多面體和旋轉(zhuǎn)體的體積

多面體和旋轉(zhuǎn)體的體積第一頁，共十二頁，2022年，8月28日2.7體積的概念與公理幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積同讀量長度，面積一樣，要度量一個(gè)幾何體的體積，首先要選取一個(gè)單位體積作為標(biāo)準(zhǔn)。然后求出幾何體的體積的體積是單位體積的多少倍，這個(gè)倍數(shù)就是這個(gè)幾何體的體積的數(shù)值。公理5長方體的體積等于它的長，寬，高的積。

acb第二頁，共十二頁，2022年，8月28日推論1長方體的體積等于它的底面積s和高h(yuǎn)的積。推論1正方體的體積等于它的棱長的立方。從公理5

，可以直接得到下面的推論：(注:.ab=s、h=s)(注:.a=b=c)第三頁，共十二頁，2022年，8月28日公理6夾在兩個(gè)平面間的兩個(gè)幾何體,被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截,如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.夾在平行平面α,β之間的兩個(gè)形狀不同的幾何體，被平行于平面α,β的任意一個(gè)平面所截，如果截面P和Q的面積相等，那么它們的體積一定相等。例如，取一摞書或一摞紙張堆放在桌面上，將它如圖那樣改變一下形狀，這時(shí)高度沒有改變，每頁紙的面積也沒有改變，因而這摞書或紙的體積與變形前相等。Back第四頁，共十二頁，2022年，8月28日2.8棱柱,圓柱的體積設(shè)有底面積都等于S,高都等于h的任意一個(gè)棱柱和一個(gè)圓柱,取一個(gè)與它們底面積相等,高也相等的長方體,使它們的下底面在同一個(gè)平面α上。因?yàn)樗鼈兊纳系酌婧拖碌酌嫫叫?，并且高都相等，所以它們的上底面都在和平面α平行的同一個(gè)平面內(nèi)。用和平面α平行的任意平面去截它們時(shí)，所得的截面都和它們的底面分別全等，故這些截面的面積都等于S。根據(jù)定理6，它們的體積相等。由于長方體的體積等于它的底面積和高的乘積，于是我們得到下面的定理：定理柱體（棱體，圓體）的體積等于它的面積S和高h(yuǎn)的積。第五頁，共十二頁，2022年，8月28日

例1

有一堆相同規(guī)格的六角螺帽毛坯共重5.8kg。已知底面六邊形的邊長是12mm,高是10mm,內(nèi)孔直徑是10mm.問約有毛坯多少個(gè)(鐵的比重是7.8g/cm3)

解:六角螺帽毛坯的體積是一個(gè)正六棱柱的體積與一個(gè)圓柱的體積的差.PNO毛坯的體積答：這堆毛坯約有250個(gè)。Back第六頁，共十二頁，2022年，8月28日2.9棱錐,圓錐的體積CBAA’B’CA’BC’CA’B’第七頁，共十二頁，2022年，8月28日取任意兩個(gè)錐體,設(shè)它們的底面面積都是S,高都是H.把這兩個(gè)錐體放在同一個(gè)平面α上,這時(shí)它們的頂點(diǎn)都在和平面α平行的同一個(gè)平面內(nèi)。用平行于平面α的任意平面去截它們，截面分別與底面相似。設(shè)截面與頂點(diǎn)的距離是h1，截面面積分別是S1,S2,那么根據(jù)公理6，這兩的錐體的體積相等，及三棱錐的體積公式。由此我們可以得到下面的定理：定理等面積等高的兩的錐體的體積相等。定理如果一個(gè)錐體（棱錐，圓錐）的底面積S，高是h，那么它的體積是Back第八頁，共十二頁，2022年，8月28日

1.用棱長為1的正方體的體積作為體積單位右圖長方體的體積的數(shù)值為36。假如將體積單位改用棱長為2的正方體的體積，這個(gè)長方體的體積變?yōu)槎嗌伲繛槭裁?？解：原來?為一個(gè)單位，現(xiàn)在以2為一個(gè)單位。故，這個(gè)長方體的體積是4.5第九頁，共十二頁，2022年，8月28日

2.已知長方體形的銅塊長，寬，高分別是2cm,4cm,8cm，將它們?nèi)诨箬T成一個(gè)正方體形的銅塊，求鑄成的銅塊的棱長（不計(jì)損耗）。解：由柱體體積公式有：不計(jì)損耗所求棱長為4cm第十頁，共十二頁，2022年，8月28日

3.如圖，將長方體沿相鄰三個(gè)面的對角線截取一個(gè)三棱錐。這個(gè)三棱錐的體積是長方體體積的幾分之