全等三角形的九大模型【核心知識(shí)精細(xì)梳理+鞏固提升訓(xùn)練】人教版八年級(jí)數(shù)學(xué) 上冊(cè) 核心考點(diǎn)精講精練 （含答案解析）

全等三角形的九種模型題型1：平移全等模型1.如圖，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求證：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．【分析】（1）利用SSS即可證△ABC和△DEF全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠DEF，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行即可解決問題．【解答】證明：（1）∵BE＝CF，BE+CE＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）；（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠B＝∠DEF，∴AB∥DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及平行線的判斷等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABC≌△DEF．【變式1-1】如圖，A、D、C、F在一條直線上，BC與DE交于點(diǎn)G，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF，求證：∠B＝∠E．【分析】根據(jù)SSS證明△ABC≌△DEF，即可解決問題．【解答】證明：∵AD＝CF，∴AC＝DF．在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABC≌△DEF．【變式1-2】如圖，已知∠B＝∠DEF，AB＝DE，BE＝CF．試說明AC∥DF．【分析】欲證明AC∥DF，只要證明∠ACB＝∠F，只要證明△ABC≌△DEF即可．【解答】證明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠F，∴AC∥DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的條件解決問題，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．【變式1-3】如圖，點(diǎn)A，B，D，E在同一條直線上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．請(qǐng)判斷∠C與∠F是否相等？并說明你的理由．【分析】由平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠EDF，證明△ABC≌△DEF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【解答】解：∠C＝∠F．理由：∵AC∥DF，∴∠A＝∠EDF，∵AD＝BE，∴AB＝DE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠C＝∠F．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件．題型2：對(duì)稱全等模型2.如圖，已知AD＝AB，AC＝AE，求證：∠B＝∠D．【分析】利用SAS證明△ABC≌△ADE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得解．【解答】證明：在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠B＝∠D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用SAS證明△ABC≌△ADE是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】如圖，F(xiàn)、B、E、C四點(diǎn)共線，AB與DE相交于點(diǎn)O，AO＝DO，OB＝OE，BF＝CE，求證：∠D＝∠A．【分析】由OB＝OE得∠DEF＝∠ABC，由AO＝DO，BF＝CE得DE＝AB，EF＝BC，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△DEF≌△ABC，得∠D＝∠A．【解答】證明：∵OB＝OE，∴∠DEF＝∠ABC，∵AO＝DO，BF＝CE，∴AO+OB＝DO+OE，CE+BE＝BF+BE，∴DE＝AB，EF＝BC，在△DEF和△ABC中，，∴△DEF≌△ABC（SAS），∴∠D＝∠A．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角并且通過推理證明三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】如圖所示∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上且BE＝CF．（1）求證：∠E＝∠F；（2）若PO平分∠EPF，則PO與線段BC有什么關(guān)系？為什么？【分析】（1）根據(jù)已知條件證明Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)Rt△ABF≌Rt△DCE可得出∠E＝∠F，即△PEF為等腰三角形，又因?yàn)镻O平分∠EPF，根據(jù)三線合一可知PO垂直平分EF，從而得出PO垂直平分BC．【解答】（1）證明：∵BE＝CF，BC＝CB，∴BF＝CE，在Rt△ABF與Rt△DCE中，∵，∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴∠E＝∠F；（2）解：PO垂直平分BC，∵Rt△ABF≌Rt△DCE，∴∠E＝∠F，∴△PEF為等腰三角形，又∵PO平分∠EPF，∴PO⊥BC（三線合一），EO＝FO（三線合一），又∵EB＝FC，∴BO＝CO，∴PO垂直平分BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定及性質(zhì)、垂直平分線的判定、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，難度不大，但綜合性較強(qiáng)，考驗(yàn)了學(xué)生綜合分析問題的能力．【變式2-3】如圖，C是AB的中點(diǎn)，AE＝BD，∠A＝∠B．求證：∠E＝∠D．【分析】只要證明△ACE≌△BCD，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)即可解題．【解答】證明：∵C是AB的中點(diǎn)，∴AC＝BC，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠E＝∠D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，本題中求證△ACE≌△BCD是解題的關(guān)鍵．題型3：旋轉(zhuǎn)全等模型3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，連接DE交AC于點(diǎn)F．（1）若∠B＝70°，求∠C的度數(shù)；（2）若AE＝AC．求證：AD平分∠BDE．【分析】（1）由AD＝AB得∠B＝∠ADB＝70°，則∠BAD＝∠CAE＝40°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠C＝∠CAE＝40°；（2）先證明△BAC≌△DAE，得∠B＝∠ADE，所以∠ADB＝∠ADE，則AD平分∠BDE．【解答】（1）解：∵AD＝AB，∠B＝70°，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝40°，∴∠BAD＝∠CAE＝40°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝40°．（2）證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，∵在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS），∴∠B＝∠ADE，∴∠ADB＝∠ADE，∴AD平分∠BDE．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及證明△BAC≌△DAE是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】如圖，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，若∠CAE+∠ACE+∠ADE=130°，則∠ADE的度數(shù)為（）A．50°B．65°C．70°D．75°【答案】B【詳解】在和中（SAS）故選：B．【變式3-2】在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如圖①，求證：∠ABC＝∠ADE；（2）如圖②，若AD平分∠CAE，∠DAE＝30°，點(diǎn)C在線段BE上，則∠D＝30度．【分析】（1）由AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”即可證明△ABC≌△ADE，則∠ABC＝∠ADE；（2）由AC＝AE，AD平分∠CAE得AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，則∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，所以∠D＝∠ABC＝30°．【解答】（1）證明：如圖①，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ABC＝∠ADE．（2）解：如圖②，設(shè)AD與CE交于點(diǎn)F，∵AC＝AE，AD平分∠CAE，∴AD⊥CE，∠DAE＝∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°，∴∠ABC＝30°，由（1）得∠ABC＝∠D，∴∠D＝30°，故答案為：30．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，證明△ABC≌△ADE是解題的關(guān)鍵．題型4：K字模型（一線三垂直/等角）4.如圖在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)N，求證：（1）△ADC≌△CEB；（2）DE＝AD+BE．【分析】（1）由垂直得∠ADC＝∠BEC＝90°，由同角的余角相等得：∠DAC＝∠BCE，因此根據(jù)AAS可以證明）△ADC≌△CEB；（2）由（1）中的全等得：DC＝BE，AD＝EC，根據(jù)線段的和可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠DAC＝∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB；（2）∵△ADC≌△CEB，∴DC＝BE，AD＝EC，∵DE＝DC+EC，∴DE＝BE+AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，屬于常考題型，熟練掌握全等三角形的判定方法是關(guān)鍵；在證明角相等時(shí)常利用同角的余角相等來證明角的大小關(guān)系；要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．【變式4-1】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的長(zhǎng)．【分析】先證明△ACD≌△CBE，再求出EC的長(zhǎng)，解決問題．【解答】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴∠E＝∠ADC＝90°∵∠BCE+∠ACE＝∠DAC+∠ACE＝90°∴∠BCE＝∠DAC∵AC＝BC∴△ACD≌△CBE∴CE＝AD，BE＝CD＝2.5﹣1.7＝0.8（cm）．【點(diǎn)評(píng)】三角形全等的判定是中考的熱點(diǎn)，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解決問題．【變式4-2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的長(zhǎng)．【分析】由∠AEC＝∠BAC＝α，推出∠ECA＝∠BAD，再根據(jù)AAS證明△BAD≌△ACE得CE＝AD，AE＝BD＝3，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴CE＝AD，AE＝BD＝3，∵DE＝AD+AE＝10，∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BAD≌△ACE是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn)．（1）如圖所示，當(dāng)直線l不與底邊AB相交時(shí)，求證：EF＝AE+BF．（2）當(dāng)直線l繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（b）的位置時(shí)，猜想EF、AE、BF之間的關(guān)系，并證明．（3）當(dāng)直線l繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（c）的位置時(shí)，猜想EF、AE、BF之間的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．【分析】（1）通過AAS證明△ACE≌△CBF，得AE＝CF，CE＝BF，即可證明結(jié)論；（2）由（1）同理可證△ACE≌△CBF（AAS），得AE＝CF，CE＝BF，則EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF；（3）由（1）同理可證△CAE≌△BCF（AAS），得CE＝BF，AE＝CF，從而EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ECA+∠FCB＝90°，又∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEF＝∠BFC＝90°，∴∠ECA+∠EAC＝90°，∴∠FCB＝∠EAC，在△ACE和△CBF中，，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵EF＝EC+CF，∴EF＝AE+BF；（2）解：EF＝AE﹣BF，理由如下：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠FCB＝90°，又∵AE⊥l，BF⊥l，∴∠AEF＝∠BFC＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠FCB，又∵AC＝BC，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∴EF＝CF﹣CE＝AE﹣BF；（3）解：EF＝BF﹣AE，理由如下：∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°，∴∠CAE＝∠BCF，∵AC＝BC，∴△CAE≌△BCF（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE，即EF＝BF﹣AE．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，余角和補(bǔ)角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．題型5：倍長(zhǎng)中線模型5.如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中線，則AD的取值范圍是（）A．3＜AD＜13 B．1.5＜AD＜6.5 C．2.5＜AD＜7.5 D．10＜AD＜16【分析】延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，證明△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出即可．【解答】解：延長(zhǎng)AD到E，使AD＝DE，連接BE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：8﹣5＜AE＜8+5，∴1.5＜AD＜6.5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的三邊關(guān)系定理，倍長(zhǎng)中線等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能推出8﹣5＜2AD＜8+5是解此題的關(guān)鍵．【變式5-1】已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．【分析】此題要證明AB＝CD，不能通過證明△ABE和△CED全等得到，因?yàn)楦鶕?jù)已知條件無法證明它們?nèi)?；那么可以利用等腰三角形的性質(zhì)來解題，為此必須把AB和CD通過作輔助線轉(zhuǎn)化到一個(gè)等腰三角形中，而延長(zhǎng)DE到F，使EF＝DE，連接BF就可以達(dá)到要求，然后利用全等三角形的判定與性質(zhì)就可以證明題目的問題．【解答】證明：延長(zhǎng)DE到F，使EF＝DE，連接BF，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE，∵在△BEF和△CED中，∴△BEF≌△CED（SAS）．∴∠F＝∠CDE，BF＝CD．∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF，又∵BF＝CD，∴AB＝CD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；一般證明線段相等大多數(shù)是通過全等三角形解決問題，有時(shí)沒有全等三角形時(shí)，可以利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題．【變式5-2】題型6：手拉手模型6.如圖，在△ABC和△AEF中，點(diǎn)E在BC邊上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF與AC交于點(diǎn)G．（1）求證：AE＝AB；（2）若∠B＝62°，∠C＝24°，求∠EAC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)得∠BAC＝∠EAF，再利用SAS證明△BAC≌△EAF即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和得∠BAC＝94°，再由AB＝AE，得∠B＝∠AEB＝62°，∠BAE＝56°，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．【解答】（1）證明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠CAF+∠EAC＝∠BAE+∠EAC，即∠BAC＝∠EAF，在△BAC和△EAF中，，∴△BAC≌△EAF（ASA），∴AE＝AB．（2）解：∵∠B＝62°，∠C＝24°，∴∠BAC＝180°﹣62°﹣24°＝94°，∵AB＝AE，∴∠B＝∠AEB＝62°，∴∠BAE＝56°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝94°﹣56°＝38°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，證明△BAC≌△EAF是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】如圖，△ABC是等邊三角形，D為邊BC的中點(diǎn)，BE⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AE上，且AF＝BE，連接CF、CE．求證：（1）∠CAF＝∠CBE；（2）△CEF是等邊三角形．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出∠CAB＝∠CBA＝60°，得出∠CAD＝∠CAB＝30°，則可得出結(jié)論；（2）證明△CAF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，根據(jù)等邊三角形的判定可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝60°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，又∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CBA＝30°，∴∠CAF＝∠CBE；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴CA＝CB，在△CAF和△CBE中，，∴△CAF≌△CBE（SAS），∴CE＝CF，∠ACF＝∠BCE，∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF＝∠ACF+∠BCF＝∠ACB＝60°，∴△CEF是等邊三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△CAF≌△CBE是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】如圖，△ABC和△DCE都是等邊三角形，且B，C，D三點(diǎn)在一條直線上，連接AD，BE相交于點(diǎn)P．（1）求證：BE＝AD．（2）求∠APB的度數(shù)．【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，證明△ACD≌△BCE（SAS），則可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出∠DAC＝∠EBC．則可得出答案．【解答】（1）證明：∵△ABC和△DCE都是等邊三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．（2）解：由（1）可得△ACD≌△BCE（SAS），∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°，∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°，即∠APB＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是解答的關(guān)鍵．【變式6-3】如圖，已知△ABC與△DEC都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°．（1）試說明：△ACD≌△BCE；（2）若AC＝6，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）由∠ACB＝∠DCE＝90°，得∠BCE＝∠ACD，根據(jù)△ABC與△DEC都是等腰三角形得AC＝BC，DC＝EC，故△ACD≌△BCE（SAS）；（2）由△ACD≌△BCE得AD＝BE，根據(jù)AC＝BC＝6得AB2＝AC2+BC2＝72，又∠BAC＝∠CAE＝45°，即知∠BAE＝90°，BE2＝AB2+AE2＝81，故BE＝9，AD＝9．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，又∵△ABC與△DEC都是等腰三角形∴AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AC＝BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2＝72，∵∠BAC＝∠CAE＝45°，∴∠BAE＝90°，在Rt△BAE中，AB2＝72，AE＝3，∴BE2＝AB2+AE2＝81，∴BE＝9，∴AD＝9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形中的全等及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定定理，證明△ACD≌△BCE．題型7：截長(zhǎng)補(bǔ)短模型7.如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)D，已知AC=16，BC=9，則BD的長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】【詳解】解：如圖，在上截取連接平分故選：【變式7-1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且EF＝BE+FD，若∠EAF＝55°，求∠BAD的度數(shù)．【分析】延長(zhǎng)FD到G使DG＝BE，連接AG，如圖，先證明△ABE≌△ADG得到AE＝AG，∠BAE＝∠GAD，再證明△AEF≌△AGF得到∠EAF＝∠FAG＝55°，然后利用∠BAE＝∠GAD得到∠BAD＝∠EAG＝2∠EAF＝110°．【解答】解：延長(zhǎng)FD到G使DG＝BE，連接AG，如圖，∵∠B+∠D＝180°，∠ADG+∠D＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠GAD，∵EF＝BE+FD，∴EF＝DG+DF＝GF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠FAG＝55°，∵∠BAE＝∠GAD，∴∠BAD＝∠EAG＝2∠EAF＝110°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建△ABE≌△ADG．【變式7-2】如圖，在△ABC中，∠ACB=∠ABC=40o，BD是∠ABC的角平分線，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使得DE=DA，則∠ECA=________．【答案】40°【詳解】解：在BC上截取BF=AB，連接DF，∠ACB=∠ABC=40°，BD是∠ABC的角平分線，∠A=100°，∠ABD=∠DBC=20°，∠ADB=60°，∠BDC=120°，BD=BD，△ABD≌△FBD，DE=DA，DF=AD=DE，∠BDF=∠FDC=∠EDC=60°，∠A=∠DFB=100°，DC=DC，△DEC≌△DFC，；故答案為40°．【變式7-3】如圖．在四邊形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE﹣FD．【分析】在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．根據(jù)SAS證明△ABG≌△ADF得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，根據(jù)∠EAF＝∠BAD，可知∠GAE＝∠EAF，可證明△AEG≌△AEF，EG＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF．【解答】證明：在BE上截取BG，使BG＝DF，連接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．在△AEG和△AEF中，，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF，∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，本題中通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時(shí)，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)全等三角形．題型8：平行線+中點(diǎn)模型8.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)．（1）求證：S△CED＝S△ADE+S△BCE．（2）當(dāng)CE＝DE時(shí)，判斷BC與CD的位置關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于F，可證得△AED≌△BEF，DE＝EF，進(jìn)而利用等底等高三角形的面積相等得出結(jié)論；（2）由CE＝DE＝EF，得出∠F＝∠ECF，∠ECD＝∠CDE，進(jìn)一步利用三角形的內(nèi)角和求得∠FCD＝90°，證得結(jié)論．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于F，∵AD∥CF，∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F，∵E是AB中點(diǎn)，∴AE＝BE，在△AED與△BEF中，，∴△AED≌△BEF（AAS），∴DE＝EF，S△AED＝S△EBF，∴S△DEC＝S△EFC＝S△ADE+S△BCE．（2）解：當(dāng)CE＝DE時(shí)，BC⊥CD．理由：∵△AED≌△BEF，∴DE＝EF，∵CE＝DE，∴CE＝DE＝EF，∴∠F＝∠ECF，∠ECD＝∠CDE，∵∠F+∠ECF+∠ECD+∠CDE＝180°，∴∠FCD＝90°，∴BC⊥CD．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，垂線的意義，掌握三角形的全等的判定方法是解決問題的關(guān)鍵．【變式8-1】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中點(diǎn)，AE平分∠BAD，AE⊥BE．（1）求證：BE平分∠ABC；（2）求證：AD+BC＝AB；（3）若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面積．【分析】（1）延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于M，由平行線的性質(zhì)和角平分線得出∠BAE＝∠M，證出AB＝MB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABE＝∠CBE即可；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出AE＝ME，DE＝CE，由SAS證明△ADE≌△MCE，得出AD＝MC，即可得出結(jié)論；（3）證出△MBE的面積＝△ABE的面積＝4，得出△ABM的面積＝8，由全等三角形的性質(zhì)得出△ADE的面積＝△MCE的面積，得出梯形ABCD的面積＝△ABM的面積＝8即可．【解答】（1）證明：延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于M，如圖所示：∵AD∥BC，∴∠M＝∠DAE，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠M，∴AB＝MB，∵AE⊥BE，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC；（2）證明：∵AB＝MB，BE⊥AE，∴AE＝ME，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（SAS），∴AD＝MC，∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；（3）解：∵AB＝MB，AE＝ME，∴△MBE的面積＝△ABE的面積＝4，∴△ABM的面積＝2×4＝8，∵△ADE≌△MCE，∴△ADE的面積＝△MCE的面積，∴梯形ABCD的面積＝△ABM的面積＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、梯形面積的計(jì)算；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．【變式8-2】如圖，點(diǎn)E在△ABC的CB邊的延長(zhǎng)線上，D點(diǎn)在AC邊上，DE交AB于點(diǎn)F，DF＝EF，AD＝BE，求證：△ABC是等腰三角形．【分析】過點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，利用平行線的性質(zhì)可得∠GDF＝∠E，∠DGF＝∠ABE，從而利用AAS可證△DGF≌△EBF，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得DG＝BE，從而可得AD＝DG，進(jìn)而可得∠A＝∠AGD，最后利用平行線的性質(zhì)可得∠AGD＝∠ABC，從而可得∠A＝∠ABC，再利用等角對(duì)等邊即可解答．【解答】證明：過點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，∴∠GDF＝∠E，∠DGF＝∠ABE，∵DF＝EF，∴△DGF≌△EBF（AAS），∴DG＝BE，∵AD＝BE，∴AD＝DG，∴∠A＝∠AGD，∵DG∥BC，∴∠AGD＝∠ABC，∴∠A＝∠ABC，∴AC＝BC，∴△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，DE⊥CE．求證：AD+BC＝DC．【分析】延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于F，可證得△AED≌△BEF，根據(jù)三線合一的性質(zhì)可得出CD＝CF，進(jìn)而利用等線段的代換可證得結(jié)論．【解答】證明：延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于F，∵AD∥CF，∴∠A＝∠ABF，∠ADE＝∠F．在△AED與△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD＝BF，DE＝EF，∵CE⊥DF，∴CD＝CF＝BC+BF，∴AD+BC＝DC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查梯形的知識(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)E是中點(diǎn)，所以應(yīng)該聯(lián)想到構(gòu)造全等三角形，這是經(jīng)常用到的解題思路，同學(xué)們要注意掌握．題型9：角平分線+垂直模型9.已知，如圖△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠ACB的平分線CD交AB于點(diǎn)E，∠BDC＝90°，求證：CE＝2BD．【分析】延長(zhǎng)BD交CA的延長(zhǎng)線于F，先證得△ACE≌△ABF，得出CE＝BF；再證△CBD≌△CFD，得出BD＝DF；由此得出結(jié)論即可．【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)BD交CA的延長(zhǎng)線于F，∵∠BAC＝90°∴∠BAF＝∠BAC＝90°，∠ACE+∠AEC＝90°，∵∠BDC＝90°∴∠BDC＝∠FDC＝90°∴∠ABF+∠BED＝90°∵∠AEC＝∠BED∴∠ACE＝∠ABF∵AB＝AC∴△ACE≌△ABF（ASA）∴CE＝BF∵CD平分∠ACB∴∠ACD＝∠BCD∵CD＝CD∴△CBD≌△CFD（ASA）∴BD＝FD＝BF∴BD＝CE∴CE＝2BD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)已知條件，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．【變式9-1】如圖，在四邊形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求證：（1）∠B+∠ADC＝180°；（2）AD+AB＝2AE．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到CE＝CF；利用HL即可判定△CBE≌△CDF；（2）已知EC＝CF，AC＝AC，則根據(jù)HL判定△ACE≌△ACF得AE＝AF，最后證得AB+AD＝2AE即可．【解答】證明：（1）如圖，過C作CF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DAB．∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵CB＝CD，∠CEB＝∠CFD＝90°，∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠CDF，EB＝DF．∵∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠B+∠ADC＝180°．（2）∵∠CAF＝∠CAE，∠F＝∠CEA＝90°，AC＝AC，∴△AFC≌△AEC（AAS）．∴AF＝AE．∵AF＝AD+DF，EB＝DF，∴AF＝AD+EB．∵AE＝AB﹣EB，∴AF+AE＝AD+AB，∴AD+AB＝2AE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形，同時(shí)注意線段間的和差關(guān)系的運(yùn)用．【變式9-2】已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在圖1中，∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：AB+AD＝AC；（2）在圖2中，∠MAN＝120°，∠ABC+∠ADC＝180°，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）在圖2中，∠MAN＝60°，∠ABC+∠ADC＝180°，則AB+AD＝AC（直接寫出答案）．【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可證∠ACB＝∠ACD＝30°，又由直角三角形的性質(zhì)，得AB+AD＝AC．（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)過點(diǎn)C分別作AM