拉格朗日中值定理的一些應用

拉格朗日中值定理的一些應用摘要本文主要論述拉格朗日中值定理在函數(shù)極限計算、不等式證明以及根的存在性的判別這幾個方面的應用.并給出實例進行說明.關鍵詞:拉格朗日中值定理可導連續(xù)LagrangemeanvaluetheoremandsomeapplicationsAbstractThispapermainlydiscussestheLagrangemeanvaluetheoremincomputingfunctionlimit,theinequalityproofaswellastherootofexistencetheoremforseveralaspectsofthisapplicationandgivesexamplestoillustrate.Keywords:Lagrangemeanvaluetheoremcanbemediatedbycontinuous1引言拉格朗日中值定理是微分學最重要的定理之一,又稱為微分中值定理.它是溝通函數(shù)與其導數(shù)之間的橋梁,是應用導數(shù)局部性研究函數(shù)整體性的重要工具.利用微分中值定理可用巧妙地解決一些問題,下面將論述拉格朗日中值定理在幾個方面的應用.預備知識定理：若函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導,則在內至少存在一點,使得.拉格朗日中值定理的幾何意義：若閉區(qū)間內有一條連續(xù)曲線,曲線上每一點都存在切線,則曲線上至少存在一點,過點的切線平行于過點的直線.拉格朗日中值定理的證明：作輔助函數(shù).已知函數(shù)在上連續(xù),在開區(qū)間內至少存在一點.使得.而于是,即.拉格朗日中值定理和洛爾定理：洛爾定理：若函數(shù)滿足如下條件：在閉區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導,則在內至少存在一點,使得.通過比較可知洛爾定理是拉格朗日中值定理的當時的特殊形式.柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理中時的特殊情況.可惜中值定理：若函數(shù)與滿足下列條件:(1)在閉區(qū)間上連續(xù),(2)在開區(qū)間上可導,且對,有,則在內至少存在一點,使得二、拉格朗日中值定理在函數(shù)極限運算中的應用若計算函數(shù)極限時,題目中出現(xiàn)有“”型或“”型的式子,并且函數(shù)在連續(xù),在上可導,滿足拉格朗日中值定理的條件,此時可構造“”型或“”型,利用拉格朗日中值定理轉變?yōu)閷?shù)形式進行極限計算,方便快捷;若果其中出現(xiàn)“”型或“”型或“”型或“”型,并且在上滿足拉格朗日中值定理條件,則可直接利用拉格朗日中值定理進行轉換計算極限.分析：此極限滿足“”型,可用羅必達法則求解,但是用羅必達法則則須求很多次導數(shù)之比,非常麻煩,通過觀察此極限發(fā)現(xiàn)它是“”型,只須令函數(shù),則在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件,即,由于在上連續(xù),所以從而有.分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)該題所求極限為“”.易知在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件,運用拉格朗日中值定理得,解：原式.分析：觀察該例題,可以看出,此例題墳墓和分子兩部分都是“”“”.同時該例題又符合柯西中值定理條件,在該例題中,可設,,并且與在內可導,并且.于是在內至少存在一點使解：,三.利用拉格朗日中值定理證明不等式在證明不等式時,出現(xiàn)“”和“”的形式,并且在和上滿足拉格朗日中值定理條件,則可以將不等式根據(jù)拉格朗日中值定理進行變換在證明；若在不等式的兩邊出現(xiàn)“”型,另一邊出現(xiàn)“”型,則可將不等式變形為含“”在和“”型，則構造“”型.例3.證明：,為分析：通過觀察,不等式中“”為“”型,令.可知在上連續(xù),當時,在上連續(xù),則在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理.證明：,由于,則有,即.例4.,.分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)此不等式為“”,則在區(qū)間和上滿足拉格朗日中值定理的條件.證明：,由于,則可知,即例5.證明不等式：分析：例題中出現(xiàn)“”是“”型,此時可以考慮,在區(qū)間上的情況.證明：設,則在區(qū)間上連續(xù),在開區(qū)間上可導,顯然在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件,則有則不等式右邊由于,并且,則,故原不等式成立.在討論函數(shù)根的存在性問題時,可利用函數(shù)與其導數(shù)之間的關系,借助拉格朗日中值定理（或羅爾定理）判別某些函數(shù)根的存在性.當需要判別某個函數(shù)的導函數(shù)在某個區(qū)間是否有根時,若此函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),則看該函數(shù)在這個區(qū)間上是否有兩個或者有兩個以上的點的函數(shù)值相等.若存在,則其導函數(shù)在該區(qū)間有根；若不存在,則其導函數(shù)在該區(qū)間無根.當需要判別某個函數(shù)在某個區(qū)間上是否有根時,則看起導數(shù)在該區(qū)間上是否存在導數(shù)值為零的點.若存在使其導函數(shù)值為零的點,則原來的函數(shù)可能有根;若不存在使其導函數(shù)值為零的點,則原來的函數(shù)一定不存在根.這不是一個充要條件,,說明利用拉格朗日中值定理判別根的存在與否有局限性例6.證明：若方程有正根,則方程必存在小于的正根.證明：令,則可知且在上連續(xù),根據(jù)拉格朗日中值定理（或羅爾定理）可知,至少存在一個有,且,則可知方程至少存在一個根,且,故證畢

.例7.方程在區(qū)間內沒有兩個不同的根.證明：運用反證法,假設在區(qū)間內有兩個相同的根,且.令,則在區(qū)間上連續(xù),則有在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理（或羅爾定