新人教版九年級下冊教案

二次函數(shù)

學(xué)習(xí)目標：1.經(jīng)歷探索、分析和建立二次函數(shù)的過程，進一步體驗如何用數(shù)學(xué)

方法描述兩變量之間的關(guān)

系.

2.通過實際問題的解決，體會到引入二次函數(shù)的必要性.

3.掌握二次函數(shù)的特征，了解二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的

聯(lián)系和區(qū)別.

4.會把二次函數(shù)化為一般形式.

學(xué)習(xí)重點：1.二次函數(shù)概念的建立過程.

2.把二次函數(shù)化為一般式，并正確判定a、b、c.

學(xué)習(xí)難點：從實際問題中建立二次函數(shù)關(guān)系式.

學(xué)習(xí)過程：

一、學(xué)前準備

1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有，是一次函數(shù)的有，是反比例

函數(shù)的有.(填序號)

(1)y-x2(2)y-~—x2+1(3)y=—(4)y=-x--(5)y-x2—2x+2(6)

2x3

(7)y=-l(x+l)2+l(8)y=-2(x-l)(2x+2)

2.y=-2(x-l)(2x+2)的一般形式為，其中a=__，b=

3.一塊矩形草地，它的長比寬多2加，設(shè)它的長為x〃z,面積為y.

(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

(2)它是二次函數(shù)嗎？若是指出它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項.

二、思索、交流

1.你還記得這樣的情景嗎？當魚兒躍出平靜的水面時，水面會

泛起層層圓形波紋，圓形波紋的面積隨半徑的增大也在不斷增

大.

(1)寫出圓的面積y(cm2)與圓的半徑x(cm)之間的關(guān)系

式.

(2)請?zhí)顚懴卤恚?

x/cm???123456???

y/cm2

通過表格請你說出y隨x的變化而如何變化?

2.如圖小亮家去年建了一個周長為80m的矩形養(yǎng)魚池.

（1）如果設(shè)矩形的一邊長為xm,矩形的面積為ynA求y與x的函數(shù)

關(guān)系式.?-

（2）根據(jù)上面的表達式填寫下表:

x/m???51520253035???

y/cm2

（3）通過表格請你說出y隨x的變化而如何變化?

（4）通過表格或y隨x的變化規(guī)律你判斷有最______值（填“大或小”）是.

2、某種商品的進價為90元/件，最初的售價為100元/件，后來提價銷售，經(jīng)統(tǒng)

計售價和月銷售量，得到下面的數(shù)據(jù)表：

售價（元/件）100101102103?.?

月銷售量（件）500490480470???

（1）從表格中，你能獲得信息；

________________________________.（填兩條即可）.

（2）當售價為x元/件，設(shè)每月銷售這種商品可獲得的總利潤為y元，用x表示

y的表達式為y=；化簡為y=.

某商品的進價為每件90元.最初售價為每件100元，后來提價銷售.經(jīng)統(tǒng)計售

價與月銷售量，得到下列數(shù)據(jù)表：

（1）猜測月銷售量（y）與售價（x）之間的函數(shù)關(guān)系式？

（2）求利潤（w）與銷售價（x）之間的函數(shù)關(guān)系式？

（3）當x為何值時，利潤最大？最大利潤是多少？考點：二次函數(shù)的應(yīng)用.分

析：（1）由表格中的數(shù)據(jù)可判斷出月銷售量（y）與售價（x）成一次函數(shù)的關(guān)

系，設(shè)丫=1^+N代入求得函數(shù)關(guān)系式.

（2）按照等量關(guān)系“利潤=（銷售價-進價）X月銷售量”列出函數(shù)關(guān)系式.

（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)關(guān)系式，求得函數(shù)的最值.解答：解：（1）設(shè)月銷售

量（y）與售價（x）之間的函數(shù)關(guān)系式滿足丫=1?+15,

將（100,500）>（101,490）代入：

解得：.

則月銷售量（y）與售價（x）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-10x+1500.

（2）由題意得：

利潤W=（x-90）（-lOx+1500）=-10x2+2400x-135000.

（3）由（2）求得的函數(shù)關(guān)系式

W=-10x2+2400x-135000=-10（x-120）2+9000.

...當x=120時，利潤最大,最大利潤是9000.

（3）根據(jù)上面得到的表達式填寫下表：

X1015202530???

y

(4)比較一下，上表中的》=時，獲得的總利潤y最大？

問題：

從以上三個問題中，我們得到了三個表達式：y=-x2+40x,>--10X2+400,V+5000,

觀察上述三個函數(shù)表達式，它們有什么共同點？

共同特征：

定義：一般地，如果兩個變量y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以表示成

那么稱是的二次函數(shù).

二次函數(shù)的一般形式：.

三、知識點：

一般地，形如的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。其中

x是,a是,b是,c是.

四、基本知識練習(xí)

3

1.觀察：0y=6x2；②y=-]x2+30x；③y=200x2+400x+200.這三個

式子中，雖然函數(shù)有一項的，兩項的或三項的，但自變量的最高次項的

次數(shù)都是次.一般地，如果y=ax2+bx+c(a、b、c是常數(shù)，a

WO),那么y叫做x的.

2、函數(shù)y=ax?+bx+c,當a、b、c滿足什么條件時，(1)它是二次函數(shù)？

⑵它是一次函數(shù)？(3)它是正比例函數(shù)？

3.函數(shù)y=(m—2)x2+mx—3(m為常數(shù)).

(1)當m時，該函數(shù)為二次函數(shù)；

(2)當m時，該函數(shù)為一次函數(shù).

4.下列函數(shù)表達式中，哪些是二次函數(shù)？哪些不是？若是二次函數(shù)，請指出各

項對應(yīng)項的系數(shù).

(1)y=1—3x2(2)y=3x?+2x(3)y=x(x—5)+

2

a,1

(4)y=3x'+2x~(5)y=x+-

五.典型例題

1.下列哪些是二次函數(shù)的有(填序號)

(l)y=r-2x-3⑵y=J⑶>=_*2-3(4)y=：

22x

1)1

(5)y=—(x—20)(2x+5)(6)y=--(x-2)2-3(7)y=--(x-2)

2.已知函數(shù)(7)y=(/+攵)/+日+0一女(k為常數(shù))

(1)當k為何值時，它是二次函數(shù)？(2)當k為何值時，它是一次函數(shù)?

5、已知二次函數(shù)y=x?+px+q,當x=l時，函數(shù)值為4,當x=2時，函數(shù)值為-5,求這個

二次函數(shù)的解析式.

某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售，?天可銷出約100件該

店想通過降低售價、增加銷售量的辦法來提高利潤，經(jīng)過市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商

品單價每降低0.1元，其銷售量可增加10件。將這種商品的售價降低多少時?，

能使銷售利潤最大？

在這個問題中，可提出如下問題供學(xué)生思考并回答：

1.商品的利潤與售價、進價以及銷售量之間有什么關(guān)系？

[利潤=(售價一進價)X銷售量]

2.如果不降低售價，該商品每件利潤是多少元?一天總的利潤是多少元？

[10—8=2(元)，(10-8)X100=200(76)]

3.若每件商品降價x元，則每件商品的利潤是多少元?一天可銷售約多少件

商品？

[(10-8-x)；(100+100x)1

4.x的值是否可以任意取?如果不能任意取，請求出它的范圍，

[x的值不能任意取，其范圍是0WxW2]

5.若設(shè)該商品每天的利潤為y元，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

[y=(10-8-x)(100+100x)(0WxW2)]

將函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=(10—8—x)(100+100x)(0WxW2)化為：

y=-100x2+100x+20D(0<x<2)

六、課堂訓(xùn)練

1.y=(m+l)x"f—3x+l是二次函數(shù)，則m的值為.

2.下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是()

A.y=x+gB.y=3(x—C.y=(x+l)2—x2D.y=

1

P-x

3.在一定條件下，若物體運動的路段s(米)與時間t(秒)之間的關(guān)系為

s=5t2+2t,則當t=4秒時，該物體所經(jīng)過的路程為()

A.28米B.48米C.68米D.88

米

4.n支球隊參加比賽，每兩隊之間進行一場比賽.寫出比賽的場次數(shù)m與球

隊數(shù)n之間的關(guān)系式.

5.已知y與X?成正比例，并且當x=-1時，y=-3.

求(1)函數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當x=4時，y的值；

(3)當丫=-g時，x的值.

6.為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻(墻長25m)的空地上

修建個矩形綠化帶ABCD,綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的

柵欄圍住(如圖).若設(shè)綠化帶的BC邊長為xm,綠化帶的面積為ym2.求

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.

七、目標檢測

1.若函數(shù)y=(a—l)x?+2x+a2-1是二次函數(shù)，貝U()

A.a=1B.a=±lC.a#lD.aH—1

2.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是()

28r8

A.y=x—1B.y=x—1C.y=~D.y?

X

3.已知二次函數(shù)y=-x?+bx+3.當x=2時，y=3,求這個二次函數(shù)解析式.

5.已知商場童裝組在銷售是發(fā)現(xiàn)一種品牌的童裝進價40元，原來每件賣50元，

每天可以賣出100件，如果每降價1元，那么每天可以多賣出3件，為了迎接兒

童節(jié)，商場準備降價銷售，那么為了取得最大利潤y元，每件童裝應(yīng)降x元，請

用x表示y,若是的二次函數(shù)，請化為一般形式，并指出它的a、bc.

四、解決問題

在?塊長方形鏡面玻璃的四周鑲上與它的周長相等的邊框，制成一面鏡子，鏡子

的長與寬的比是2：1,已知下班的價格是每平方米120元，邊框的價格是每米

30元，另外制作這面鏡子還需加工費45元，設(shè)制作這面鏡子的總費用為y元,

鏡子的寬為x米。

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，若它是二次函數(shù)，把它化一般形式。

(2)如果制作這面鏡子共花去195元，求這面鏡子的長與寬。

五、課堂小結(jié)1、本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)

容：.

2、我的困

惑：.

思考：如圖：等腰三角形ABC以2厘米/秒的速度沿直線向正方形移動，直到

AB與CD(AB=CD)重合.設(shè)x秒時，三角形與正方形的重疊面積為y平方厘

米.

(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當重疊部分面積是正方形面積的一半時，三角形移動了多長時間？

DA

A

課題：27.1圖形的相似（第1課時）

一、教學(xué)目標-----------

1.通過實例知道相似圖形的意義.

2.經(jīng)歷觀察、猜想和分析過程，知道相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，

反之亦然.

二、教學(xué)重點和難點

1.重點：相似圖形和相似多邊形的意義.

2.難點：探索相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.

三、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：（出示兩張全等的圖片）大家看這兩個圖形，（稍停）這兩個圖形形狀相同，

大小也相同，它們叫什么圖形？

生：（齊答）叫全等圖形.

師：（出示兩張相似的圖片）大家看這兩個圖形，（稍停）這兩個圖形只是形狀相

同，它們叫什么圖形？（稍停）它們叫相似圖形.也可以說，這兩個圖形相似

（板書：相似）.

師：和全等一樣，相似也是兩個圖形的一種關(guān)系.從今天開始我們要學(xué)習(xí)新的一

章，這一章要學(xué)的內(nèi)容就是相似（在“相似”前板書：第二十七章）.

（二）嘗試指導(dǎo)，講授新課

師：相似圖形在我們的生活中是很常見的，大家把課本翻到第34頁，（稍停）34

頁上有兒個圖，左上方是用同一張底片洗出的不同尺寸的照片，它們是相似圖

形；還有大小不同的兩個足球，它們也是相似圖形；還有一輛汽車和它的模型,

它們也是相似圖形.

師：看了這些相似圖形，哪位同學(xué)能給相似圖形下一個定義？

生：……（讓兒名同學(xué)回答）

（師出示下面的板書）

形狀相同的兩個圖形叫做相似圖形.

師：請大家一起把相似圖形的概念讀兩遍.（生讀）

師：（出示兩張全等的圖片）全等圖形，它們不僅形狀相同，而且大小也相同;

（出示兩張相似的圖片）而相似圖形，它們只是形狀相同，它們的大小可能相

同，也可能不相同.

師：明確了相似圖形的概念，下面請同學(xué)們來舉幾個相似圖形的例子，誰先來說？

生：……（讓兒位同學(xué)說，如果學(xué)生說的題材不夠廣泛，師可以再舉幾個例子.

譬如，放電影時，屏幕上的畫面與膠片上的圖形是相似圖形；實際的建筑物與

它的模型是相似圖形；復(fù)印機把一個圖形放大，放大后的圖形和原來圖形是相

似圖形）

師：好了，下面請大家做一個練習(xí).

（三）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)

1.下列各組圖形哪些是相似圖形？

2.如圖，圖中是人們從平面鏡及哈哈鏡里看到的不同鏡像，它們相似嗎？

（四）嘗試指導(dǎo)，講授新課

（師出示下圖）

師：（指準圖）這個三角形和這個三角形形狀相同，所以它們是相似三角形.從圖

上看，這兩個相似三角形的角有什么關(guān)系？

生：NA=NA',ZB=ZB\ZC=ZC\（生答師板書：ZA=ZA\ZB=ZB\Z

C=NC'）

師：（指圖）這兩個相似三角形的邊有什么關(guān)系？（讓生思考一會兒）

師：（指準圖）AB與AE的比是黑（板書:黑），BC與BC的比是券（板

書：含），CA與C'A'的比是合（板書：*這三個比相等嗎？

生：（齊答）相等.

師：為什么相等？（稍停后指準圖）△A'B'C可以看成是aABC縮小得到的，假

如AB是A'B'的2倍，那么可以想象，BC也是B'C'的2倍，CA也是C'A'的2

倍，所以這三個比相等（在式子中間寫上兩個等號）.

師：我們再來看一個例子.

（師出示下圖）

師：（指準圖）這個四邊形和這個四邊形形狀相同,所以它們是相似四邊形.從圖

上看，這兩個相似四邊形的角有什么關(guān)系？

生：ZA=ZA\ZB=ZB,,ZC=ZC\ZD=ZD\（生答師板書：ZA=ZAZ,Z

B=NB',ZC=ZC,ZD=ZDZ）

師：（指圖）這兩個相似四邊形的邊有什么關(guān)系？

ABBCCA里.（生答師板書：—BC_CA_DA

生:

A-BFcCADAABBF-CA--lyA

師：（指式子）這四個比為什么相等？（稍停后指準圖）四邊形可以看

成是四邊形ABCD放大得到的，假如AB是A'B'的一半，那么可以想象，BC也

是B'C'的一半，CD也是C'D'的一半，DA也是D'A'的一半，所以這四個比相

等.

師：從這兩個例子，大家想一想，你能得出一個什么結(jié)論？（等到有一部分同學(xué)

舉手再叫學(xué)生）

生：……（多讓幾名學(xué)生發(fā)表看法）

（師出示下面的板書）

相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等.

師：請大家把這個結(jié)論一起來讀兩遍.（生讀）

師：相似多邊形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等.實際上，這個結(jié)論反過來也是

成立的，反過來怎么說？

生：……（讓幾名學(xué)生說）

（師出示下面的板書）

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等的多邊形是相似多邊形.

師：請大家把反過來的結(jié)論一起來讀兩遍.（生讀）

師：我們知道，形狀相同的多邊形是相似多邊形.但是，什么樣才算形狀相同呢？

（稍停）從這兩個結(jié)論我們可以看到，對多邊形來說，所謂形狀相同，實際上

指的就是對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等.對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等的

多邊形是相似多邊形.所以，現(xiàn)在我們可以給相似多邊形下一個更明確的定義.

（師出示下面的板書）

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等的兩個多邊形叫做相似多邊形.

師：下面我們利用相似多邊形的概念來做兩個練習(xí).

（五）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)

3.如圖，Z\ABC與△A'B'C'相似，則NC'=°,B'C'=

A

4.判斷正誤：對的畫“V”，錯的畫“X

(1)兩個等邊三角形一定相似；()

(2)兩個正方形一定相似；()

(3)兩個矩形一定相似；()

(4)兩個菱形一定相似.()

(六)歸納小結(jié)，布置作業(yè)

師：(指準板書)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了相似圖形和相似多邊形的概念.什么叫做相似

圖形？形狀相同的兩個圖形叫做相似圖形.從這兩個結(jié)論，我們進一步發(fā)現(xiàn)，

對多邊形來說，所謂形狀相同指的就是對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等.所以

我們又給相似多邊形下了一個更明確定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊也相等的兩個

多邊形叫做相似多邊形.

(作業(yè):P35練習(xí)LP38習(xí)題1.4.)

四、板書設(shè)計

第二十七章相似

……叫做相似圖形.圖1圖2

...叫做相似多邊形.

相似多邊形對應(yīng)角……ZA=ZAZ,ZB=ZB/……ZA=ZAz,ZB=

ZBZ……

ABBCABBC

對應(yīng)角相等，對應(yīng)……==

AZBZBZCZA'B'Bt7

課題：27.1圖形的相似(第2課時)

一、教學(xué)目標

1.會運用相似多邊形的概念進行計算和證明，知道相似比的意義.

2.培養(yǎng)推理論證能力，發(fā)展空間觀念.

二、教學(xué)重點和難點

1.重點：運用相似多邊形的概念進行計算和證明.

2.難點：運用相似多邊形的概念進行證明.

三、教學(xué)過程

(—)基本訓(xùn)練，鞏固舊知

1.填空：

(1)相同的兩個圖形叫做相似圖形.

(2)相似多邊形對應(yīng)相等，對應(yīng)的比也相等；反過來，對應(yīng)相等,

對應(yīng)—的比也相等的多邊形是相似多邊形.

(二)創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了相似圖形的概念，還通過觀察圖形得出了相似多邊形的兩

個結(jié)論.

（師出示下面板書）

相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等；

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比也相等的多邊形是相似多邊形.

師：本節(jié)課我們將利用這兩個結(jié)論來做兩個題目，先請看例1.

（三）嘗試指導(dǎo)，講授新課

（師出示例1）

例1如圖，四邊形ABCD和EFGH相似，求角a、B的大小和EH的長度x.

（先讓生嘗試，然后師邊講解邊板書，解題過程如課本第37頁所示）

（四）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)

2.填空：如圖所示的兩個五邊形相似，.

則a=,b=,S--

c=______，d=______.y____b

（五）嘗試指導(dǎo)，講授新課~—275

（師出示例2）

例2如圖，證明AABC和相似.

（先讓生嘗試，然后師分析證明思路，最后邊講解邊板書，證明過程如下）

證明：在等腰直角aABC和中，

ZA=ZA/=45°,ZB=ZB,=45°,ZC=ZCz=90°.

A，Bz=7102+IO2=7200=1072,

,_AB__5亞J_BC51CA51

"

"IB~~10V2-5'BFTo-2'CA~"10-2

,_AB____BC_____CA

"AF=BF=cT'

AABC與相似.

（六）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)

3如圖,證明AABC與△A'B'C'相似.

（七）歸納小結(jié)，布置作業(yè)

師：在課的最后，我們還要介紹一個概念.（指準例1圖）我們知道，這兩個四

邊形相似，它們對應(yīng)邊的比相等，那么對應(yīng)邊的比等于多少？（稍停）等于竺

24

（板書：—）,約分后等于°（邊講邊板書：=-）.。叫什么？叫相似比.一

24444

般來說，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比（板書：相似多邊形對應(yīng)邊的比叫

做相似比）.

師：好了，兩個例題一個概念，這些就是本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容.

（作業(yè):P：詢習(xí)題3.5.）

四、板書設(shè)計

相似多邊形對應(yīng)角相……例1例2

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊……

...叫做相似比.

課題：27.2.1相似三角形的判定（第1課時）

一、教學(xué)目標

1.經(jīng)歷觀察、類比、猜想過程，得出相似三角形的三個判定定理，會簡單運用這

三個定理.

2.培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展空間觀念.

二、教學(xué)重點和難點

1.重點：相似三角形的三個判定定理.

2.難點：得出相似三角形的三個判定定理.

三、教學(xué)過程

（—）基本訓(xùn)練，鞏固舊知

1.填空：

全等三角形的四個判定定理：

（1）如果兩個三角形三—對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等（簡寫成：邊邊

邊或SSS）.

（2）如果兩個三角形兩—對應(yīng)相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角

形全等（簡寫成：邊角邊或）.

（3）如果兩個三角形兩—對應(yīng)相等，并且相應(yīng)的夾邊相等，那么這兩個三角

形全等（簡寫成：角邊角或）.

（4）如果兩個三角形兩—對應(yīng)相等，并且其中一個角的對邊對應(yīng)相等，那么

這兩個三角形全等（簡寫成：角角邊或）.

（本課時教學(xué)時間比較緊張，建議把本題提前留作作業(yè)）

（二）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：我們知道，形狀相同的兩個圖形叫做相似圖形.那么什么叫相似三角形？（稍

停）形狀相同的兩個三角形叫做相似三角形.

師：對兩個三角形來說，形狀相同是什么意思？（稍停）就是對應(yīng)角相等，對應(yīng)

邊的比也相等.所以相似三角形還有一個更明確的定義.對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的

比也相等的兩個三角形叫做相似三角形.

（師出示下圖）

師:譬如△ABC和△A'B'C',如果NA=NA',NB=NB',NC=NC'（邊講邊板書：

ADDrrA

如果NA=NA',NB=NB',ZC=ZC,）,半=上，=±上（邊講邊板書：

ABB4CA

皿=生=巴），我們就說4ABC與△A'B'C'相似（邊講邊板書：就說△

ABBCCA

ABC與△A，B，C，相似），記作△ABCs^A，B'C'（邊講邊板書：記作△ABCs/U，

BC）.

師：（指準板書）相似三角形的這個定義，可以用來判定兩個三角形相似，但利

用定義判定，既要證明三組對應(yīng)角相等，又要證明三組對應(yīng)邊的比相等，所以

比較麻煩.怎么解決這個問題呢？（稍停）

（三）嘗試指導(dǎo)，講授新課

師：學(xué)習(xí)三角形全等時，我們知道，除了可以利用全等三角形定義來判定兩個三

角形全等，還有四個簡便的判定方法.哪四個簡便的判定方法？（稍停）就是

SSS、SAS、ASA、AAS.同樣，判定兩個三角形相似，有沒有簡便的判定方法？

請大家先自己想一想.

（生思考，要給學(xué)生充足的思考時間）

師：好了，下面我們一起來考慮這個問題.

師：全等三角形判定定理SSS是怎么說的？（稍停）如果兩個三角形三邊對應(yīng)相

等，那么這兩個三角形全等.類似的，也有一個相似三角形的判定定理.

（師出示下面的板書）

如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.

師：請大家把這個結(jié)論一起來讀一遍.（生讀）

師：（指板書）如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.

（指圖）結(jié)合這個圖，這個結(jié)論的意思是說，如果幽=匹=0＞，那么

ABBCCA

△ABCs^A'BT'（邊講邊作如下板書）.

AB____BC____CA

TW~~cT

B

△ABCs△A，BC

師：這是相似三角形的一個判定定理，下面我們來看第二個判定定理.

師：全等三角形判定定理SAS是怎么說的？（稍停）如果兩個三角形兩邊對應(yīng)相

等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形全等.類似的，也有一個相似三

角形的判定定理.

（師出示下面的板書）

如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三

角形相似.

師：請大家把這個結(jié)論一起來讀一遍.（生讀）

師：（指板書）如要兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，

那么這兩個三角形相似.（指圖）結(jié)合這個圖，這個結(jié)論的意思是說，如果

ABAC

夾角NA=NA',那么△ABCsAA'B'C'（邊講邊作如下板書）.

AFA0

ABAC,、’.，

-----,ZA=ZA

ABAC

B

△ABCs△ABC，

師：這是相似三角形的又一個判定定理，下面我們來看第三個判定定理.

師：全等三角形判定定理ASA、AAS都有兩個角對應(yīng)相等的條件，對相似三角形

來說，具備兩個角對應(yīng)相等的條件，有這樣一個判定定理.

（師出示下面的板書）

如果兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

師：（指板書）如要兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.（指

圖）結(jié)合這個圖，這個結(jié)論的意思是說，如果NA=NA',NB=NB',那么aABC?

△A'B'C'（邊講邊作如下板書）.

ZA=ZA\NB=NB'

B

△ABC^AA/B/C/

師：（指板書）這就是相似三角形的三個判定定理，之所以稱它們?yōu)槎ɡ?，是?/p>

為它們都是可以證明的.證明的過程比較復(fù)雜，有興趣的同學(xué)可以看課本，課

堂上我們就不證明了，只要求大家能夠理解這三個判定定理，并能運用它們.

下面我們就來運用判定定理.

（師出示例題）

例根據(jù)下列條件，判斷△ABC與aA/B，7是否相似，并說明理由：

（1）ZA=12O°,AB=7,AC=14,

NA'=120°,A'B'=3,A'C'=6；

（2）ABM,BC=6,AC=8,

A'B'=12,B'C'=18,A/C/=21；

（3）ZA=70°,ZB=60°,

NA'=70。，NC'=50°.

（先讓生嘗試，然后師邊講解邊板書，（1）（2）題解題過程如課本第44頁所示,

（3）題解題過程如下）

（3）ZC=180°-ZA-ZB=180°-70°-60°=50°.

---ZA=Z7^=70°,

ZC=ZC/=50°,

AABC^AAZB'C'.

(四)試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)

2.根據(jù)下列條件，判斷AABC與△A'B'O是否相似.

(l)ZB=100°,ZC=30°,

NA'=50°,NB'=100°；

(2)ZA=40°,AB=8,AC=15,

ZA=40°,A'B'=16,A'C'=20；

(3)ABM,BC=2,CA=3,

A'B'=6,B'C』3,C'A'=4.5.

(五)歸納小結(jié)，布置作業(yè)

師：(指板書)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了相似三角形的三個判定定理，希望大家能夠理

解這三個定理，并記住它們.

(作業(yè):P54習(xí)題2)

四、板書設(shè)計

圖……如果……例

如果NA=NAZ,……B那么……

處=①=旦AABC△A,B,C,

ABBCCA

就說aABC和△A'B'C'相似……如果……

記作aABCs△A'B'C'B那么……

△ABCs△A'B'C'

……如果……

B那么……

△ABC-△AzB'C'

課題：27.2.1相似三角形的判定(第2課時)

一、教學(xué)目標

1.會利用判定定理證明簡單圖形中的兩個三角形相似，進而得出邊角關(guān)系.

2.培養(yǎng)推理論證能力，發(fā)展空間觀念.

二、教學(xué)重點和難點

1.重點：利用判定定理證明簡單圖形中的兩個三角形相似.

2.難點：找相似三角形的對應(yīng)邊.

三、教學(xué)過程

(—)基本訓(xùn)練，鞏固舊知

1.填空：

(1)如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的一相等，那么這兩個三角形相似.

(2)如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的—相等，并且相應(yīng)的相等，那

么這兩個三角形相似.

(3)如果兩個三角形的兩個—對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

2.判斷圖中的兩個三角形是否相似：

A

(1)BFZXABC與4DEF；

△OAB與AODC

△ABC與4ADE.

（二）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

（出示下面的板書）

如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似.

如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三

角形相似.

如果兩個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.

師：（指板書）上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了相似三角形的三個判定定理，請大家一起把這

三個定理讀一遍.（生讀）

師：本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)什么？本節(jié)課我們要利用相似三角形的判定定理做兒個題

目，請看例題.

（三）嘗試指導(dǎo)，講授新課

（師出示例題）

例已知：如圖，ABIIDC.

求證：⑴△AOBsaCOD;

（2）0A-OD=OB-OC.

（先讓生嘗試，然后師分析證明思路，最后師生共同完成證明過程，證明過程

如下）

證明：?；AB〃DC,

/.ZA=ZC,ZB=ZD.

.,.△AOB^ACOD.

.OA_OB

"OC=OD'

AOA?OD=OB-OC.

（列匕=段時，要讓學(xué)生自己找OA,0B的對應(yīng)邊，并告訴找對應(yīng)邊的方

OC0D

法）

（四）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)八

求證：（DAABCSAADE；/\

（2）AB?AE=AC-AD.L--------A

4.完成下面的證明過程：

已知：如圖，ZB=ZACD.A

求證:AC2=AB?AD.

證明：VZB=ZACD,NA=NA,

/.△s△.

.ABAC

??=.

()()

/.AC2=AB?AD.

5.選做題：吠

已知：如圖，AD=2DB,AE=2EC./\

小DE2n/\

求證：(i)—=—；D/Z-----\E

BC3/\

(2)DE〃BC.B乙---------C

(五)歸納小結(jié)，布置作業(yè)

師：本節(jié)課我們利用相似三角形的判定定理做了幾個題目，通過做這幾個題目,

你有什么體會？

生：……(讓兒名學(xué)生說)

(作業(yè):P54習(xí)題3⑵.4.5.)

四、板書設(shè)計

如果……那么……例

如果……那么……

如果……那么……

課題：27.2.1相似三角形的判定(第3課時)

一、教學(xué)目標

1.會利用判定定理證明簡單圖形中的兩個直角三角形相似，進而得出邊角關(guān)系.

2.培養(yǎng)推理論證能力，發(fā)展空間觀念.

二、教學(xué)重點和難點

1.重點：利用判定定理證明簡單圖形中的兩個直角三角形相似.

2.難點：找相似三角形的對應(yīng)邊.

三、教學(xué)過程

(―)基本訓(xùn)練，鞏固舊知

1.判斷正誤：對的畫“J”，錯的畫“X”.

(1)兩個全等三角形一定相似；()

(2)兩個相似三角形一定全等；()

(3)兩個等腰三角形一定相似；()

(4)頂角相等的兩個等腰三角形一定相似；()

(5)兩個直角三角形一定相似；()

(6)有一個銳角對應(yīng)相等的兩個直角三角形一定相似；()

(7)兩個等腰直角三角形一定相似；()

(8)兩個等邊三角形一定相似.()

2.填空：D

(1)如圖，BE〃CD,則4

C

ABAEBE

（二）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：上節(jié)課我們利用相似三角形的判定定理做了兒個題目，這節(jié)課我們再來做兒

個題目，先看一道例題.

（三）嘗試指導(dǎo)，講授新課C

（師出示例題）

例已知：如圖，在ABC中，CD是斜邊上的高.\

求證：⑴△ACDs△CBD;卜/________LAB

⑵CD=AD-BD.D

（先讓生嘗試，然后師分析證明思路，最后師生共同完成證明過程，證明過程

如下）

證明：在Rt/XABC中，ZA=90°-ZB,

在RtACBD中，ZBCD=90°-ZB,

J.ZA=ZBCD.

而NADC=NCDB=90°,

AACD^ACBD.

.CDAD

??--=--?

BDCD

.-.CD=AD-BD.

（列程=浮時.，要讓學(xué)生自己找CD,AD的對應(yīng)邊，并強調(diào)找對應(yīng)邊的方法）

（四）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)

3.已知：如圖，在RtZ\ABC中，CD_LAB于D.\

求證：（1）Z\CBDS^ABC；\

（2）BC2=AB?BD.\

4.已知,如圖，AABC^AA,B/CZ,AD和A'D'分別是BC和B'C'上的高.

分、丁ADAB

求證：——

ADA-B

（五）歸納小結(jié)，布置作業(yè)

師：（指準圖）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了證明兩個直角三角形相似.兩個直角三角形已經(jīng)

有一個直角對應(yīng)相等，所以只要證明一個銳角對應(yīng)相等就能得出這兩個直角三

角形相似.

課外補充作業(yè)：

5.已知：如圖,在RtAABC中，DE_LAB于E點,

AE=3,AD=4,AB=6,求AC.

6.已知：如圖,在AABC中，CD是AB上的高，CD2=AD-BD.

求證：(□△CBDs^ACD；

(2)ZACB=90°.

四、板書設(shè)計（略）

課題：27.2.1相似三角形的判定（第4課時）

一、教學(xué)目標

1.會利用判定定理證明與圓有關(guān)的兩個三角形相似，進而得出邊角關(guān)系.

2.培養(yǎng)推理論證能力，發(fā)展空間觀念.

二、教學(xué)重點和難點

1重.點：利用判定定理證明與圓有關(guān)的兩個三角形相似.

2.難點：畫輔助線，運用圓的知識.

三、教學(xué)過程

（—）基本訓(xùn)練，鞏固舊知

1.填空：

（1）如圖，AB〃CD,則4

0AOBAB

)-)

（2）如圖，在Rt^ABC中，CD是斜邊上的高,

MAS匕SX

2.填空:

(1)如圖NA=N,ZD=Z

⑵如圖NPAD=N,ZB=Z

B

A

PDC

（二）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：上節(jié)課我們利用相似三角形的判定定理做了幾個題目，這節(jié)課我們再來做幾

個題目，先看--道例題.

（三）嘗試指導(dǎo)，講授新課

（師出示例題）

例已知：如圖，弦AB和CD相交于內(nèi)一點P.

求證：PA-PB=PC-PD.

（先讓生嘗試，然后師分析證明思路，最后師生

共同完成證明過程，證明過程如下）

證明：連結(jié)AC、BD.

???ZA和ND都是CB所對的圓周角,

ZA=ZD.

同理NC=NB.

aPACsAPDB.

.PAPC

.?--=---.

PDPB

即PA-PB=PC-PD.

（列空=把時，要讓學(xué)生自己找PA,PC的對應(yīng)邊）

PDPB

（四）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)卜

3.填空：如圖，PA=3,PC=2,點P是AB的中點，

貝UPD=.LzpyB

4.已知：如圖，弦BA和DC的延長線相交于。0外一點P.

求證：PA-PB=PC-PD.k

（提示：連結(jié)AC）1

5.填空：在上題中，如果PA=3,AB=2,PC=2.5,則PD=.

（五）歸納小結(jié)，布置作業(yè)

師：本節(jié)課我們做了兒個題目，做這兒個題目不僅用到了相似三角形的判定定理,

還用到了一些圓的知識.譬如用到了同弧所對的圓周角相等，用到了圓內(nèi)接四

邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角.在有關(guān)圓的圖形中，因為相等的角比較多，

所以常常會有相似三角形，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等，就能得出線段的

關(guān)系.（指例題）這是解決和這個例題類似問題的一般思路.A

課外補充作業(yè)：

6.已知：如圖，AB是直徑，PB是過點B的切線.X0）

2

求證：PB=PA?PC.rXVI>

四、板書設(shè)計（略）B

課題：27.2.2相似三角形應(yīng)用舉例（第1課時）

一、教學(xué)目標

1.經(jīng)歷對實際問題的思考和討論過程，會利用相似三角形解決高度測量問題.

2.培養(yǎng)把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識.

二、教學(xué)重點和難點

1.重點：利用相似三角形解決高度測量問題.

2.難點：探索如何利用相似三角形解決高度測量問題.

三、教學(xué)過程

（-）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：從初一到現(xiàn)在，我們已經(jīng)學(xué)了不少圖形的知識，我們學(xué)過相交線平行線，我

們學(xué)過三角形四邊形，我們學(xué)過圓，這些天我們又學(xué)了相似三角形.這些關(guān)于

圖形的知識是怎么形成的呢？（稍停）據(jù)說在很久很久以前，埃及的尼羅河水

每年都會泛濫，兩岸的田地就被淹沒，水退后人們要重新劃定田界，這便促使

人們學(xué)會了計算簡單圖形邊長、面積的方法，逐步形成了圖形的知識.可見，

圖形知識是由于測量的實際需要而形成的.本節(jié)課我們要學(xué)的也與測量有關(guān)，

我們要利用相似三角形的知識來解決一個測量問題，先來看這樣一個實際問

題.

（二）嘗試指導(dǎo)，講授新課

（師出示下圖）

口

師：（指圖）這是旗桿，旗桿很高，怎么測量出旗桿的高度？請大家想出一個可

行的測量辦法.（讓生思考一會兒，等到有一部分學(xué)生舉手）

師：有些同學(xué)已經(jīng)有了辦法，大家還是把自己的想法先在小組里交流交流.

（生小組交流，師巡視傾聽）

師：哪位同學(xué)來說說你們小組討論的情況？

生：……（讓兒名同學(xué)說，師作適當評價，譬如有些想法只是一種想法不具有可

行性）

師：測量旗桿的高度有很多辦法，其中有一種比較好的辦法是利用相似三角形來

測量，怎么利用相似三角形來測量？

師：旗桿在地上會有影子，假如這條線是旗桿的影子（邊講邊畫圖）.我們在旗

桿影子的頂端立一根木桿（邊講邊畫圖），木桿在地上也會影子，這條線是木

桿的影子（邊講邊畫圖）.現(xiàn)在連結(jié)這兩條線段（邊講邊連結(jié)），就構(gòu)成了兩個

三角形，我們把三角形的頂點都標上字母（標字母，畫好的圖如下所示）.

aB

師：（指準圖）AABC與4DEA相似嗎？

生：（齊答）相似.

師：為什么相似？（讓生思考一會兒再叫學(xué)生）

生：……（讓一兩名學(xué)生回答）

師：（指準圖）因為旗桿和木桿都垂直立在地上，所以NC、NDAE都是直角（邊

講邊在圖中作直角符號）.

師：（指準圖）而DE〃AB,為什么？（稍停）因為DE是太陽光線，AB也是太陽

光線，太陽光線是平行的，所以DE〃AB.

師：（指準圖）因為DE〃AB,所以NBAC=ND（邊講邊在圖中作角的符號），所以

△ABC^ADEA.

師：假如我們量出旗桿影子AC的長度為8米（邊講邊在圖中標：8m）,木桿的高

度為2米（邊講邊在圖中標：2m）,木桿影子的長度為1.6米（邊講邊在圖中

標：1.6m）,那么旗桿高度是多少米？（邊講邊在圖中標：？）大家算一算.

（生計算）

師：旗桿的高度是多少米？

生：（齊答）10米.

師：好了，下面我們把求旗桿高度的過程完整地寫出來.

（以下師邊講解邊板書，解答過程如下）

解：：DE,AB是太陽光線，

DEIIAB.

ZBAC=ZD.

而NC=NDAE=90°,

△ABCs△DEA.

.BCAC_BC8

??=，*I7=,

EADA21.6

...BC=10（米）.

因此，旗桿的高度為10米.

（三）試探練習(xí)，回授調(diào)節(jié)

1.填空：

如圖，在某一時刻，測得一根高為1.8m的竹竿的影長為3m,同時測得一棟高

樓的影長為90m,則這棟高樓的高度是m.

□呂

H口

呂

呂

呂

呂

呂

呂

呂

呂

3m90m

2.填空：A

如圖，測得BD=120m,DC=60m,EC=50m,_______________

則河寬AB=m.

7°---------------

（四）歸納小結(jié)，布置作業(yè)'

師：本節(jié)課我們利用相似三角形解決了測量旗桿高度的問題,通過解決這個問題,

不知道大家有沒有意識到，其實測量可以分成兩種，一種是可以直接測量的，

譬如，我們的身高，教室的長度，馬路的寬度，這些都可以直接測量.另一種

是不能直接測量的，譬如，旗桿的高度，珠峰的高度，地球和月亮的距離，這

些都不能直接測量.不能直接測量的問題怎么解決？（稍停）解決不能直接測

量的問題，實質(zhì)上是把不能直接測量的問題轉(zhuǎn)