diǎn)，延