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A級課時(shí)對點(diǎn)練(時(shí)間:40分鐘滿分:70分)、一、填空題(每小題5分,共40分)1.已知x>0,y>0且x+4y=1,則xy的最大值為________.解析:∵x>0,y>0,x+4y=1,∴x+4y=1≥2eq\r(4xy),∴xy≤eq\f(1,16).答案:eq\f(1,16)2.已知0<x<1,則x(3-3x)取得最大值時(shí)x的值為________.解析:∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x+1-x,2)))2=eq\f(3,4),此時(shí)x=1-x,∴x=eq\f(1,2).答案:eq\f(1,2)3.若x<3,求f(x)=eq\f(4,x-3)+x的最大值為________.解析:∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,∴f(x)=eq\f(4,x-3)+x=eq\f(4,x-3)+(x-3)+3=-eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3-x)+3-x))+3≤-2eq\r(\f(4,3-x)·3-x)+3=-1,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4,3-x)=3-x,即x=1時(shí),等號成立.故f(x)的最大值為-1.答案:-14.(2022·江蘇淮安模擬)已知扇形面積為定值S,則半徑為________時(shí),扇形周長取最小值________.解析:設(shè)半徑為R,周長為l,∴S=eq\f(1,2)(l-2R)·R,∴l(xiāng)=2R+eq\f(2S,R)=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R+\f(S,R)))≥4eq\r(S),此時(shí)R=eq\f(S,R),則R=eq\r(S).答案:eq\r(S)4eq\r(S)5.已知x>0,y>0,且x+y=1,則eq\f(1,y)+eq\f(y,x)的最小值是________.解析:由已知,得eq\f(1,y)+eq\f(y,x)=eq\f(x+y,y)+eq\f(y,x)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)+\f(y,x)))+1≥2eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)=\f(y,x),,x+y=1,))且x>0,y>0,即x=y(tǒng)=eq\f(1,2)時(shí),取等號.答案:36.(2022·蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列,x,c,d,y成等比數(shù)列,則eq\f(a+b2,cd)的最小值是________.解析:由x、a、b、y成等差數(shù)列知a+b=x+y①由x、c、d、y成等比數(shù)列知cd=xy②把①②代入eq\f(a+b2,cd)得eq\f(a+b2,cd)=eq\f(x+y2,xy)=eq\f(x2+y2+2xy,xy)=eq\f(y,x)+eq\f(x,y)+2≥4.∴eq\f(a+b2,cd)的最小值為4.答案:47.(2022·江蘇省啟東中學(xué)高三質(zhì)量檢測)已知兩個(gè)正數(shù)x,y滿足x+4y+5=xy,則xy取最小值時(shí)x,y的值分別為________,________.解析:xy≥2eq\r(x·4y)+5,當(dāng)且僅當(dāng)x=4y時(shí)取等號,令eq\r(xy)=t(t>0),則不等式為t2-4t-5≥0,解得t≥5或t≤-1(舍去).∴eq\r(xy)=t=5,又x=4y,則x=10,y=eq\f(5,2).答案:10eq\f(5,2)8.設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù),滿足x-2y+3z=0,則eq\f(y2,xz)的最小值是________.解析:由x-2y+3z=0得y=eq\f(x+3z,2),代入eq\f(y2,xz)得eq\f(x2+9z2+6xz,4xz)≥eq\f(6xz+6xz,4xz)=3,當(dāng)且僅當(dāng)x=3z時(shí)取“=”.答案:3二、解答題(共30分)9.(本小題滿分14分)對于任意x∈R,不等式2x2-aeq\r(x2+1)+3>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:原不等式可化為a<eq\f(2x2+3,\r(x2+1))=eq\f(2x2+2+1,\r(x2+1))=2eq\r(x2+1)+eq\f(1,\r(x2+1))恒成立.問題轉(zhuǎn)化為求f(x)=2eq\r(x2+1)+eq\f(1,\r(x2+1))的最小值.令u=eq\r(x2+1)≥1而函數(shù)f(u)=2u+eq\f(1,u)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴f(u)≥f(1)=2+1=3,∴f(x)min=3,∴a<3.10.(本小題滿分16分)某工廠用7萬元錢購買了一臺新機(jī)器,運(yùn)輸安裝費(fèi)用2千元,每年投保、動(dòng)力消費(fèi)的費(fèi)用也為2千元,每年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的費(fèi)用逐年增加,第一年為2千元,第二年為3千元,第三年為4千元,依此類推,即每年增加1千元.問:這臺機(jī)器最佳使用年限是多少年?并求出年平均費(fèi)用的最小值.解:設(shè)這臺機(jī)器的最佳使用年限是n年,則n年的保養(yǎng)、維修、更換易損零件的總費(fèi)用為:+++…+(n+1)=eq\f(n2+3n,20),這n年機(jī)器的總費(fèi)用是:7+++eq\f(n2+3n,20)=+eq\f(n2+7n,20),這n年機(jī)器的平均費(fèi)用是:y=eq\f+\f(n2+7n,20),n)=+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,20)+\f,n))),又eq\f(n,20)+eq\f,n)≥2eq\r(\f,20))=,當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(n,20)=eq\f,n)取等號,即n=12時(shí)成立.故這臺機(jī)器最佳使用年限是12年,年平均費(fèi)用的最小值為萬元.B級素能提升練(時(shí)間:30分鐘滿分:50分)一、填空題(每小題5分,共20分)1.(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)如果實(shí)數(shù)x、y滿足x2+4y2=4,則(1+2xy)(1-2xy)的最小值為________.解析:由4=x2+4y2≥2eq\r(x2·4y2)得,4x2y2≤4,當(dāng)且僅當(dāng)x2=4y2=2時(shí)“=”號成立.∴(1+2xy)(1-2xy)=1-4x2y2≥-3.∴(1+2xy)(1-2xy)的最小值為-3.答案:-32.(2022·江蘇常州期末)函數(shù)y=log2x+logx(2x)(x≠1)的值域是________.解析:y=log2x+logx(2x)=1+(log2x+logx2),如果x>1,則log2x+logx2≥2,如果0<x<1,則log2x+logx2≤-2,∴函數(shù)的值域?yàn)?-∞,-1]∪[3,+∞).答案:(-∞,-1]∪[3,+∞)3.(2022·四川改編)設(shè)a>b>c>0,則2a2+eq\f(1,ab)+eq\f(1,aa-b)-10ac+25c2的最小值是________.解析:2a2+eq\f(1,ab)+eq\f(1,aa-b)-10ac+25c2.=2a2+eq\f(a-b+b,aba-b)-10ac+25c2=2a2+eq\f(1,ba-b)-10ac+25c2≥2a2+eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b+a-b,2)))2)-10ac+25c2(b=a-b時(shí)取“=”)=2a2+eq\f(4,a2)-10ac+25c2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2+\f(4,a2)))+(a-5c)2≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a=eq\r(2),b=eq\f(\r(2),2),c=eq\f(\r(2),5)時(shí)取“=”),故其最小值為4.答案:44.(2022·廣東廣州)已知a>b>0,則a2+eq\f(16,ba-b)的最小值是________.解析:a2+eq\f(16,ba-b)≥a2+eq\f(64,[b+a-b]2)=a2+eq\f(64,a2)≥16,當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b=a-b,,a2=\f(64,a2),))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2\r(2),,b=\r(2),))時(shí)等號成立,則a2+eq\f(16,ba-b)的最小值是16.答案:16二、解答題(共30分)5.(本小題滿分14分)(2022·江蘇)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位:m)如圖所示,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4cm,仰角∠ABE=α,∠ADE=(1)該小組已測得一組α、β的值,算出了tanα=,tanβ=,請據(jù)此算出H的值;(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后,認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位:m),使α與β之差較大,可以提高測量精度.若電視塔的實(shí)際高度為125m,試問d為多少時(shí)-β最大?解:(1)由AB=eq\f(H,tanα),BD=eq\f(h,tanβ),AD=eq\f(H,tanβ)及AB+BD=AD得eq\f(H,tanα)+eq\f(h,tanβ)=eq\f(H,tanβ)解得H=eq\f(htand,tanα-tanβ)=eq\f(4×,-=124.因此,算出的電視塔的高度H是124(2)由題設(shè)知d=AB,得tanα=eq\f(H,d).由AB=AD-BD=eq\f(H,tanβ)-eq\f(h,tanβ),得tanβ=eq\f(H-h(huán),d),所以tan(α-β)=eq\f(tanα-tanβ,1+tanαtanβ)=eq\f(h,d+\f(HH-h(huán),d))≤eq\f(h,2\r(HH-h(huán))),當(dāng)且僅當(dāng)d=eq\f(HH-h(huán),d),即d=eq\r(HH-h(huán))=eq\r(125×125-4)=55eq\r(5)時(shí),上式取等號.所以當(dāng)d=55eq\r(5)時(shí),tan(α-β)最大.因?yàn)?<β<α<eq\f(π,2),則0<α-β<eq\f(π,2),所以當(dāng)d=55eq\r(5)時(shí),α-β最大.故所求的d是55eq\r(5)m.6.(本小題滿分16分)西北西康羊皮手套公司準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi),對生產(chǎn)的羊皮手套進(jìn)行促銷.在1年內(nèi),據(jù)測算年銷售量S(萬雙)與廣告費(fèi)x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為S=3-eq\f(1,x)(x>0),已知羊皮手套的固定投入為3萬元,每生產(chǎn)1萬雙羊皮手套仍需再投入16萬元.(年銷售收入=年生產(chǎn)成本的150%+年廣告費(fèi)的50%).(1)試將羊皮手套的利潤L(萬元)表示為年廣告費(fèi)x(萬元)的函數(shù);(2)當(dāng)年廣告費(fèi)投入為多少萬元時(shí),此公司的年利潤最大,最大利潤為多少?(年利潤=年銷售收入-年廣告費(fèi)).解:(1)由題意知,羊皮手套的年成本為(16S+3)萬元,年銷售收入為(16S+3)×150%+x·50%,年利潤L=(16S+3)×150%+x·50%-(16S+3)-x,即L=eq
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