《直角三角形》第1課時(shí)示范公開課教案【八年級數(shù)學(xué)下冊北師大版】

《直角三角形》教學(xué)設(shè)計(jì)第1課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)1.了解勾股定理及其逆定理的證明方法．2.進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力．3.結(jié)合具體例子了解逆命題、逆定理的概念，會(huì)識別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立．4.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心，對數(shù)學(xué)命題的獲得產(chǎn)生好奇心和求知欲．二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：了解勾股定理及其逆定理的證明方法，結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立．難點(diǎn)：勾股定理及其逆定理的證明方法．三、教學(xué)用具電腦、多媒體、課件、教學(xué)用具等四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境【復(fù)習(xí)回顧】教師活動(dòng)：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考回答.提出問題：直角三角形的性質(zhì)有哪些？預(yù)設(shè)：1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余.∠A+∠B=90°2.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.a2+b2=c23.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.BC=12AB學(xué)生思考回答問題回顧以前學(xué)習(xí)的內(nèi)容，從學(xué)生熟悉的知識入手，加深學(xué)生印象，提出問題，引發(fā)學(xué)生思考，進(jìn)而導(dǎo)入新課內(nèi)容.環(huán)節(jié)二探究新知【探究】探究1提出問題：直角三角形的兩個(gè)銳角有怎樣的關(guān)系？為什么？預(yù)設(shè)：在直角三角形中，兩個(gè)銳角的和等于90°，即這兩個(gè)銳角互余.理由：由三角形內(nèi)角和定理，易得：兩銳角的和=180°–90°=90°.追問：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？為什么？預(yù)設(shè)：是直角三角形理由如下：已知：如圖，在△ABC中，∠A+∠B=90°.求證：△ABC是直角三角形.證明：在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有：∠A+∠B+∠C=180°，又有∠A+∠B=90°，∴∠C=180°–90°=90°.∴△ABC是直角三角形.總結(jié)：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.探究2勾股定理的各種表達(dá)式：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，則:預(yù)設(shè)：a2+b2=c2，b2=c2-a2，a2=c2-b2問題3：求以線段a、b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長：①a＝3，b＝4；②a＝2.5，b＝6；③a＝4，b＝7.5.預(yù)設(shè)：①c=5②c=6.5③c=8.5思考：以前我們已經(jīng)學(xué)過了通過角的關(guān)系來確定直角三角形，可不可以通過邊來確定直角三角形呢？教師活動(dòng)：教師重視學(xué)生的課堂參與，讓學(xué)生在活動(dòng)中自主探究以及與同伴交流，有條理的進(jìn)行思考和表達(dá)思考的過程，獲得分析問題和解決問題的能力.勾股定理證明的方法：方法一：拼圖計(jì)算方法二：割補(bǔ)法方法三：趙爽的弦圖方法四：總統(tǒng)證法方法五：青朱出入圖方法六：達(dá)·芬奇證明法勾股定理?直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.思考：在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，我們曾用度量的辦法得出“這個(gè)三角形是直角三角形”的結(jié)論.你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？教師活動(dòng)：講解證明思路及證明過程，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)證明思路及證明過程，得出結(jié)論.已知：如圖，在△ABC中，滿足AB2+AC2=BC2．求證：△ABC是直角三角形．證明：作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°，A′B′=AB，A′C′=AC，則A′B′2+A′C′2=B′C′2(勾股定理)∵AB2+AC2=BC2，A′B′=AB，A′C′=AC，∴BC2=B′C2.∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠A=∠A′=90°(全等三角形的對應(yīng)角相等)，因此，△ABC是直角三角形.定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.作用：判斷三角形是否為直角三角形.注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式.核心：只要滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長邊所對應(yīng)的角為直角.【議一議】教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生觀察這些成對命題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系，歸納出它們的共性，進(jìn)一步得出“互逆定理”的概念.前面我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)定理，分別為：定理1直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.定理2如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形.問題1：兩個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是什么？問題2：兩個(gè)命題的條件和結(jié)論有何聯(lián)系？預(yù)設(shè)：它們是條件和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題.再觀察下面三組命題:如果兩個(gè)角是對頂角，那么它們相等；如果兩個(gè)角相等，那么它們是對頂角.如果小明患了肺炎，那么他一定發(fā)燒；如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.一個(gè)三角形中相等的邊所對的角相等；一個(gè)三角形中相等的角所對的邊相等.上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎?命題與逆命題：在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.例：等腰三角形有兩個(gè)角相等.互逆命題有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.教師活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生理解掌握互逆命題的定義.【想一想】你能寫出命題“如果兩個(gè)有理數(shù)相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎?教師活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，然后小組展開交流，最后派兩位同學(xué)上臺講解，并及時(shí)對學(xué)生給予肯定和鼓勵(lì).預(yù)設(shè)：如果兩個(gè)有理數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等.追問：它們都是真命題嗎?答案：第二個(gè)是假命題.想一想:一個(gè)命題是真命題，它的逆命題是真命題還是假命題?一個(gè)命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一些互逆的定理,如：1.勾股定理及其逆定理；2.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.追問：你還能舉出一些例子嗎?預(yù)設(shè)：如“全等三角形的對應(yīng)邊相等”和“三邊對應(yīng)相等的三角形是全等三角形”；“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”等.思考并回答問題.學(xué)生獨(dú)立思考，小組交流反饋.學(xué)生認(rèn)真思考，得出猜想后，小組合作進(jìn)行證明，然后班內(nèi)交流，并認(rèn)真聽老師的講評.學(xué)生思考，然后小組內(nèi)討論交流回答問題.學(xué)生思考，小組交流并回答問題.學(xué)生思考，說出原命題的逆命題.學(xué)生思考，嘗試回答.此活動(dòng)是從角的角度研究直角三角形的性質(zhì)與判定并對其結(jié)論進(jìn)行證明，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的邏輯思維能力.以前我們曾經(jīng)利用圖形割補(bǔ)的方法驗(yàn)證了勾股定理，而此處對勾股定理的證明應(yīng)以我們認(rèn)定的幾條基本事實(shí)和由此推出的定理為依據(jù)進(jìn)行.雖然證明的方法有多種，但對于學(xué)生來說，這些證明都有一定難度，因此沒有在正文中給出證明過程，不要求所有學(xué)生都掌握.逆定理證明是本節(jié)課難點(diǎn)，在證明時(shí)只要求學(xué)生能夠接受證明的方法和過程即可,不需要對學(xué)生提出更高的要求.通過師生的共同探究，使學(xué)生掌握互逆命題和互逆定理的定義,提高學(xué)生的推理及歸納能力，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和發(fā)展演繹推理能力，同時(shí)，既培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考與小組合作討論的能力，又讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系存在的必然性，掌握對數(shù)學(xué)問題初步的推理證明方法.通過幾對數(shù)學(xué)和生活中的命題，讓學(xué)生觀察這些成對命題的結(jié)論與條件之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生歸納出它們的共性，以得到“互逆命題”的概念.這個(gè)命題的條件和結(jié)論都比較明顯、簡單，寫出其逆命題對學(xué)生來說沒有什么問題，關(guān)鍵是讓學(xué)生驗(yàn)證逆命題的正確性，并能意識到一對互逆命題的真假性不一定一致.環(huán)節(jié)三應(yīng)用新知【典型例題】教師提出問題，學(xué)生先獨(dú)立思考，解答.然后再小組交流探討，教師巡視，如遇到有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥，最終教師展示答題過程.例若△ABC的三邊a，b，c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷△ABC是否是直角三角形？【分析】把所給的等式進(jìn)行因式分解，分解后的每項(xiàng)因式整理為非負(fù)數(shù)相加得0的形式，求出三角形三邊的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2－6a+b2－8b+c2－10c+50=0a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0∴a=3，b=4，c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.思考問題，嘗試回答問題，明確例題的做法.通過例題提高學(xué)生應(yīng)用勾股定理及其逆定理的能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的探索、發(fā)現(xiàn)、掌握、應(yīng)用的過程.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的嚴(yán)謹(jǐn)性，語言表述的準(zhǔn)確性.環(huán)節(jié)四鞏固新知教師給出練習(xí)，隨時(shí)觀察學(xué)生完成情況并相應(yīng)指導(dǎo)，最后給出答案，根據(jù)學(xué)生完成情況適當(dāng)分析講解.【隨堂練習(xí)】1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是（）A.∠B=∠C-∠AB.a2=(b+c)(b-c)C.∠A：∠B：∠C=5：4：3D.a:b:c=5:4:3答案：C2.下列定理中，有逆定理的定理個(gè)數(shù)是（）①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；②若三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形；③全等三角形的對應(yīng)角相等；④若a=b，則a2=b2.A.1個(gè)B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)答案：B3.說出下列命題的逆命題，并判斷每對命題的真假：(1)四邊形是多邊形；(2)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3)如果ab=0，那么a=0，b=0.解：(1)四邊形是多邊形為真命題，逆命題：多邊形是四邊形，此逆命題為假命題；(2)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)為真命題，逆命題：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，此逆命題為真命題；(3)如果ab=0，那么a=0，b=0為假命題；逆命題：如果a=0，b=0，那么ab=0，此逆命題為真命題.4.在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的長.【分析】由等腰三角形的判定可得AC=BC=3，由三角形的內(nèi)角和定理可求得∠C=90°，再利用勾股定理計(jì)算可求解.解:∵∠A=∠B=45°，∴AC=BC=3，∠C=180°?45°?45°=90°，∴AB=5.已知：在△ABC中，∠ACB=90°，D為邊AC上的任意一點(diǎn).求證：BD2+AC2=CD2+AB2.證明:∵∠ACB=90°.在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2=AC2+BC2，∴BC2=AB2?AC2；又∵在Rt△BCD中.BC2=BD2?CD2，∴AB2?AC2=BD2?CD2.即BD2+AC2=