高中數(shù)學(xué)不等式證高考考點(diǎn)解析及例題輔導(dǎo)

不等式的證明

高考要求：

1.通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）,

使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法（即通性通法）證明不等式的有關(guān)問題；

2.掌握用“分析法”證明不等式；理解反證法、換元法、判別式法、放縮法證明不等

式的步驟及應(yīng)用范圍.

3.搞清分析法證題的理論依據(jù)，掌握分析法的證題格式和要求,搞清各種證明方法的理

論依據(jù)和具體證明方法和步驟.

4,通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不

等式的能力；能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題.

知識點(diǎn)歸納；

不等式的證明方法

（1）比較法:作差比較：A<B

作差比較的步驟：

①作差：對要比較大小的兩個數(shù)（或式）作差.

②變形：對差進(jìn)行因式分解或配方成幾個數(shù)（或式）的完全平方和，

③判斷差的符號：結(jié)合變形的結(jié)果及題設(shè)條件判斷差的符號.

注意：若兩個正數(shù)作差比較有困難，可以通過它們的平方差來比較大小.

（2）綜合法：由因?qū)Ч?

（3）分析法：執(zhí)果索因,基本步驟：要證……只需證……，只需證……

①“分析法”證題的理論依據(jù)：尋找結(jié)論成立的充分條件或者是充要條件.

②“分析法”證題是一個非常好的方法，但是書寫不是太方便，所以我們可以利用分析法

尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進(jìn)行表達(dá).

（4）反證法：正難則反.

（5）放縮法:將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)證題目的.

放縮法的方法有:

①添加或舍去一些項,如：4a2+1>|a|+1)>n；

②將分子或分母放大(或縮小)

③利用基本不等式,

如：Iog31g5<=igV15<lgV16=lg4；

/(「、,〃+(〃+1)

+1)<-----------

④利用常用結(jié)論:

I、Jk+1-yfk=]---產(chǎn)<—產(chǎn)；

■Jk+1+-Jk2ylic

111

-7<----=------r>----=——（程度大）

k2k(k-Dk-\kk2k(k+l)k左+1

__<_____—___________——(__________)（程度?。?/p>

k2k2-i~(A:-1)(A:+1)-2k-1k+\

一（6）換謖^換元的目的就是減少不等式中變量，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的

換元有三角換元和代數(shù)換元,如：

Ei^Ox2+y2=a2,可設(shè)x=acose,y=asin。；

已知x2+y2<1,可設(shè)x=rcos0,y-rsin^（0<r<1）；

22

已知二~+斗-=1,可設(shè)x=〃cos6,y=bsinC；

ah

廠2y2

已知一7——r=l，可設(shè)x=asec&y=AtanC；

ab.

(7)構(gòu)造法：通過構(gòu)造函數(shù)、方程、數(shù)列、向量或不等式來證明不等式：

證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學(xué)歸納法仍是證明不等式

的最基本方法.要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各

種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點(diǎn).

數(shù)學(xué)歸納法法證明不等式將在數(shù)學(xué)歸納法中專門研究.

題型講解:

例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水會變得更甜，試將

這一事實(shí)用數(shù)學(xué)關(guān)系式反映出來，并證明之,

分析：本例反映的事實(shí)質(zhì)上是化學(xué)問題，由濃度概念(糖水加糖甜更甜)可知

aa+in,,，、，、、

—<-------(b>a>0,m>0).

bb+m

a/74"/??

解：由題意得一<——(h>a>^m>0).

bb+m

證法一：(比較法)竺n+竺/??—巴ab(a+m)—a(b+m)_m(b—a)

b+mbb(b+m)b(b+m)

,//?>4?>0,m>0,.\b-a>0,b+m>0,

b(Jb+m)b+mb

證法二：(放縮法)

'：h>a>0且〃2>0,

a_a(h+m)a+m

b<

bb(b+m)b+mb+m

證法三：（數(shù)形結(jié)合法）如圖，在RtAABC及RtAADF中,

AB=a,AC=b,BD=m,作CE〃BD.

\ABCs\ADF,

aa+ma+ma+m

—=-------<-------=------.

bh+CFb+CEh+m

例2已知a,bdR,且a+b=l,

求證：［+2)2+3+2『2日.

證法一：(比較法)

va,beR,a+b==l-a

7250

.\(a+2y9+(b+2)-—=a2+b2+4(a+b)-^

=a2+(1-a)2+4——=2a2—2a+—=2(a——)2>0

222

n5i

即1+2)2+(b+2)22萬(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=5時，取等號).

證法二：(分析法)

2525

(a+2)2+(B+2)2>—<=a2+b2+4(a+b)+8>—

b=\—a

27251

a2+(l-a)2+4+8>—<=(a——)72>0

I22

因為顯然成立，所以原不等式成立.

點(diǎn)評：分析法是基本的數(shù)學(xué)方法，使用時，要保證“后一步”是“前一步”的充分條件.

證法三：(綜合法)由上分析法逆推獲證(略).

25

證法四：(反證法)假設(shè)(4+2)2+(b+2)2〈巴，

2

25

貝ij。~。+4(。+Z?)+8<.

由a+b=l,得b=1—a,于是有ci~+(1—Q)~+12<—1

2

1.

所以3—一）2<0,

2

這與（a—3）20矛盾.

所以1+2）2+（0+2）22日.

證法五：（放縮法）'：a+b=\

.?.左邊=（4+2）2+伍+2）222（a+2）；（b+2）

=；［（4+匕）+41=右邊.

點(diǎn)評：根據(jù)欲證不等式左邊是平方和及a+b=l這個特點(diǎn)，選用基本不等式

證法六：(均值換元法)-：a+b=i,

所以可設(shè)。=—Ft>h=----1,

22

左邊=(a+2)+(/?+2)-=(―+/+2)~+(—―t+2)~

當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，等號成立.

點(diǎn)評：形如a+b=l結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元.

證法七：（利用?元二次方程根的判別式法）

設(shè)y=(a+2產(chǎn)+(b+2產(chǎn),

Q2

由a+b=l,有y=(+2)2+(3一_2a_2〃+13,

所以2〃--2cL+13—y=0,

25

因為QWR,所以△=4一4?2?(13-丁)20,即

故［+2)2+0+2)22日.

例3設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足y+x2=0,0<a<L求證：log^(ax+ay)<log2+

w8

證明：(分析法)要證log/。"+〃)')<log42+L

8

I

xy

?.?0<。<1,只要證：a+a>2aif

_________x+y

X?/a'+a'>ax+a'=2a2,

I

.?.只需證：ax+y>a<

.,?只需證x+y<；,

即證/一x+120,此式顯然成立.

4

，原不等式成立.

例4設(shè)m等于同，網(wǎng)和1中最大的一個，當(dāng)國>加0寸，求證：-+4<2.

分析：本題的關(guān)鍵是將題設(shè)條件中的文字語言“m等于同，網(wǎng)和1中最大的一個”翻譯

為符號語言“小2同，m>|/?|,m>1從而知討>加之時.

證明：（綜合法）,.,卜|>機(jī)2時，兇>加2網(wǎng),上|>〃?21.

ab/db巴+叫<x\Ixl2

—+-<—+=2.

XXXXW2

x

例5已知/(x)=——(x-1).

x+1

(1)求/1(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：x>y>0,有/(x+y)</(x)+/(y).

2

(3)若”2>}>0,。=-------，求證：/(fl)+/(c)>-.

(a-h)h5

解：(1)對已知函數(shù)進(jìn)行降次分項變形，得/(x)=l———

X+1

/(X)在區(qū)間(-℃,-1)和(-1,+8)上分別單調(diào)遞增

X

(2)V/(x)=——-(x^-1).

x+1

xyxy+xy-\-x+y

??/w+/(y)=—r+^-7=------r

x+1y+1xy+x+y+1

孫+x+y,,、

>-----L-=f(xy+x+y)

孫+x+y+1

而肛+x+y>x+y,由⑴/曠(肛+x+y)>/(x+y),

■■-f(x)+f(y)>f(x+y)

,1

(3)va~>b>0,c=-------,

(a-b)b

：.c=——>——=-4>0,

(a-b)ba-h-^h2Q~

.■.a2+c>a2+-^>4..?./(/)+/(c)>f(a2+c)>/(4)=^.

a5

點(diǎn)評：函數(shù)與不等式證明的綜合題在高考中?？汲Ｐ拢羌瓤贾R又考能力的好

題型，在高考備考中有較高的訓(xùn)練價值

小結(jié):

1.掌握好不等式的證明，不等式的證明內(nèi)容甚廣，證明不但用到不等式的性質(zhì)，不等

式證明的技能、技巧，還要注意到橫向結(jié)合內(nèi)容的方方面面,如與數(shù)列的結(jié)合，與“二次曲

線”的結(jié)合，與“三角函數(shù)”的結(jié)合，與“一元二次方程，一元二次不等式、二次函數(shù)”這

“三個二次”間的互相聯(lián)系、互相滲透和互相制約，這些也是近年命題的重點(diǎn).

2.在不等式證明中還要注意數(shù)學(xué)方法，如比較法（包括比差和比商）、分析法、綜合法、

反證法、數(shù)學(xué)歸納法等，還要注意一些數(shù)學(xué)技巧，如數(shù)形結(jié)合、放縮、分類討論等.

3,比較法是證明不等式最常用最基本的方法,當(dāng)欲證的不等式兩端是多項式或分式時，常

用差值比較法,當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積的形式或塞指不等式時常用商值比較法，即欲證

a>b,（a>0,b>0）可證@>1

b

4基本思想、基本方法：

⑴用分析法和綜合法證明不等式常要用等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的換元的基本方法.

⑵用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學(xué)問題的

一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.

⑶“分析法”證明不等式就是“執(zhí)果索因”，從所證的不等式出發(fā)，不斷利用充分條件

或者充要條件替換前面的不等式，直至找到顯然成立的不等式，書寫方法習(xí)慣上用“U”

來表達(dá),分析法是數(shù)學(xué)解題的兩個重要策略原則的具體運(yùn)用，兩個重要策略原則是：

正難則反原則：若從正面考慮問題比較難入手時，則可考慮從相反方向去探索解決問題

的方法，即我們常說的逆向思維，由結(jié)論向條件追溯.

簡單化原則：尋求解題思路與途徑，常把較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題，在證明較

復(fù)雜的不等式時，可以考慮將這個不等式不斷地進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，得到一個較易證明的不等式

*

⑷凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法.

⑸換元法（主要指三角代換法）多用于條件不等式的證明，此法若運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三

角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成簡單的三角問題.

⑹含有兩上字母的不等式，若可化成一邊為零，而另一邊是關(guān)于某字母的二次式時.，這

時可考慮判別式法，并注意根的取值范圍和題目的限制條件.

⑺有些不等式若恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用放縮法可以很快得證，放縮時要看準(zhǔn)目標(biāo)，做到有的放矢,

注意放縮適度.

練習(xí)：

1.設(shè)〃求證：be2-\-ca~+ab2<b2c+c2a-^-a2b.

證明：be2+ca2+/-(b2c+c2a^-a2b)

=bc(c-。)+ca(a-c)+ab(b-Q)

=hc(c—b)+ca[(a-h)+(h-c)]+ab(b-a)

=(a-b)(b-c)(c-a)

a>b>c,則。一?！?,b-c>0,c—。<0,

「?(a-b)(b-c)(c-a)<0.

故原不等式成立.

點(diǎn)評：(1)三元因式分解因式，可以排列成一個元的降慕形式：

b(r+C6Z2+akr-(b2c+c2a+?2/?)=c2(/?-df)+c(a-+/?)+ab(h-a)

(2)用比較法證不等式，關(guān)鍵在于作差(或商)后結(jié)式了進(jìn)行變形，常見的變形是通分、

因式分解或配方.

2.己知。，瓦C都是正數(shù)，月”,"C成等比數(shù)列，

求證：Cl~+/?2+L>(Q—/7+C)2.

證明：a2+b24-c2-(a-b+c)2=2(ab+bc-ac)

???。也C成等比數(shù)列，???/=4C.

va.b.c都是正數(shù)，0<%=4ac<"+'<a+c.

2

.\a+c>b,

「?2(ab-\-bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0.

/.a2+/72+c2>(a-b+c)2.

點(diǎn)評：兩邊相減能消去一部分、兩邊相除能約去一部分是運(yùn)用比較法的外部特征，除了

通分、因式分解或配方法，局部運(yùn)用基本不等式，也是用比較法證不等式時的一種常用手段

*

3.己知函數(shù)/(x)=x2+ax+b,當(dāng)p,q滿足p+q=l時，證明：

pfM+qf(y)>/(px+qy)對于任意實(shí)數(shù)都成立的充要條件是0<p<1?

證明：pf(x)+qf\y)-f(px+qy).

=p(l-p)x2+q(l-q)y2-2pqxy

=p(l-p)(x-y)2

(1)若OWpWl,貝iJp(l-p)2O,

???p(l-p)(x-y)2>0,pf(x)+qf(y)>f(px+qy)

(2)^pf(x)+qf(y)>f(px+qy)^,p(l-p)(x—?20,

v(x-y)2>0,r.p(l-p)>O,/.O<p<l

故原命題成立.

4.比較與llog"(l+x)l的大小.(其中0<x<l)

解：gg7卜降產(chǎn)1=陽7一吐刈=-*口>0(比差)

|愴4llgal

5.設(shè)〃，瓦CE[0,2],證明4〃+/?2+c2>2ab+2bc+2ca

證明：/(a)=(44-be-2b-2c)a+h2+c2-2bc

/(0)=(/?-c)2>0,f(2)=(b-2)2+(c-2)2>0

/.4tz+&2+c2>lab+2bc+2ca

6?已知為正數(shù)，且滿足4+b+c=l,〃2+/+。2=],

證明:」^cWO

3

證明：Q+Z?+c=I,。2+〃+c2=1二Q+Z?=\—c,a.b=c2—c

.??構(gòu)造方程/+(c-l)x+c2-c=0,則該方程有兩個正根

c2-c>0

<1-c>0--<c<0

223

A=(1-C)-4(C-C)>0

7.若0<。<1,0<8<1,,求證Qb與(1一a)(l-b)不能都大于

4

證明：假設(shè)ab,(1—a)(1—b)都大于一

4

貝ij?fe(l-a)(l-fe)>-5-又0<〃(1-〃)4,，0<。(1-8)4工

1644

通過y=—/+x,0<x<1的值域有。/?(1-。)(1一人)<—

16

這與cib(\—(2)(1—/?)>—矛盾

16

因此，",(1-a)(l-/?)不可能都大于,

4

33

8.已知:a+b=2z^<iiE：a+b<2

證明：假設(shè)a+b>2則b>2-a

a3+b3>a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-l)2+2>2

與已知相矛盾,所以,a+bW2,

9,求證：1+-!-+-!-++........+—<2

2!3!n!

1^n-dr1]

證明：1+,+'++....+—<1+-+^;-+?■■+--=1+-2----2<2

2!3!22~2"T1

n\1---

2

求證L+士-+…+-L<1

2232?2

11

證明：.+H-------F<+TF------+…+------------

2232n21x22x33x4〃(71一1)

,11111.

-<1

223n-\nn

11。求證：]+__|L—.+