2022屆高考數(shù)學一輪復習《基本不等式》課時作業(yè)

A級課時對點練(時間：40分鐘滿分：70分)、一、填空題(每小題5分，共40分)1．已知x>0，y>0且x＋4y＝1，則xy的最大值為________．解析：∵x>0，y>0，x＋4y＝1，∴x＋4y＝1≥2eq\r(4xy)，∴xy≤eq\f(1,16).答案：eq\f(1,16)2．已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為________．解析：∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq\f(3,4)，此時x＝1－x，∴x＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)3．若x<3，求f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x的最大值為________．解析：∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝eq\f(4,x－3)＋x＝eq\f(4,x－3)＋(x－3)＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3－x)＋3－x))＋3≤－2eq\r(\f(4,3－x)·3－x)＋3＝－1，當且僅當eq\f(4,3－x)＝3－x，即x＝1時，等號成立．故f(x)的最大值為－1.答案：－14．(2022·江蘇淮安模擬)已知扇形面積為定值S，則半徑為________時，扇形周長取最小值________．解析：設半徑為R，周長為l，∴S＝eq\f(1,2)(l－2R)·R，∴l(xiāng)＝2R＋eq\f(2S,R)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(S,R)))≥4eq\r(S)，此時R＝eq\f(S,R)，則R＝eq\r(S).答案：eq\r(S)4eq\r(S)5．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，則eq\f(1,y)＋eq\f(y,x)的最小值是________．解析：由已知，得eq\f(1,y)＋eq\f(y,x)＝eq\f(x＋y,y)＋eq\f(y,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(y,x)))＋1≥2eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))＋1＝3，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＝\f(y,x)，,x＋y＝1，))且x>0，y>0，即x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時，取等號．答案：36．(2022·蘇州實驗中學月考)已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則eq\f(a＋b2,cd)的最小值是________．解析：由x、a、b、y成等差數(shù)列知a＋b＝x＋y①由x、c、d、y成等比數(shù)列知cd＝xy②把①②代入eq\f(a＋b2,cd)得eq\f(a＋b2,cd)＝eq\f(x＋y2,xy)＝eq\f(x2＋y2＋2xy,xy)＝eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＋2≥4.∴eq\f(a＋b2,cd)的最小值為4.答案：47．(2022·江蘇省啟東中學高三質(zhì)量檢測)已知兩個正數(shù)x，y滿足x＋4y＋5＝xy，則xy取最小值時x，y的值分別為________，________.解析：xy≥2eq\r(x·4y)＋5，當且僅當x＝4y時取等號，令eq\r(xy)＝t(t>0)，則不等式為t2－4t－5≥0，解得t≥5或t≤－1(舍去)．∴eq\r(xy)＝t＝5，又x＝4y，則x＝10，y＝eq\f(5,2).答案：10eq\f(5,2)8．設x，y，z為正實數(shù)，滿足x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值是________．解析：由x－2y＋3z＝0得y＝eq\f(x＋3z,2)，代入eq\f(y2,xz)得eq\f(x2＋9z2＋6xz,4xz)≥eq\f(6xz＋6xz,4xz)＝3，當且僅當x＝3z時取“＝”．答案：3二、解答題(共30分)9．(本小題滿分14分)對于任意x∈R，不等式2x2－aeq\r(x2＋1)＋3>0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．解：原不等式可化為a<eq\f(2x2＋3,\r(x2＋1))＝eq\f(2x2＋2＋1,\r(x2＋1))＝2eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))恒成立．問題轉(zhuǎn)化為求f(x)＝2eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))的最小值．令u＝eq\r(x2＋1)≥1而函數(shù)f(u)＝2u＋eq\f(1,u)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(u)≥f(1)＝2＋1＝3，∴f(x)min＝3，∴a<3.10．(本小題滿分16分)某工廠用7萬元錢購買了一臺新機器，運輸安裝費用2千元，每年投保、動力消費的費用也為2千元，每年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費用逐年增加，第一年為2千元，第二年為3千元，第三年為4千元，依此類推，即每年增加1千元．問：這臺機器最佳使用年限是多少年？并求出年平均費用的最小值．解：設這臺機器的最佳使用年限是n年，則n年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的總費用為：＋＋＋…＋(n＋1)＝eq\f(n2＋3n,20)，這n年機器的總費用是：7＋＋＋eq\f(n2＋3n,20)＝＋eq\f(n2＋7n,20)，這n年機器的平均費用是：y＝eq\f＋\f(n2＋7n,20),n)＝＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,20)＋\f,n)))，又eq\f(n,20)＋eq\f,n)≥2eq\r(\f,20))＝，當且僅當eq\f(n,20)＝eq\f,n)取等號，即n＝12時成立．故這臺機器最佳使用年限是12年，年平均費用的最小值為萬元．B級素能提升練(時間：30分鐘滿分：50分)一、填空題(每小題5分，共20分)1．(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)如果實數(shù)x、y滿足x2＋4y2＝4，則(1＋2xy)(1－2xy)的最小值為________．解析：由4＝x2＋4y2≥2eq\r(x2·4y2)得，4x2y2≤4，當且僅當x2＝4y2＝2時“＝”號成立．∴(1＋2xy)(1－2xy)＝1－4x2y2≥－3.∴(1＋2xy)(1－2xy)的最小值為－3.答案：－32．(2022·江蘇常州期末)函數(shù)y＝log2x＋logx(2x)(x≠1)的值域是________．解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)，如果x>1，則log2x＋logx2≥2，如果0<x<1，則log2x＋logx2≤－2，∴函數(shù)的值域為(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)3．(2022·四川改編)設a>b>c>0，則2a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)－10ac＋25c2的最小值是________．解析：2a2＋eq\f(1,ab)＋eq\f(1,aa－b)－10ac＋25c2.＝2a2＋eq\f(a－b＋b,aba－b)－10ac＋25c2＝2a2＋eq\f(1,ba－b)－10ac＋25c2≥2a2＋eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋a－b,2)))2)－10ac＋25c2(b＝a－b時取“＝”)＝2a2＋eq\f(4,a2)－10ac＋25c2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(4,a2)))＋(a－5c)2≥4(當且僅當a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)，c＝eq\f(\r(2),5)時取“＝”)，故其最小值為4.答案：44．(2022·廣東廣州)已知a>b>0，則a2＋eq\f(16,ba－b)的最小值是________．解析：a2＋eq\f(16,ba－b)≥a2＋eq\f(64,[b＋a－b]2)＝a2＋eq\f(64,a2)≥16，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝a－b，,a2＝\f(64,a2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(2)，,b＝\r(2)，))時等號成立，則a2＋eq\f(16,ba－b)的最小值是16.答案：16二、解答題(共30分)5．(本小題滿分14分)(2022·江蘇)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)如圖所示，垂直放置的標桿BC的高度h＝4cm，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝(1)該小組已測得一組α、β的值，算出了tanα＝，tanβ＝，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精度．若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時－β最大？解：(1)由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)解得H＝eq\f(htand,tanα－tanβ)＝eq\f(4×,－＝124.因此，算出的電視塔的高度H是124(2)由題設知d＝AB，得tanα＝eq\f(H,d).由AB＝AD－BD＝eq\f(H,tanβ)－eq\f(h,tanβ)，得tanβ＝eq\f(H－h(huán),d)，所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(h,d＋\f(HH－h(huán),d))≤eq\f(h,2\r(HH－h(huán)))，當且僅當d＝eq\f(HH－h(huán),d)，即d＝eq\r(HH－h(huán))＝eq\r(125×125－4)＝55eq\r(5)時，上式取等號．所以當d＝55eq\r(5)時，tan(α－β)最大．因為0<β<α<eq\f(π,2)，則0<α－β<eq\f(π,2)，所以當d＝55eq\r(5)時，α－β最大．故所求的d是55eq\r(5)m.6．(本小題滿分16分)西北西康羊皮手套公司準備投入適當?shù)膹V告費，對生產(chǎn)的羊皮手套進行促銷．在1年內(nèi)，據(jù)測算年銷售量S(萬雙)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關系為S＝3－eq\f(1,x)(x>0)，已知羊皮手套的固定投入為3萬元，每生產(chǎn)1萬雙羊皮手套仍需再投入16萬元．(年銷售收入＝年生產(chǎn)成本的150%＋年廣告費的50%)．(1)試將羊皮手套的利潤L(萬元)表示為年廣告費x(萬元)的函數(shù)；(2)當年廣告費投入為多少萬元時，此公司的年利潤最大，最大利潤為多少？(年利潤＝年銷售收入－年廣告費)．解：(1)由題意知，羊皮手套的年成本為(16S＋3)萬元，年銷售收入為(16S＋3)×150%＋x·50%，年利潤L＝(16S＋3)×150%＋x·50%－(16S＋3)－x，即L＝eq