機械制圖第一章 點直線平面的投影

機械制圖第一章點直線平面的投影第一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日第一章投影法和點、直線、平面的投影§1投影法§2點的投影§3直線的投影§4平面的投影§5直線與平面以及兩平面之間的相對位置第二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日§1投影法實例：物體在光線的照射下，就會在地面或墻面上產生投影。投影第三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一、投影法的基本概念PABCabcS投影投影面

投射線投射中心第四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日二、投影法的分類投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法第五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日中心投影法：投射線匯交于一點的投影法ABC中心投影法SPabc投射中心投影面投射線投影（投影圖）透視投影、透視圖或透視

通常用于繪制建筑物或產品的富有逼真感的立體圖第六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日平行投影法：所有投射線都互相平行的投影法平行投影法（正、斜投影）ABC投影面P投射線abc投射方向ABC投影面P投射線投影（投影圖）投影（投影圖）投射方向abc投射方向垂直于投影面第七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日注：正投影的基本性質HabHHHcedECDABEFACDBabABdabccedDECABabef1.積聚性3.類似性2.真實性4.平行性OK第八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日§2點的投影一、兩投影面體系二、點在兩投影面體系中的投影三、點在三投影面體系中的投影四、兩點的相對位置第九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Pa一、兩投影面體系AA0A1由點的一個投影不能確定點的空間位置第十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日V-H兩投影面體系的形成正立投影面（V面）水平投影面（H面）OK投影軸（OX）第十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日二、點在兩投影面體系中的投影OAHVXaxaa正面投影水平投影立體圖演示OVXaxaHa投影面展開后投影圖OXaa點A的水平投影——

a點A的正面投影——

a第十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日點在兩投影面體系中的投影特性（1）點的投影連線垂直于投影軸，即a’a⊥OX;（2）點的投影與投影軸的距離，等于該點與相鄰投影面的距離，即a’ax=Aa,aax=Aa’。

OAHVXOVXaxaHa投影面展開后投影圖OXaa立體圖axaa第十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日三、點在三投影面體系中的投影

三投影面體系構成Ⅰ側立投影面（W面）正立投影面（V面）水平投影面（H面）第十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日點在三投影面體系中的投影ⅠOAHXaxaa正面投影水平投影立體圖WVa"azayZY側面投影第十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日點在三投影面體系中的投影ⅡOVXaxaHa投影面展開后a"ZWazayHayWYHYWOXaa投影圖a"ZYHYW第十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日1.aaX軸，aaz=aay

=

XA2.aaZ軸，aax

=aay=

ZA3.aax

=aaz

=YA(A)點在三投影面體系中的投影規(guī)律三面投影特性：（1）點的投影連線垂直于投影軸（2）點的投影到投影軸的距離，等于該點與對應的相鄰投影面的距離Ha'aa"VWXOZYWYHaxayazayHVXOZYWa'aa"Aaxazay第十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日ZYHXYWOa'a"a[例題1]已知點A的正面投影a’和水平投影a，求其側面投影a”。1.a’aOX;2.a’a”O(jiān)Z;3.aax=a”az

第十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日OXaaa"ZYHYW[例題2]求點A的水平投影第十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Ha'aa"VWXOZYWYHaxayazay(xA,zA)(xA,yA)(yA,zA)HVXOZYWa'aa"ayaxazxyzA1.點的坐標XA(Oax)=Aa”——點到W投影面的距離；YA(Oay)=Aa’——點到V投影面的距離；ZA(Oaz)=Aa——點到H投影面的距離。點到投影面的距離2.點的投影(B)點的投影和坐標第二十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日投影面和投影軸上的點投影規(guī)律VXZYWOaaaAbBbb"ccc"ddd"CDOaaa"ZYHYWbbb"ccc"ddd"投影面和投影軸上的點投影特性：（1）投影面上的點有一個坐標為零；在該投影面上的投影與該點重合，在相鄰投影面上的投影分別在相應的投影軸上。（2）投影軸上的點有兩個坐標為零；在包含這條軸的兩個投影面上的投影都與該點重合，在另一投影面上的投影則與點O重合。第二十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日VHXOa'ab'bc'cABC〔例題3〕根據投影圖判斷點在空間的位置OK第二十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日XOZY四、兩點的相對位置兩點中X值大的點——在左兩點中Y值大的點——在前兩點中Z值大的點——在上XZYWYHOa'a"ab'bb"a"a'ab"b'bBA上-下左-右后-前后-前后-前兩點間的相對位置可用它們同方向的坐標差值來判斷第二十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日[例題4]已知點A、B的兩面投影，求作第三面投影，并判斷這兩點的相對位置。XAXB，點A在點B的

方YAYB，點A在點B的

方ZAZB，點A在點B的

方結論：點A在點B的、、方OXaa"ZYHYWbb第二十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日[例題4]題解XA

<XB，點A在點B的

右

方YA

<YB，點A在點B的

后

方ZA

>ZB，點A在點B的

上

方結論：點A在點B的

右、后、上

方aOXaa"ZYHYWbbb"OXaa"ZYHYWbb第二十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日重影點及可見性OAHXa(b')a立體圖WVa"ZYbb"BaOXZYHYWb"a"ba'(b)投影圖當空間兩點在某一投影面上的投影重合成一點時稱為對該投影面的重影點。第二十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日如何判斷重影點的可見性？正面投影----前遮后水平投影----上遮下側面投影----左遮右不可見的點的投影用投影符號外加括號方式表達第二十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日[例題5]已知點B距離點A為15，點C與點A是對V面投影的重影點，點D在點A的正下方20，補全諸點的三面投影，并表明可見性。YW第二十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日[例題5]已知點B距離點A為15，點C與點A是對V面投影的重影點，點D在點A的正下方20，補全諸點的三面投影，并表明可見性。YW第二十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一、直線的投影二、直線對投影面的各種相對位置三、一般位置直線的實長及其

對投影面的傾角（直角三角形法）四、直線上的點的投影五、兩直線的相對位置六、垂直兩直線的投影(直角投影定理)§3直線的投影第三十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日直線的投影一般情況下仍為直線，特殊情況下為一點。HABabDCc(d)一、直線的投影第三十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一、直線的投影oxzyHyWbabaabγαβbabaabAB直線上兩點同面投影的連線可確定直線的投影但不能確定直線對投影面的傾角OK第三十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日二、直線對投影面的各種相對位置特殊位置直線（一）投影面平行線（二）投影面垂直線水平線//水平面正平線//正平面?zhèn)绕骄€//側平面鉛垂線水平面正垂線正平面?zhèn)却咕€側平面（三）一般位置直線與三個投影面均傾斜的直線第三十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（一）投影面平行線——水平線VHWOXYZbabaabABγγββ投影特性：1.a'b'//OX，a"b"http://OY2.ab=AB3.反映、角的真實大小oxzyHyWbabaab第三十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（一）投影面平行線——正平線投影特性：1.ab//OX，a"b"http://OZ2.a'b'=AB3.反映、角的真實大小第三十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（一）投影面平行線——側平線投影特性：1.a'b'//OZ，ab//OY2.a"b"=AB3.反映、角的真實大小第三十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日投影面平行線的投影特性1.在與其平行的投影面上的投影反映實長,其與相鄰投影軸的夾角反映直線對另外兩投影面的真實傾角；2.另兩投影長度縮短,且分別平行與相應的投影軸。第三十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日投影特性：1.ab積聚成一點2.a’b’OX;a"b"

OY

3.a’b’=a"b"=AB（二）投影面垂直線——鉛垂線oxzyHyWbaabVHWOXYZABbaaba(b)a(b)第三十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日HW（二）投影面垂直線——正垂線投影特性：1.a’b’

積聚成一點2.abOX;a"b"OZ3.ab=a"b"=AB第三十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日HW（二）投影面垂直線——側垂線投影特性：1.a’’b’’

積聚成一點2.abOY;a’b’

OZ3.ab=a’b’=AB第四十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日HW投影面垂直線的投影特性在與其垂直的投影面上的投影積聚成一點;另兩投影反映實長,且分別垂直于相應的投影軸。第四十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（三）一般位置直線的投影特性oxzyHyWbabaabbabaabAB1.直線的三個投影均為長度縮短的直線;2.直線的投影中不能反映直線的實長和傾角。OK第四十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日1.求直線的實長及對水平投影面的傾角角2.求直線的實長及對正立投影面的傾角角3.求直線的實長及對側立投影面的傾角角三、一般位置直線的實長及其對投影面的傾角（直角三角形法）第四十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日1.求直線的實長及對水平投影面的夾角角ZAB

ABZABabZABABABabZAB第四十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日2.求直線的實長及對正面投影面的夾角角a’b’ABYABABABa’b’YABYABYAB

第四十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Xa’b’b30°ababaa例1已知AB直線的正面投影a’b’及點B的水平投影b,=30°,求ab。OK第四十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日VHAB

AC：CB=ac：cb=a’c’：c’b’=a’’c’’：c’’b’’Cbaabcc2.點分線段成定比，其空間比等于投影比。四、直線上點的投影1.點在線上，則點的投影必在直線的同面投影上；第四十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日OXbabacc

AC:CB=ac:cb

=a’c’:c’b’=2:1

例2已知線段AB的投影圖，試將AB分成

AC:CB=2:1兩段，求分點C的投影。第四十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日cabcc’例3已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。OK第四十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（一）平行兩直線（二）相交兩直線

（三）

交叉兩直線共面直線異面直線兩直線相對位置的投影規(guī)律兩直線相對位置的判別方法五、兩直線的相對位置第五十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日VHOXb’aa’d’bbcc’xob’a’abdc’d’c1.平行兩直線的同面投影仍然平行。DCBA2.平行兩直線在投影后，長度比保持不變。（一）平行兩直線平行兩直線投影特性：第五十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

若兩直線的各同面投影均互相平行,則它們空間平行。Xabcda’b’d’c’ZOYHYWa”b”c”d”判別：第五十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日CDABVHXOcdabacdbbacdcadb

相交兩直線的同面投影必相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律。k'kKXOk'k（二）相交兩直線第五十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日

若兩直線的各同面投影均相交,且交點的投影符合點的投影規(guī)律，則兩直線空間相交。判別：若兩直線的同面投影相交，但交點的投影不符合點的投影規(guī)律，則不是相交的空間兩直線。第五十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日ob’xa’abc’d’dc11’(2’)2

交叉兩直線的同面投影中，可能有一組或兩組同面投影互相平行，但它們的第三組同面投影是不平行的。

同理，交叉兩直線的同面投影中，可能有一組、兩組或三組同面投影相交，但它們的交點不符合點的投影規(guī)律。（三）交叉兩直線第五十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日d"a"c"b"oYWYHz結論：空間直線AB和CD是兩交叉直線例4判斷空間兩直線AB、CD的相對位置。第五十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例5判斷空間兩直線AB、CD的相對位置。1’11’d’1’c’結論：直線AB、CD是兩交叉直線。第五十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日XOdcbaabcd判斷兩直線重影點的可見性。3’4’341’2’12()()OK第五十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日H空間兩直線互相垂直，若其中有一條直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍互相垂直。ABCxobcacabcab若兩直線的某面投影互相垂直，且其中一條平行于該投影面，則兩直線空間互相垂直。六、垂直兩直線的投影(直角投影定理)第五十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日交叉垂直的兩直線的投影第六十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Xa’b’c’bcad’d例6已知長方形ABCD中BC邊的兩投影、AB邊的正面投影（a’b’//OX)，求作長方形的兩投影。第六十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Xa(b)a’b’cdc’d’HABCDEFabecdfff’ee’例7求直線AB和CD間的最短距離。OK第六十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日§4平面的投影一、平面的表示法二、平面對投影面的各種相對位置三、平面上的點和直線第六十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日一、平面的表示法（一）、用幾何元素表示平面

用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。（二）、平面的跡線表示法

平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。第六十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（一）、用幾何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcdd第六十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（二）、平面的跡線表示法PPVPHPVPHQVQVQOK第六十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日投影面平行面投影面垂直面特殊位置平面水平面//H面正平面//V面?zhèn)绕矫?/W面鉛垂面H面正垂面V面?zhèn)却姑鎃面一般位置平面二、平面對投影面的各種相對位置第六十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日VHWOXYZPHoxzyHyWbcaPABCbcabcabca（一）投影面垂直面——鉛垂面投影特性：1.abc積聚為一條線。2.abc,abc為ABC的類似形。3.abc與OX,OYH的夾角反映、角的真實大小第六十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日VHWOXYZQVQαoxzyHyWbacbcabcabca投影特性：1.abc積聚為一條線。2.abc,abc為ABC的類似形。3.abc'與OX,OZ的夾角反映α,角的真實大小。ABC（一）投影面垂直面——正垂面第六十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日VHWOXYZ（一）投影面垂直面——側垂面投影特性：1.abc積聚為一條線。2.abc,abc為ABC的類似形。3.abc與OZ,OYw的夾角反映α、角的實大小。αβSWSABCbcaoxzyHyWbcabcabca第七十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日投影面垂直面的投影特性VHWOXYZQVQαoxzyHyWbacbcabcabcaABC在所垂直的投影面上的投影積聚為直線;其積聚性投影與投影軸的夾角反映了平面對另兩投影面的真實傾角。2.另兩投影為縮小的類似形。第七十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日投影特性：(1)abc、abc積聚為一條線，具有積聚性，且分別平行于投影軸OX和OY(2)水平投影

abc反映

ABC真形CABa"b"c'baca'b'c"cab'b"baa"cc"（二）投影面平行面——水平面第七十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日投影特性：(1)abc

、abc積聚為一條線，具有積聚性，且分別平行于投影軸OX和OZ(2)正平面投影

abc反映

ABC真形c"a"b"b'a'c'bcab'a'c'a"b"c"bcaCBA（二）投影面平行面——正平面第七十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日投影特性：(1)abc

、abc積聚為一條線，具有積聚性，且分別平行于投影軸OY和OZ(2)側平面投影

abc

反映

ABC真形a'b'b"ba"c'c"cab"c'baca'b'c"CABa"（二）投影面平行面——側平面第七十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日投影面平行面的投影特性1.在所平行的投影面上的投影反映真形;2.另兩投影積聚為直線,且分別平行于相應的投影軸。c’’Ya’’b’’b’oYa’c’bcaXZ第七十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（三）一般位置平面投影特性：1.三個投影均為縮小的類似形。2.各投影都不反映實形與傾角。

第七十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例1根據投影判定平面的位置a’b’c’abca'b'abc'cOXZYHYWa"aa'b'b"bc'c"caa'b'bc'cb'bc'ca'aabca'b'c'正平面鉛垂面正垂面水平面?zhèn)却姑鎮(zhèn)绕矫娴谄呤唔?，共一百零五頁?022年，8月28日例2過點A作鉛垂面，使=30o。Xa’a30ob’c’bc例3過直線AB作正垂面。Xa’b’abcc’OK第七十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日EDFd'de'ef'f1.直線和點在平面上的幾何條件1）直線過平面上兩點；2）直線過平面上一點且平行于平面內任意直線。3）點在平面內的任意直線上。三、平面上的點和直線第七十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日已知平面的投影和其上點或直線的一個投影,根據它們的從屬關系,求出點或直線的未知投影。2.在平面上取點和直線FffQ第八十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例4

已知

ABC給定一平面，試判斷點D是否屬于該平面。ee第八十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例5

已知點D在

ABC上，試求點D的水平投影。deexocbacbad第八十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例6已知MN是平面ABCD內的一條直線，求其水平投影。a'b'c'd'abdcm'n'mn綠色的直線在平面內嗎？第八十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例7判定點K、E點是否在平面ABC內。a'b'c'abce'ek'k不在！在！平面是可以無限延伸的第八十四頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例8完成平面四邊形ABCD的投影。abcda'b'c'od'第八十五頁，共一百零五頁，2022年，8月28日線在面上的幾何條件；平行線的投影特性。3.平面上的投影面平行線第八十六頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例9

已知ABC給定一平面，試過點C作屬于該平面的正平線，過點B作屬于該平面的水平線。mn1'mn1第八十七頁，共一百零五頁，2022年，8月28日mnmnrsrs1015ee例10

已知點E

在ABC平面上，且點E距離H面15，距離V面10，試求點E的投影。OK第八十八頁，共一百零五頁，2022年，8月28日§5直線與平面以及兩平面之間的相對位置一、平行問題二、相交問題三、垂直問題第八十九頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（一）直線與平面平行PABCDEF幾何條件：若直線平行于平面上任意直線，則線、面平行。2.若線、面平行，則過平面內任一點必能在平面內作一直線平行于已知直線。一、平行問題第九十頁，共一百零五頁，2022年，8月28日例1判斷直線AB是否平行于ΔCDE平面。fg’f’g結論：直線AB不平行于ΔCDE平面。b’a’abc’e’d’edcOX第九十一頁，共一百零五頁，2022年，8月28日b’a’例2過點K作水平線AB平行于ΔCDE平面c’e’d’dk’kXOecaf’fb第九十二頁，共一百零五頁，2022年，8月28日Xabca’b’c’d’de’eL當直線平行于特殊位置平面時，平面的積聚性投影平行于直線的同面投影。例3過點A作一鉛垂面平行與BC直線第九十三頁，共一百零五頁，2022年，8月28日（二）兩平面互相平行幾何條件：兩平