華電復(fù)習(xí)25-29次課

第七章非線性系統(tǒng)分析第一節(jié)概述第二節(jié)典型本質(zhì)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)第三節(jié)用描述函數(shù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性第四節(jié)相平面圖第五節(jié)相平面分析法第一節(jié)概述研究非線性系統(tǒng)的重要性非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)控制系統(tǒng)中常見(jiàn)非線性的類型非線性系統(tǒng)的分析方法非線性系統(tǒng)的主要研究?jī)?nèi)容研究非線性系統(tǒng)的重要性非線性問(wèn)題在工程應(yīng)用中的普遍存在性；線性化方法存在的局限性；控制設(shè)備存在的本質(zhì)非線性；針對(duì)某些被控對(duì)象，加入一定的非線性控制作用，可以有效改善系統(tǒng)的控制水平。非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)系統(tǒng)的響應(yīng)具有和輸入不同的函數(shù)結(jié)構(gòu)；系統(tǒng)的性能不僅與系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān)，與初始條件及輸入信號(hào)也有關(guān)；不能應(yīng)用疊加原理；通常有自振蕩（極限環(huán)）現(xiàn)象出現(xiàn)。控制系統(tǒng)中常見(jiàn)非線性的類型及輸入輸出特性曲線1、理想繼電型（單值、對(duì)稱于原點(diǎn)）2、死區(qū)繼電器（單值、對(duì)稱于原點(diǎn)）3、滯環(huán)繼電器（多值、對(duì)稱于原點(diǎn)）4、死區(qū)（單值、對(duì)稱于原點(diǎn)）5、飽和（單值、對(duì)稱于原點(diǎn)）6、滯環(huán)死區(qū)繼電器（多值、對(duì)稱于原點(diǎn)）橫坐標(biāo)輸入，縱坐標(biāo)輸出（6）（2）（3）（4）（5）（1）非線性系統(tǒng)的分析方法古典控制理論方法描述函數(shù)法相平面法現(xiàn)代控制理論的方法李亞普諾夫方法計(jì)算機(jī)求解法非線性系統(tǒng)的主要研究?jī)?nèi)容系統(tǒng)的穩(wěn)定性及穩(wěn)定的條件；系統(tǒng)是否產(chǎn)生自振蕩；自振蕩特性分析和穩(wěn)定自振蕩參數(shù)計(jì)算；討論消除自振蕩或減小穩(wěn)定自振蕩幅值的方法。第二節(jié)典型本質(zhì)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)基本思想非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義及求取方法求取描述函數(shù)應(yīng)用舉例負(fù)倒描述函數(shù)曲線的繪制基本思想非線性單位負(fù)反饋系統(tǒng)。其中N為本質(zhì)非線性環(huán)節(jié)，G(s)為線性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。研究方法及步驟：非線性環(huán)節(jié)經(jīng)處理后簡(jiǎn)化--描述函數(shù)描述函數(shù)的求取方法負(fù)倒描述函數(shù)概念的引入及曲線的繪制基于線性部分的Nyquist曲線和非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線，采用推廣后的頻域分析法進(jìn)行非線性系統(tǒng)的性能研究。非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義

及求取方法設(shè)非線性元件的輸入為：則非線性元件的輸出為：略去高次項(xiàng)保留基波分量，另非線性元件若對(duì)稱原點(diǎn)，則直流分量為0，得：（若非線性環(huán)節(jié)是單值函數(shù)，則）

描述函數(shù)的自變量為輸入正弦信號(hào)的幅值A(chǔ)1B1Y1求取描述函數(shù)應(yīng)用舉例理想繼電器描述函數(shù)的求取輸入函數(shù)（周期函數(shù)）輸出函數(shù)（周期函數(shù)）求相關(guān)系數(shù)：

A0=0；A1=0；描述函數(shù)：m(t)ωt描述函數(shù)是自變量為E的復(fù)函數(shù)，但由于虛部為零，則簡(jiǎn)化為實(shí)函數(shù)。P180-182[例7-2]，[例7-3]，自學(xué)。負(fù)倒描述函數(shù)曲線的繪制理想繼電器死區(qū)繼電器滯環(huán)繼電器飽和非線性為非線性系統(tǒng)性能分析的需要，引入負(fù)倒描述函數(shù)的概念及曲線的繪制！理想繼電器的負(fù)倒描述函數(shù)曲線ImReE0∞死區(qū)繼電器的負(fù)倒描述函數(shù)曲線ImReE?∞拐點(diǎn)參數(shù)：滯環(huán)繼電器的負(fù)倒描述函數(shù)曲線ImReE?∞起點(diǎn)縱坐標(biāo)-?π/4M飽和非線性的負(fù)倒描述函數(shù)曲線ImReE?∞起點(diǎn)橫坐標(biāo)-?/M第三節(jié)用描述函數(shù)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性一、描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的前提條件1、模型的規(guī)范化——已知線性部分和非線性部分模型2、非線性環(huán)節(jié)具有奇對(duì)稱性（對(duì)稱原點(diǎn)）3、線性部分具有良好的低通高濾特性（保證分析結(jié)果的精度）二、非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)1、閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1）系統(tǒng)穩(wěn)定：線性部分的Nyquist不包圍負(fù)倒描述函數(shù)曲線。2）系統(tǒng)不穩(wěn)定：線性部分的Nyquist整個(gè)包圍負(fù)倒描述函數(shù)曲線。3）系統(tǒng)出現(xiàn)自振蕩：兩條曲線相交。自振蕩是系統(tǒng)自發(fā)產(chǎn)生的一種振蕩過(guò)程不同于與線性系統(tǒng)的等幅振蕩2、自振蕩的穩(wěn)定性分析及特性參數(shù)計(jì)算1）穩(wěn)定自振蕩：幅值增加，負(fù)倒描述函數(shù)曲線由不穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)域。A2）不穩(wěn)定自振蕩：幅值增加，負(fù)倒描述函數(shù)曲線由穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)域。B3）穩(wěn)定的自振蕩參數(shù)的計(jì)算（交點(diǎn)參數(shù)）：（1）振蕩頻率：線性部分的Nyquist在交點(diǎn)處的頻率取值。（2）振蕩幅值：非線性部分負(fù)倒描述函數(shù)曲線在交點(diǎn)處輸入信號(hào)幅值E的取值。三、應(yīng)用舉例四、非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)規(guī)化問(wèn)題應(yīng)用舉例

分析穩(wěn)定性及計(jì)算穩(wěn)定的自振蕩參數(shù)Re-△/M非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)規(guī)化問(wèn)題一、描述函數(shù)分析法是研究系統(tǒng)的本質(zhì)結(jié)構(gòu)是否可能產(chǎn)生自振蕩的問(wèn)題，因此與輸入無(wú)關(guān)，所以在解題中設(shè)輸入信號(hào)為零。二、線性部分應(yīng)根據(jù)方框圖等效變換的原則歸并。三、多個(gè)非線性環(huán)節(jié)也應(yīng)該根據(jù)各環(huán)節(jié)的特性及之間的連接形式、順序歸并成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)。使整個(gè)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)歸化成標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)形式。線性部分的歸并舉例非線性部分的歸并舉例

線性部分的歸并舉例非線性部分的歸并舉例串聯(lián)并聯(lián)M1M1M2M2M2M2kk(M1≥)(M1≥)kxxxxxxyyyyyy第四節(jié)相平面圖基本思想相軌跡的特點(diǎn)相軌跡的繪制方法線性系統(tǒng)的相平面圖非線性系統(tǒng)的相平面圖基本思想

相平面分析法是分析非線性系統(tǒng)性能的一種圖示方法。而相軌跡和相平面圖的繪制為該分析方法的前提條件。相平面定義：由兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的狀態(tài)變量作為坐標(biāo)的平面稱為相平面。通常采用位移和位移的變化率作為狀態(tài)變量用于描述一、二階系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。相軌跡方程的定義：描述一階或二階系統(tǒng)位移和位移變化率之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。相軌跡定義：在任意初始條件下，隨時(shí)間推移，狀態(tài)在相平面上開(kāi)始轉(zhuǎn)移，而狀態(tài)隨時(shí)間轉(zhuǎn)移行走的軌跡稱為相軌跡。相平面圖定義：不同初始條件相軌跡的集合，為全面反映系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性的曲線族稱為相平面圖。

相軌跡的特點(diǎn)1、相軌跡表明的是系統(tǒng)在某一初始條件下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和運(yùn)動(dòng)方向。2、相平面圖是系統(tǒng)在不同初始條件下相軌跡的集合。3、相平面上相軌跡的方向：上半平面增加；下半平面減小。4、平衡點(diǎn)：相平面上兩條及以上相軌跡相交的交點(diǎn)稱之為系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。5、奇點(diǎn)：相平面上若有的點(diǎn)，即斜率不確定的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。

1）奇點(diǎn)也是平衡點(diǎn)。2）奇點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算：，則由

求出奇點(diǎn)坐標(biāo)。3）系統(tǒng)的相平面圖在奇點(diǎn)附近的分布是有規(guī)律的，當(dāng)奇點(diǎn)的種類一旦確定，則奇點(diǎn)附近相平面圖的形式就會(huì)隨之確定。6、在相平面圖上的所有相軌跡與x軸垂直相交。7、相軌跡的對(duì)稱性：某些系統(tǒng)相平面圖上的相軌跡對(duì)稱于橫軸、縱軸或坐標(biāo)原點(diǎn)，按其對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化作圖，通常對(duì)稱性可以由相軌跡的斜率來(lái)導(dǎo)出。1)對(duì)稱于橫軸（x軸）的條件：2)對(duì)稱于縱軸（Y軸）的條件：3)對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)的條件：相軌跡的繪制方法解析法消除變量法直接積分法作圖法等傾線法圓弧近似法初始條件為（1，0）的相軌跡相平面圖—不同初始條件時(shí)的相軌跡的集合線性系統(tǒng)的相平面圖一階系統(tǒng)的相軌跡和相平面圖（均為一條直線）一階齊次方程一階非齊次方程二階系統(tǒng)的相軌跡和相平面圖二階齊次方程二階非齊次方程一階微分方程本身即是相軌跡方程一階齊次方程的相平面圖初始條件決定的只是相軌跡的起點(diǎn)X(0)一階非齊次方程的相平面圖二階齊次方程的相平面圖與特征根位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系在虛軸上。臨界穩(wěn)定，等幅振蕩，奇點(diǎn)為中心點(diǎn)，相平面圖為奇點(diǎn)在原點(diǎn)的橢圓。在左半平面的實(shí)軸上。穩(wěn)定，單調(diào)衰減，奇點(diǎn)為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。在右半平面的實(shí)軸上。不穩(wěn)定，單調(diào)發(fā)散，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。在左半平面的復(fù)平面上。穩(wěn)定，振蕩衰減，奇點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。在右半平面的復(fù)平面上。不穩(wěn)定，振蕩發(fā)散，奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。左右實(shí)軸上各一個(gè)特征根。不穩(wěn)定，單調(diào)發(fā)散，起點(diǎn)為鞍點(diǎn)。一個(gè)在原點(diǎn)，一個(gè)在左半平面。無(wú)奇點(diǎn)。一個(gè)在原點(diǎn)，一個(gè)在右半平面。無(wú)奇點(diǎn)。兩個(gè)都在原點(diǎn)。無(wú)奇點(diǎn)。

二階非齊次方程的相平面圖

與特征根位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般情形下的相平面圖特征——僅是奇點(diǎn)位置移至（，0）處相同結(jié)構(gòu)特性的相平面圖。三種特例情形無(wú)對(duì)應(yīng)規(guī)則：一個(gè)在原點(diǎn)，一個(gè)在左半平面。無(wú)奇點(diǎn)。一個(gè)在原點(diǎn)，一個(gè)在右半平面。無(wú)奇點(diǎn)。兩個(gè)都在原點(diǎn)。無(wú)奇點(diǎn)。非線性系統(tǒng)的相平面圖一、繪圖思路1、選擇研究控制系統(tǒng)性能的相平面—輸出平面或誤差平面2、在相平面上根據(jù)非線性元件的輸入輸出特性確定開(kāi)關(guān)線3、由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)確定各線性區(qū)域的運(yùn)動(dòng)方程或相軌跡方程，并確定各區(qū)域的奇點(diǎn)坐標(biāo)、奇點(diǎn)特性以及奇點(diǎn)附近相平面圖的形式4、由運(yùn)動(dòng)方程結(jié)構(gòu)確定開(kāi)關(guān)線處相軌跡的連接方式5、繪制非線性系統(tǒng)的相軌跡或相平面圖二、應(yīng)用舉例三、非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征1、與線性系統(tǒng)相軌跡的共性——各線性區(qū)域的相軌跡繪制規(guī)則2、非線性系統(tǒng)可能形成極限環(huán)（相平面上孤立的封閉曲線）1）穩(wěn)定的極限環(huán)；2）不穩(wěn)定的極限環(huán)；3）半穩(wěn)定的極限環(huán)3、非線性系統(tǒng)奇點(diǎn)特性1）奇點(diǎn)的非唯一性；2）實(shí)奇點(diǎn)和虛奇點(diǎn)確定開(kāi)關(guān)線開(kāi)關(guān)線x=0mMM（x>0）-M-M(x<0)mMM（x>?）-M-M(x<-?)?-?開(kāi)關(guān)線：

X=?開(kāi)關(guān)線：X=-?0(-?<x<?)mM-M?-??-?M（x>?，>0）（x>-?，<0）-M開(kāi)關(guān)線：

X=?,>0,X=-?,<0.由運(yùn)動(dòng)方程結(jié)構(gòu)確定開(kāi)關(guān)線處

相軌跡的連接方式M-Mu(t)X增加（x導(dǎo)數(shù)大于0）時(shí)，輸出上跳；X減?。▁導(dǎo)數(shù)小于0）時(shí)，輸出下跳為；-11e(t)r(t)c(t)m(t)e(t)r(t)c(t)m(t)21-1-MMe(t)r(t)c(t)m(t)P202[例7-14]P203[例7-15]P203[例7-16]第五節(jié)相平面分析法一、穩(wěn)定性分析1、系統(tǒng)大范圍穩(wěn)定——所有初始條件引發(fā)的運(yùn)動(dòng)最終停止在平衡點(diǎn)。2、系統(tǒng)局部穩(wěn)定——穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、初始條件和輸入信號(hào)；3、相軌跡研究確定初始條件或輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及運(yùn)動(dòng)規(guī)律；4、相平面則研究的是整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及運(yùn)動(dòng)規(guī)律；5、非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分為：穩(wěn)定、不穩(wěn)定和極限環(huán)。二、穩(wěn)態(tài)誤差分析在誤差相平面上，穩(wěn)定系統(tǒng)平衡點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。若平衡點(diǎn)在原點(diǎn)則穩(wěn)態(tài)無(wú)差。三、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算在相平面上由單位階躍擾動(dòng)作用下的相軌跡，可以求得超調(diào)量。四、根據(jù)相軌跡求運(yùn)動(dòng)時(shí)間解

根據(jù)相軌跡求運(yùn)動(dòng)時(shí)間解1、由求時(shí)間解若已知相軌跡方程若無(wú)法獲得相軌跡方程，則利用兩點(diǎn)坐標(biāo)近似計(jì)算對(duì)于標(biāo)么化平面2、用圓弧近似法求運(yùn)動(dòng)時(shí)間解若相軌跡在標(biāo)么化平面上是圓弧，則兩點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：若在一般相平面上是圓弧，則兩點(diǎn)間運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：?jiǎn)卧偨Y(jié)一、主要內(nèi)容1、描述函數(shù)分析法1）使用的前提條件2）曲線的繪制（線性部分的Nyquist曲線和非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線）3）分析內(nèi)容2相平面分析法1）使用的前提條件2）曲線的繪制（相軌跡或相平面圖）3）分析內(nèi)容二、習(xí)題類型1、已知線性部分的傳遞函數(shù)和非線性部分的描述函數(shù)，分析非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性若產(chǎn)生自振蕩求參數(shù)。2、整合不規(guī)范非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。繪制線性部分的Nyquist曲線和非線性部分的負(fù)倒描述函數(shù)曲線分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。3、已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。繪制相軌跡和相平面圖。分析系統(tǒng)性能。計(jì)算時(shí)域指標(biāo)。三、課堂練習(xí)1、2、3。1、非線性部分的描述函數(shù)線性部分的傳遞函數(shù)解題過(guò)程：在同一平面繪制兩條曲線；在X點(diǎn)產(chǎn)生穩(wěn)定的自振蕩；計(jì)算自振蕩參數(shù)：負(fù)倒描述函數(shù)曲線Nyquist曲線XωA相位條件：幅值條件：?jiǎn)挝回?fù)反饋系統(tǒng)，已知線性部分的傳遞函數(shù)和非線性部分的描述函數(shù)，分析系統(tǒng)性能。2、非線性特性xyxy繪兩條曲線產(chǎn)生穩(wěn)定的自振蕩計(jì)算自振蕩參數(shù)M=1非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，分析系統(tǒng)性能。負(fù)倒描述函數(shù)