2023年高考物理一輪復(fù)習(xí)第四章曲線運動萬有引力與航天第4講萬有引力與天體運動教學(xué)案（含解析）

PAGEPAGE1第4講萬有引力與天體運動教材知識梳理一、開普勒三定律1．開普勒第一定律：所有的行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個________上．2．開普勒第二定律：對于每一個行星而言，太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過的________相等．3．開普勒第三定律：所有行星的軌道的________的三次方跟________的二次方的比值都相等．二、萬有引力定律1．內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都互相吸引，引力的大小與物體的質(zhì)量的乘積成________，與它們之間距離的二次方成________．2．公式：________(其中引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2)．3．適用條件：公式適用于質(zhì)點之間以及均勻球體之間的相互作用，對均勻球體來說，r是兩球心間的距離．三、天體運動問題的分析1．運動學(xué)分析：將天體或衛(wèi)星的運動看成________運動．2．動力學(xué)分析：(1)萬有引力提供________，即F向＝Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(2π,T)2r.(2)在星球外表附近的物體所受的萬有引力近似等于________，即Geq\f(Mm,r2)＝mg(g為星球外表的重力加速度)．四、三個宇宙速度1．第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：v1＝7.9km/s，是人造地球衛(wèi)星的________，也是人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的________2．第二宇宙速度(逃逸速度)：v2＝11.2km/s，是衛(wèi)星掙脫地球引力束縛的________3．第三宇宙速度：v3＝16.7km/s，是衛(wèi)星掙脫太陽引力束縛的________答案：一、1.焦點2.面積3.半長軸公轉(zhuǎn)周期二、1.正比反比2.F＝Geq\f(m1m2,r2)三、1.勻速圓周2.(1)向心力(2)物體的重力四、1.最小發(fā)射速度最大運行速度2．最小發(fā)射速度3.最小發(fā)射速度【思維辨析】(1)牛頓利用扭秤實驗裝置比擬準(zhǔn)確地測出了引力常量．()(2)兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大．()(3)行星在橢圓軌道上運行速率是變化的，離太陽越遠(yuǎn)，運行速率越?。?)(4)近地衛(wèi)星距離地球最近，環(huán)繞速度最?。?)(5)地球同步衛(wèi)星根據(jù)需要可以定點在北京正上空．()(6)極地衛(wèi)星通過地球兩極，且始終和地球某一經(jīng)線平面重合．()(7)發(fā)射火星探測器的速度必須大于11.2km/s.答案：(1)(×)(2)(×)(3)(√)(4)(×)(5)(×)(6)(×)(7)(√)【思維拓展】為了驗證地面上的重力與地球吸引月球、太陽吸引行星的力是同一性質(zhì)的力，遵守同樣的規(guī)律，牛頓做了著名的“月－地〞實驗．請闡述“月－地〞實驗思路．答案：由于月球繞地球運行的周期T＝27.3d≈2.36×106s，月球的軌道半徑r＝60R地＝3.84×108an1＝eq\f(4π2,T2)r＝2.72×10－3m/s2①牛頓設(shè)想，把一個物體放到月球軌道上，讓它繞地球運行，地球?qū)λ囊p小到F，它的向心加速度減小到an2，既然物體在地面上受到的重力G和在月球軌道上運行時受到的引力F都是來自地球引力，那么在引力與軌道半徑的二次方成反比的關(guān)系成立的情況下，物體在月球軌道上的向心加速度an2和在地面上的重力加速度g的關(guān)系應(yīng)為eq\f(an2,g地)＝eq\f(F,G)＝eq\f(Req\o\al(2,地),r2)＝eq\f(1,602)＝eq\f(1,3600)，進(jìn)而從動力學(xué)角度可計算出月球軌道上的向心加速度為an2＝eq\f(1,3600)g地＝2.72×10－3m/s2②①式與②式的計算結(jié)果完全一致，從而證明了物體在地面上所受重力與地球吸引月球的力是同一性質(zhì)的力、遵循同樣規(guī)律的上述設(shè)想．需要說明的是，月球繞地球的向心加速度an2＝eq\f(1,3600)g地與通常所說月球外表的重力加速度g月＝eq\f(1,6)g地并不矛盾．M地＝81M月，R地＝eq\f(11,3)R月，r＝60R地，由天文學(xué)黃金代換公式GM＝gR2可知eq\f(g月,g地)＝eq\f(M月Req\o\al(2,地),M地Req\o\al(2,月))＝eq\f(121,729)≈eq\f(1,6)，即g月＝eq\f(1,6)g地③又有an2＝eq\f(GM地,r2)＝eq\f(81GM月,3600Req\o\al(2,地))＝eq\f(81g月Req\o\al(2,月),3600×\f(11,3)R月2)≈eq\f(1,600)g月④由③、④式可得an2＝eq\f(1,3600)g地．考點互動探究考點一開普勒行星運動1[2022·全國卷Ⅲ]關(guān)于行星運動的規(guī)律，以下說法符合史實的是()A．開普勒在牛頓定律的根底上，導(dǎo)出了行星運動的規(guī)律B．開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的根底上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律C．開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因D．開普勒總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律答案：B[解析]開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的根底上，總結(jié)出了行星運動的規(guī)律，牛頓在開普勒研究根底上結(jié)合自己發(fā)現(xiàn)的牛頓運動定律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，指出了行星按照這些規(guī)律運動的原因，選項B正確．式題(多項選擇)[2022·武漢調(diào)研]水星或金星運行到地球和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，天文學(xué)稱為“行星凌日〞．地球的公轉(zhuǎn)周期為365天，假設(shè)將水星、金星和地球的公轉(zhuǎn)軌道視為同一平面內(nèi)的圓軌道，理論計算得到水星相鄰兩次凌日的時間間隔為116天，金星相鄰兩次凌日的時間間隔為584天，那么以下判斷合理的是()A．地球的公轉(zhuǎn)周期大約是水星的2倍B．地球的公轉(zhuǎn)周期大約是金星的1.6倍C．金星的軌道半徑大約是水星的3倍D．實際上水星、金星和地球的公轉(zhuǎn)軌道平面存在一定的夾角，所以水星或金星相鄰兩次凌日的實際時間間隔均大于題干所給數(shù)據(jù)答案：BD[解析]設(shè)水星、地球、金星的公轉(zhuǎn)周期分別為T水、T地和T金，水星兩次凌日時間差為t水，金星兩次凌日時間差為t金，由題意可知，eq\f(2π,T水)－eq\f(2π,T地)t水＝2π，eq\f(2π,T金)－eq\f(2π,T地)t金＝2π，解得T水＝88天，T金＝225天，所以地球公轉(zhuǎn)周期大約是水星公轉(zhuǎn)周期的4倍，大約是金星公轉(zhuǎn)周期的1.6倍，A錯誤，B正確；由開普勒第三定律可知，eq\f(Req\o\al(3,金),Teq\o\al(2,金))＝eq\f(Req\o\al(3,水),Teq\o\al(2,水))，解得eq\f(R金,R水)＝eq\r(3,\f(2252,882))≈eq\r(3,6.5)<3，C錯誤；理論上發(fā)生凌日時，金星(或水星)、地球、太陽三者共線，如果金星(或水星)公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)道與地球公轉(zhuǎn)軌道存在一定夾角，此時并不能產(chǎn)生凌日現(xiàn)象，所以金星(或水星)相鄰兩次凌日的實際時間間隔應(yīng)大于理論上的時間間隔，D正確．■要點總結(jié)對開普勒行星運動定律的理解：(1)行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理，假設(shè)按橢圓軌道處理，那么利用其半長軸進(jìn)行計算．(2)開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動．(3)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體對應(yīng)的k值不同．考點二萬有引力及其與重力的關(guān)系1.萬有引力的特點：兩個物體相互作用的引力是一對作用力和反作用力，它們大小相等，方向相反且沿兩物體的連線，分別作用在兩個物體上，其作用效果一般不同．2．萬有引力的一般應(yīng)用：主要涉及萬有引力的根本計算、天體質(zhì)量和密度的計算等．在這類問題的分析中應(yīng)注意：(1)萬有引力公式F＝Geq\f(m1m2,r2)中的r應(yīng)為兩物體球心間距，如果某一物體內(nèi)部存在球形空腔，那么宜采取“割補(bǔ)法〞分析；(2)對于萬有引力提供向心力情景下的天體運動，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有Geq\f(m1m2,r2)＝m1a，且a＝ω2r＝eq\f(v2,r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r.3．在地球或其他天體外表及某一高度處的重力加速度的計算：設(shè)天體外表重力加速度為g，天體半徑為R，忽略天體自轉(zhuǎn)，那么有mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)或GM＝gR2；假設(shè)物體距天體外表的高度為h，那么重力mg′＝Geq\f(Mm,〔R＋h〕2)，得g′＝eq\f(GM,〔R＋h〕2)＝eq\f(R2,〔R＋h〕2)g.2[2022·山西質(zhì)量檢測]據(jù)報道，目前我國正在研制“螢火二號〞火星探測器．探測器升空后，先在地球外表附近以線速度v環(huán)繞地球飛行，再調(diào)整速度進(jìn)入地火轉(zhuǎn)移軌道，最后以線速度v′在火星外表附近環(huán)繞火星飛行．假設(shè)認(rèn)為地球和火星都是質(zhì)量分布均勻的球體，火星與地球的半徑之比為1∶2，密度之比為5∶7.設(shè)火星與地球外表的重力加速度分別為g′和g.以下結(jié)論正確的選項是()A．g′∶g＝1∶4B．g′∶g＝7∶10C．v′∶v＝eq\r(\f(5,28))D．v′∶v＝eq\r(\f(5,14))答案：C[解析]在地球外表附近，萬有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得g＝eq\f(GM,R2)，在火星外表附近，萬有引力等于重力，即Geq\f(M′m,R′2)＝mg′，解得g′＝eq\f(GM′,R′2)，又知M＝ρV＝ρ·eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)ρπR3，火星與地球密度之比ρ′∶ρ＝5∶7，半徑之比R′∶R＝1∶2，聯(lián)立解得g′∶g＝5∶14，選項A、B錯誤；探測器在火星外表附近環(huán)繞火星飛行的線速度與探測器在地球外表附近環(huán)繞地球飛行的線速度之比v′∶v＝eq\f(\r(g′R′),\r(gR))＝eq\r(\f(5,14)·\f(1,2))＝eq\r(\f(5,28))，選項C正確，選項D錯誤．式題1“神舟十一號〞飛船于2016年10月17日發(fā)射，對接“天宮二號〞．假設(shè)飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，那么飛船所在處的重力加速度大小為()A．0B.eq\f(GM,〔R＋h〕2)C.eq\f(GMm,〔R＋h〕2)D.eq\f(GM,h2)答案：B[解析]由題意知，飛船處于完全失重狀態(tài)，飛船所受的重力等于萬有引力，即Geq\f(Mm,〔R＋h〕2)＝mg，約去m，得B正確．式題2(多項選擇)[2022·新疆適應(yīng)性檢測]月球是離地球最近的天體．月球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，假設(shè)忽略月球的自轉(zhuǎn)，那么關(guān)于在月球外表所做的實驗，以下表達(dá)正確的選項是()A．把質(zhì)量為m的物體豎直懸掛在彈簧測力計下，靜止時彈簧測力計的示數(shù)為eq\f(GMm,R2)B．以初速度v0豎直上拋一個物體，那么物體經(jīng)時間2πeq\r(\f(R,GM))落回原處C．把羽毛和鐵錘從同一高度同時釋放，那么鐵錘先落地D．用長為l的細(xì)繩拴一質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動，那么小球的最小動能為eq\f(GMml,2R2)答案：AD[解析]在月球外表，月球?qū)ξ矬w的引力等于物體的重力，即mg＝Geq\f(Mm,R2)，選項A正確；在月球外表，g＝Geq\f(M,R2)，以初速度v0豎直上拋的物體落回原處的時間為t＝eq\f(2v0,g)＝eq\f(2v0R2,GM)，選項B錯誤；月球周圍沒有空氣阻力，羽毛和鐵錘從同一高度被釋放后，同時落地，選項C錯誤；小球在豎直面內(nèi)做圓周運動，在最高點時，假設(shè)mg＝meq\f(v2,l)，那么其動能最小，為Ek＝eq\f(1,2)mv2＝Geq\f(Mml,2R2)，選項D正確．■要點總結(jié)1．對萬有引力和重力的關(guān)系要注意以下幾點：(1)在地面上，忽略地球自轉(zhuǎn)時，認(rèn)為物體的向心力為零，各位置均有mg≈eq\f(GMm,R2)；(2)假設(shè)考慮地球自轉(zhuǎn)，對在赤道上的物體，有eq\f(GMm,R2)－FN＝F向，其中FN大小等于mg，對處于南北兩極的物體，那么有eq\f(GMm,R2)＝mg.2．在地球上所有只在重力作用下的運動形式，如自由落體運動、豎直上拋運動、平拋運動、斜拋運動等，其運動規(guī)律和研究方法同樣適用于在其他星球外表的同類運動的分析，只是當(dāng)?shù)刂亓铀俣热≈挡煌眩键c三天體質(zhì)量及密度的計算1.利用(衛(wèi))行星繞中心天體做勻速圓周運動求中心天體的質(zhì)量計算天體的質(zhì)量和密度問題的關(guān)鍵是明確中心天體對它的衛(wèi)星(或行星)的引力就是衛(wèi)星(或行星)繞中心天體做勻速圓周運動的向心力．由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得M＝eq\f(4π2r3,GT2)；ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)，R為中心天體的半徑，假設(shè)為近地衛(wèi)星，那么R＝r，有ρ＝eq\f(3π,GT2).由上式可知，只要用實驗方法測出衛(wèi)星(或行星)做圓周運動的半徑r及運行周期T，就可以算出中心天體的質(zhì)量M.假設(shè)再知道中心天體的半徑，那么可算出中心天體的密度．2．利用天體外表的重力加速度g和天體半徑R，可得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).3[2022·濟(jì)南模擬]“嫦娥五號〞探測器預(yù)計2022年在中國文昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，自動完成月面樣品采集，并從月球起飛，返回地球，帶回約2kg月球樣品．某同學(xué)從網(wǎng)上得到一些信息，如下表中所示．根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可以計算出地球和月球的密度之比為()月球半徑R0月球外表處的重力加速度g0地球和月球的半徑之比eq\f(R,R0)＝4地球外表和月球外表的重力加速度之比eq\f(g,g0)＝6A.3∶2B．2∶3C．4∶1D．6∶1答案：A[解析]在星球外表附近，萬有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得星球質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G).地球和月球的質(zhì)量之比eq\f(M地,M月)＝eq\f(g,g0)·eq\f(R2,Req\o\al(2,0))＝eq\f(96,1)，由密度公式ρ＝eq\f(M,V)，體積公式V＝eq\f(4,3)πR3，聯(lián)立解得地球和月球的密度之比eq\f(ρ地,ρ月)＝eq\f(M地,M月)·eq\f(Req\o\al(3,0),R3)＝eq\f(3,2)，選項A正確．式題[2022·江蘇卷]過去幾千年來，人類對行星的認(rèn)識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51pegb〞的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕.“51pegb〞繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的eq\f(1,20).該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為()A.eq\f(1,10)B．1C．5D．10答案：B[解析]題中這顆行星繞其中心天體做圓周運動，其向心力是由中心天體與行星間的萬有引力提供，即Geq\f(M中心m行,req\o\al(2,行))＝m行ωeq\o\al(2,行)r行＝m行eq\f(4π2r行,Teq\o\al(2,行))，可得M中心＝eq\f(4π2req\o\al(3,行),GTeq\o\al(2,行))；同理，地球繞太陽運動，有M太陽＝eq\f(4π2req\o\al(3,地),GTeq\o\al(2,地))；那么，中心天體與太陽的質(zhì)量之比為eq\f(M中心,M太陽)＝eq\f(\f(4π2req\o\al(3,行),GTeq\o\al(2,行)),\f(4π2req\o\al(3,地),GTeq\o\al(2,地)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r行,r地)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T地,T行)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(365,4)))eq\s\up12(2)≈1，選項B正確．■規(guī)律總結(jié)天體質(zhì)量和密度的估算問題是高考命題熱點，解答此類問題時，首先要掌握根本方法(兩個等式：①萬有引力提供向心力；②天體外表物體受到的重力近似等于萬有引力)，其次是記住常見問題的結(jié)論，主要分兩種情況：(1)利用衛(wèi)星的軌道半徑r和周期T，可得中心天體的質(zhì)量為M＝eq\f(4π2r3,GT2)，并據(jù)此進(jìn)一步得到該天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)(R為中心天體的半徑)，尤其注意當(dāng)r＝R時，ρ＝eq\f(3π,GT2).(2)利用天體外表的重力加速度g和天體半徑R，可得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G)，天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).熱點四宇宙速度黑洞與多星系統(tǒng)1.雙星系統(tǒng)系統(tǒng)可視天體繞黑洞做圓周運動黑洞與可視天體構(gòu)成的雙星系統(tǒng)兩顆可視星體構(gòu)成的雙星系統(tǒng)圖示向心力的來源黑洞對可視天體的萬有引力彼此給對方的萬有引力彼此給對方的萬有引力2.多星系統(tǒng)系統(tǒng)三星系統(tǒng)(正三角形排列)三星系統(tǒng)(直線等間距排列)四星系統(tǒng)圖示向心力的來源另外兩星球?qū)ζ淙f有引力的合力另外兩星球?qū)ζ淙f有引力的合力另外三星球?qū)ζ淙f有引力的合力4[2022·安徽卷改編]由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對它們的作用，存在著一種運動形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個頂點上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運動(圖4-12-1為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時的一般情況)．假設(shè)A星體質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長為a，那么以下說法正確的選項是()圖4-12-1A．A星體所受合力大小FA＝2Geq\f(m2,a2)B．B星體所受合力大小FB＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)C．C星體的軌道半徑RC＝eq\f(\r(7),2)aD．三星體做圓周運動的周期T＝2πeq\r(\f(a3,GM))答案：B[解析]由萬有引力定律可知，A星體所受B、C星體的引力大小為FBA＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)＝FCA，方向如下圖，那么合力大小為FA＝2eq\r(3)Geq\f(m2,a2)；同理，B星體所受A、C星體的引力大小分別為FAB＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)，F(xiàn)CB＝Geq\f(mCmB,r2)＝Geq\f(m2,a2)，方向如下圖，由FBx＝FABcos60°＋FCB＝2Geq\f(m2,a2)，F(xiàn)By＝FABsin60°＝eq\r(3)Geq\f(m2,a2)，可得FB＝eq\r(Feq\o\al(2,Bx)＋Feq\o\al(2,By))＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)；通過分析可知，圓心O在中垂線AD的中點，RC＝eq\r(\f(\r(3),4)a2＋\f(1,2)a2)，可得RC＝eq\f(\r(7),4)a；三星體運動周期相同，對C星體，由FC＝FB＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)RC，可得T＝πeq\r(\f(a3,Gm))，只有選項B正確．5(多項選擇)[2022·武漢武昌區(qū)調(diào)研]太空中存在一些離其他恒星很遠(yuǎn)的、由三顆星體組成的三星系統(tǒng)，可忽略其他星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種根本的構(gòu)成形式：一種是直線三星系統(tǒng)——三顆星體始終在一條直線上；另一種是三角形三星系統(tǒng)——三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上．某直線三星系統(tǒng)A每顆星體的質(zhì)量均為m，相鄰兩顆星體中心間的距離都為R；某三角形三星系統(tǒng)B的每顆星體的質(zhì)量恰好也均為m，且三星系統(tǒng)A外側(cè)的兩顆星體與三星系統(tǒng)B每顆星體做勻速圓周運動的周期相等．引力常量為G，那么()A．三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運動的線速度大小為v＝eq\r(\f(Gm,R))B．三星系統(tǒng)A外側(cè)兩顆星體運動的角速度大小為ω＝eq\f(1,2R)eq\r(\f(5Gm,R))C．三星系統(tǒng)B的運動周期為T＝4πReq\r(\f(R,5Gm))D．三星系統(tǒng)B任意兩顆星體中心間的距離為L＝eq\r(3,\f(12,5))R答案：BCD[解析]三星系統(tǒng)A中，三顆星體位于同一直線上，外側(cè)兩顆星體圍繞中央星體在半徑為R的同一圓軌道上運行，外側(cè)的其中一顆星體由中央星體和另一顆外側(cè)星體的萬有引力的合力提供向心力，有Geq\f(m2,R2)＋Geq\f(m2,〔2R〕2)＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(\f(5Gm,4R))，A錯誤；三星系統(tǒng)A中，周期T＝eq\f(2πR,v)＝4πReq\r(\f(R,5Gm))，那么其角速度為ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(1,2R)eq\r(\f(5Gm,R))，B正確；由于兩種系統(tǒng)周期相等，即T＝4πReq\r(\f(R,5Gm))，C正確；三星系統(tǒng)B中，三顆星體位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，對其中一顆星體，由萬有引力定律和牛頓第二定律，有2eq\f(Gm2,L2)cos30°＝meq\f(L,2cos30°)eq\f(4π2,T2)，解得L＝eq\r(3,\f(12,5))R，D正確．式題[2022·蘭州診斷考試]北京時間2016年2月1日23∶40左右，激光干預(yù)引力波天文臺(LIGO)負(fù)責(zé)人宣布，人類首次發(fā)現(xiàn)了引力波．它來源于距地球之外13億光年的兩個黑洞(質(zhì)量分別為26個和39個太陽質(zhì)量)互相繞轉(zhuǎn)最后合并的過程．合并前兩個黑洞互相繞轉(zhuǎn)形成一個雙星系統(tǒng)，關(guān)于此雙星系統(tǒng)，以下說法正確的選項是()A．兩個黑洞繞行的角速度相等B．兩個黑洞繞行的線速度相等C．兩個黑洞繞行的向心加速度相等D．質(zhì)量大的黑洞旋轉(zhuǎn)半徑大答案：A[解析]對于兩個黑洞互相繞轉(zhuǎn)形成的雙星系統(tǒng)，其角速度ω相等，周期相等，選項A正確；由于兩個黑洞的質(zhì)量不等，兩個黑洞旋轉(zhuǎn)的半徑不等，質(zhì)量較小的黑洞旋轉(zhuǎn)半徑較大，質(zhì)量較大的黑洞旋轉(zhuǎn)半徑較小，選項D錯誤；由v＝ωr可知，兩個黑洞繞行的線速度不等，質(zhì)量小的黑洞線速度較大，選項B錯誤；兩個黑洞繞行時其向心力由兩個黑洞之間的萬有引力提供，向心力相等，而由于兩個黑洞的質(zhì)量不等，由牛頓第二定律可知，兩個黑洞繞行的向心加速度不等，質(zhì)量較小的黑洞向心加速度較大，選項C錯誤．■方法技巧多星問題的解題技巧(1)挖掘一個隱含條件：在圓周上運動天體的角速度(或周期)相等．(2)重視向心力來源分析：雙星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，三星或多星做圓周運動，向心力往往是由多個星的萬有引力的合力提供．(3)區(qū)別兩個長度關(guān)系：圓周運動的軌道半徑和萬有引力公式中兩天體的距離是不同的，不能誤認(rèn)為一樣．【教師備用習(xí)題】1．[2022·福建卷]設(shè)太陽質(zhì)量為M，某行星繞太陽公轉(zhuǎn)周期為T，軌道可視作半徑為r的圓．引力常量為G，那么描述該行星運動的上述物理量滿足()A．GM＝eq\f(4π2r3,T2)B．GM＝eq\f(4π2r2,T2)C．GM＝eq\f(4π2r2,T3)D．GM＝eq\f(4πr3,T2)[解析]A行星繞太陽公轉(zhuǎn)，由萬有引力提供向心力，即Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)r，解得GM＝eq\f(4π2r3,T2)，A正確．2．“嫦娥一號〞是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球外表高度為200km的圓形軌道上運行，運行周期為127min.引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半徑約為1.74×10A．8.1×1010kgB．7.4×1013kgC．5.4×[解析]D由萬有引力充當(dāng)向心力，有Geq\f(Mm,〔r＋h〕2)＝meq\f(4π2,T2)(r＋h)，可得月球質(zhì)量M＝eq\f(4π2〔r＋h〕3,GT2)＝7.4×1022kg，選項D正確．3．我國志愿者王躍曾與俄羅斯志愿者一起進(jìn)行“火星-500”的實驗活動．假設(shè)王躍登陸火星后，測得火星的半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，火星的質(zhì)量是地球質(zhì)量的eq\f(1,9).地球外表的重力加速度為g，地球的半徑為R，王躍在地面上能向上豎直跳起的最大高度為h，忽略自轉(zhuǎn)的影響，引力常量為G，以下說法正確的選項是()A．火星的密度為eq\f(2g,3πGR)B．火星外表的重力加速度是eq\f(2,9)gC．火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比為eq\f(2,3)D．王躍以與在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能到達(dá)的最大高度是eq\f(9,2)h[解析]A對地球外表上質(zhì)量為m的物體，由牛頓第二定律，有Geq\f(Mm,R2)＝mg，那么M＝eq\f(gR2,G)，火星的密度為ρ＝eq\f(\f(1,9)M,\f(4π,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))\s\up12(3))＝eq\f(2g,3πGR)，選項A正確；對火星外表上質(zhì)量為m′的物體，由牛頓第二定律，有Geq\f(\f(M,9)m′,\f(R,2)2)＝m′g′，那么g′＝eq\f(4,9)g，選項B錯誤；火星的第一宇宙速度與地球的第一宇宙速度之比eq\f(v′1,v1)＝eq\f(\r(g′\f(R,2)),\r(gR))＝eq\f(\r(2),3)，選項C錯誤；王躍跳高時，分別有h＝eq\f(veq\o\al(2,0),2g)和h′＝eq\f(veq\o\al(2,0),2g′)，所以在火星上能到達(dá)的最大高度為eq\f(9,4)h，選項D錯誤．4．[2022·北京卷]萬有引力定律揭示了天體運行規(guī)律與地上物體運動規(guī)律具有內(nèi)在的一致性．(1)用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果．地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G.將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響．設(shè)在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數(shù)是F0.①假設(shè)在北極上空高出地面h處稱量，彈簧秤讀數(shù)為F1，求比值eq\f(F1,F0)的表達(dá)式，并就h＝1.0%R的情形算出具體數(shù)值(計算結(jié)果保存兩位有效數(shù)字)；②假設(shè)在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F2，求比值eq\f(F2,F0)的表達(dá)式．(2)設(shè)想地球繞太陽公轉(zhuǎn)的圓周軌道半徑r、太陽的半徑Rs和地球的半徑R三者均減小為現(xiàn)在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變．僅考慮太陽和