變分法第八章

變分法第八章第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日1泛函的概念最速落徑問題,如圖所示A、B兩點不在同一鉛垂線，也不在同一高度§8.1泛函與泛函的極值A(chǔ)Bx(x,y,)我們知道，質(zhì)點下落速率與下落高度間的關(guān)系為一質(zhì)點在重力作用下無磨擦沿某曲線從A滑到B，求下滑的最短時間?；蜓啬臈l曲線用時最短。所以第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日T稱為y(x)的泛函y(x)可取的函數(shù)種類，稱泛函的定義域,泛函是函數(shù)的涵數(shù)（不指復(fù)合函數(shù)）一般地，C是函數(shù)的集合，B是實數(shù)（或復(fù)數(shù)）的集合，若對于C中的任一稱元素y(x)，在B中均有一元素J與之對應(yīng)，則稱J為y(x)的泛函是函數(shù)。記為與通常函數(shù)的定義不同，泛函的值決定于函數(shù)的取形。即如上例中，T的變化決定于的變化，而非某一個自變量x的值進而某一個函數(shù)y的值。而是決定于函數(shù)集合C中的函數(shù)關(guān)系，即決定于函數(shù)的取形。第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日通常，泛函多以積分形式出現(xiàn)，如稱為泛函的核其中2泛函的極值與變分在泛函的概念下，最速落徑問題歸結(jié)為泛函的極值問題，所謂變分法,就是求泛函的極值問題。研究泛函極值問題的方法歸為兩類：直接法與間接法要討論間接法，先討論泛函的變分問題。第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日設(shè)有連續(xù)函數(shù)即導(dǎo)數(shù)的變分等于變分的導(dǎo)數(shù),變分微分運算可交換次序。將其微小變形為其中t是一個小參數(shù)，稱為的變分，記為此時，函數(shù)相應(yīng)變形為第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日設(shè)對x,y,y’二階可導(dǎo)，y’’連續(xù)中相對于y、y’作Tayler展開抵消t的0次項，保留t的1次項，略去t的高階項有變分dy時，泛函J的變化為則函數(shù)可得第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日上式稱泛函J[y（x）]第一次變分，簡稱變分，記為3泛函極值的必要條件——歐拉方程設(shè)泛函J[y（x）]的極值問題有解，記為y=y(x)現(xiàn)在來推導(dǎo)此解y（x）滿足的常微分方程設(shè)y=y（x）有變分，則可視為t的函數(shù)表示為

當(dāng)t=0時

第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日亦即,F(t)函數(shù)取極值。即取極值

這樣，就把原來的泛函的極值問題轉(zhuǎn)變成F(t)這種普通函數(shù)的極值問題。

令即將代入上式，得即第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日

泛函取極值的必要條件是其變分為0，或者說，泛函J的極值函數(shù)y(x)必須是滿足泛函的變分dJ=0的函數(shù)類所以泛函的極值問題稱為變分問題在簡單變分問題中，端點是固定的同乘t得即又因為（分步積分）第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日歐拉(Euler)方程，泛函有極值的必要條件。所以，得?。﹩巫兞慷嗪瘮?shù)的泛函以上為單變量單函數(shù)泛函極值問題的歐拉方程，較復(fù)雜的泛函歐拉方程可仿照上述方法導(dǎo)出。如與求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)相似，分別對多函數(shù)泛函之某一函數(shù)取變分，其余函數(shù)保持不變。可得i=1,2,……n第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日ⅱ）高階導(dǎo)數(shù)的泛函取相應(yīng)的歐拉方程為或?qū)懗散＃┒嘣瘮?shù)的泛函取相應(yīng)的歐拉方程為第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日例1最速落徑問題，即求解變分問題代入得解：由于歐拉方程變形為不顯含x

第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日求出偏導(dǎo)數(shù)，有通分并取平方取得令代入上式擺線的參數(shù)方程常數(shù)c1、c2由A、B位置決定第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日4泛函的條件極值問題若變量函數(shù)y（x）受到附加條件的限制，則相應(yīng)的極值問題，稱為條件極值問題。典型的也是最重的限制是用積分形式表示的,如即所謂等周問題

均為常數(shù)，可仿照函數(shù)條件極值問題的Lagrange乘子法，即

其中

第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日將附加條件乘以參數(shù),確定特解l，求其變分，有這是通過a和b兩點的y(x)在附加條件下,使泛函取極值的必要條件。則問題轉(zhuǎn)化為一般的泛函變分問題，相應(yīng)的歐拉方程為關(guān)于y(x)的二階常微分方程，一般含三個參數(shù)，即l和兩個積分常數(shù)，泛函取極值的必要條件。由來確定第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日例2求的極值，其中y是歸一化的，即得解：此泛函的條件極值問題，可轉(zhuǎn)化為變分問題代入歐拉方程，有這里且已知第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日的通解為代入歸一化條件，得所以而泛函的極值為使泛函取極小值p2當(dāng)n=1時，泛函滿足條件第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日5求泛函極值的直接方法(Ritz方法)從泛函自身出發(fā)，不經(jīng)微分方程直接求出極值曲線，稱為泛函極值問題的直接方法。Ritz方法—典型的直接方法：要點是不將其放在它全部定義域來考慮，而是在定義域的某一部分來考慮。使J轉(zhuǎn)化為

設(shè)某種完備的函數(shù)系

試償以其中的前幾項來表示變分問題dJ=0的解

其中

為待定系數(shù)

的n元函數(shù)第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日所以按多元函數(shù)求極值的方法，令不過這樣得出的函數(shù)并非變分問題dJ=0的嚴格解

由于f的形式是我們預(yù)先選定的，比如即

由此解出

便確定出了函數(shù)y(x)而是近似解,記為yn(x)，嚴格解應(yīng)為

Ritz法中函數(shù)系ji的選取至關(guān)重要，如何選?。?/p>

第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日例3用Ritz方法求例2。即求采用試探解項的選取是為了滿足解：以作為選取的函數(shù)系將其代入得下的變分問題。在約束條件且已知第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日由即結(jié)果是第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日把代入得顯而易見，在c1=0時，J[y(x)]最小，最小值為10所以對比近似解，拋物線嚴格解，正弦曲線

且第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日1）把偏微分方程的本征值問題或定解問題，與泛函的極值問題聯(lián)系起來，使原來的方程是泛函的歐拉方程；2）用直接方法求出泛函的極值函數(shù)，由于此函數(shù)一定滿足歐拉方程，所以，也一定滿足原方程，即一定是原方程的解。用變分法求數(shù)理方程的基本原理本節(jié)以Helmhotz方程的本征值問題和Poisson方程的邊值問題為例，討論把上述問題轉(zhuǎn)化為泛函極值問題或變分法的基本方法，然后來求解極值問題（用直接方法）?！?.2用分法求解數(shù)理方程第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日（設(shè)u在區(qū)域t內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，l為參數(shù),s為t的邊界）取泛函令1本征問題與變分問題的關(guān)系Helmhotz本征值問題由第一格林公式則有或第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日其中對應(yīng)的歐拉方程為對于三元函數(shù)的泛函，其變分問題為所以第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日即泛函中把代入歐拉方程，得歐拉方程變?yōu)闃O值問題的歐拉方程就是Helmhotz方程在邊界條件下本征值問題而且，此泛函變分問題與泛函在附加條件就是說，Helmhotz方程的本征值問題，可歸結(jié)為歸一條件下J1[u]的極值問題。下的變分問題等價。第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日所對應(yīng)的泛函同樣為若為第二類邊界條件同樣亦有即本征值問題若為第三類邊界條件類似地有第二十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日則本征值問題

記和邊界條件下的極值問題可歸結(jié)為在附加條件求泛函2泛函極值與本征值問題的關(guān)系仍以Helmhotz方程為例，先給出一重要結(jié)論：的最小值l0就是本征值問題泛函的最小本征值,而使泛函J1[u]在邊界條件第二十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日和附加條件u0就是該本征值問題對應(yīng)本征值l0的本征函數(shù)。取得最小值的函數(shù)結(jié)論的證明：有最小值l0的極值函數(shù)，則有設(shè)u0是使泛函由邊界條件知第二十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日的歐拉方程為又，在附加條件下所以u0滿足或代入J1[u0],有u0是本征函數(shù)。再證明：即l0是本征值，設(shè)l0是最小本征值。第三十頁，共四十二頁，2022年，8月28日相應(yīng)的本征函數(shù)為u1則有這與是的最小值相矛盾結(jié)論得證。有次小值l1的極值函數(shù)，類似地還可證明，若設(shè)u1是使泛函且滿足邊界條件和附加條件除此之外，還同時滿足與u0正交的條件。即設(shè)第三十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日相應(yīng)的本征函數(shù)為u1滿足依此類推，泛函取第i個極值的極值函數(shù)ui滿足且滿足邊界條件和附加條件除此之外，還同時滿足正交條件即由此得到的泛函的次極小值就是本征值問題的次極小值對于一系列本征值相應(yīng)的本征函數(shù)為第三十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日例用變分法求邊界固定的圓膜橫振動的本征振動。代入上式，得引入無量綱變量解：取平面極坐標，定解問題為令旋轉(zhuǎn)對稱

記得第三十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日這是一個二階常微分方程的本征值問題，用變分法對于任意的二階常微分方程的本征值問題，形如在歸一化條件能夠證明，可轉(zhuǎn)化歸結(jié)為：及相應(yīng)邊界條件下求泛函的極值問題第三十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日二方程對比在歸一化條件有下，求泛函的極值問題所以方程的求解第三十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日采用直接方法（Ritz方法）求解令代入歸一化條件和泛函，得（如此取形使x=0處不出現(xiàn)尖點）算出各積分，得I,J

兩個關(guān)于c1，c2的函數(shù)為第三十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日由Lagrange乘子法，取極值的條件為其中:k=lb2c1、c2

非零解存在的條件是：解出k的兩個解為，第三十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日最小本征值為因l=b2/k將其代入c的方程和歸一化條件解出本例的嚴格解可由分離變量法得出，結(jié)果為為最小本征值為相應(yīng)的本征函數(shù)稱為零階Bessel函數(shù)，稱為零階Bessel函數(shù)的第一個零點。第三十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日第一類邊值問題3邊值問題與變分問題的關(guān)系以Poisson問題為例來討論s為t的邊界取對取變分，有第三十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日但由泛函取極值的條件為，所以相應(yīng)的歐拉方程為（前式利用