數(shù)字圖像處理第七章課件

第7章小波與多分辨率處理小波-——有限寬度的波；‘小’是指其衰減性， ‘波’是指其波動性，其正負(fù)相間的震蕩形式。 變化的頻率，有限的時延

小波與音樂 頻率-音高，時延-音長圖像的小波變換——圖像的樂譜 小波分析是近60年來，特別是80年代中后期發(fā)展起來的一個數(shù)學(xué)分支。多分辨率理論包括：信號處理中的子帶編碼數(shù)字語音識別中的正交鏡像濾波金字塔圖像處理7.1Background圖例：局部直方圖在到處變化?？梢?在一張圖中做簡單的統(tǒng)計能說明什么？/無法對整張圖像定義一個簡單的統(tǒng)計模型。通常多分辨率分析是需要的。7.1.1圖像金字塔均值/差值圖像金字塔，從底到第P層的總像素：<=（4/3）N2，采樣數(shù)大于原始像元數(shù)：超完備表示每次疊代有3個步驟：計算輸入圖像的降（空間）分辨率的近似圖。低通濾波后2維下采樣。2維上采樣步驟1的輸出，并用插補濾波器濾波。計算步驟1和步驟2輸出的差異，記為第j層的預(yù)測誤差。經(jīng)過P次疊代產(chǎn)生兩個內(nèi)在相關(guān)的P+1層金字塔：近似與預(yù)測誤差金字塔。如圖7.3圖7.2(b)產(chǎn)生圖像金字塔的框圖說明對7.1圖的一種可能的近似和預(yù)測誤差4層金字塔5*5的高斯低通濾波后下采樣Laplacian預(yù)測誤差(零值移到中灰度顯示）L10L9L8L7L7適合于定位窗梃，而不適于看瓶花的根莖預(yù)測誤差的直方圖在0處有尖峰。適于壓縮。圖像金字塔示例多分辨率人臉檢測7.1.2子帶濾波兩波段子帶編/解碼h0,h1是半波數(shù)字濾波器，其波譜分割特性如下圖選擇h0,h1,g0,g1,使的輸入信號能被完美重建，即x’(n)=x(n)QMF=Quadraturemirrorfilters（1976）積分鏡像濾波器CQF=Conjugatequadraturefilters（1986）共軛積分濾波器表7.1完全重建的濾波器家族（1維）這些1維濾波器可以對圖像的行、列分別作用來處理2維圖像圖7.64個8拍Daubechies正交濾波器的脈沖響應(yīng)其中h0(n),n=0,1,…7-0.010597400.032883010.03084138-0.18703481-0.027983760.630880760.714846570.23037781g0(K-1-n)=h0(n)g1(n)=(-1)ng0(K-1-n)h1(n)=g1(K-1-n)鏡像濾波器分解合成圖7.7用(7.6圖)子帶濾波器的(7.1圖）4頻帶拆分近似子帶水平子帶垂直子帶對角子帶參見圖7.5流程級聯(lián)的分解/合成濾波器族Haar變換的酋核心陣:矩陣越大，零元素越多圖7.8采用Haar基函數(shù)的離散小波變換可由上圖重構(gòu)的不同尺寸近似圖與子帶濾波與Laplacian金字塔類同上節(jié)介紹的3種著名成像技術(shù)在一種稱為多分辨率分析MRA的獨特數(shù)學(xué)理論的發(fā)展中起重要作用。在MRA中用一個比例函數(shù)創(chuàng)建系列近似圖，各圖與其最緊鄰的近似圖相差2的因數(shù)。另一個稱為小波的函數(shù)用來記錄相鄰近似圖之間的差異。7.2多分辨率擴展復(fù)習(xí)：正變換的本質(zhì)：在新坐標(biāo)軸上的投影。例如：含義：4維空間坐標(biāo)軸（基向量）含義：f在對應(yīng)坐標(biāo)軸的投影（值）對任何函數(shù)空間V及其對應(yīng)的展開序列存在一個對偶函數(shù)序列可用來計算f的投影系數(shù)：其中，是的復(fù)共軛根據(jù)展開序列的正交性，投影系數(shù)的計算可采用3種可能的形式之一。題7.10b7.2.2多分辨率擴展的比例尺函數(shù)由實軸上平方可積函數(shù)的整數(shù)位移k和2進變比例所組成的展開函數(shù)集：其中，j,k為整數(shù)。k決定函數(shù)在x軸上的位置；j決定函數(shù)的寬度，而2j/2控制函數(shù)的高度/幅值。當(dāng)j為某定值，其對應(yīng)的展開函數(shù)集是的子集。所支撐的空間記為圖7.9在j=0,1時的Haar比例尺函數(shù)(e):(f):由(f)可見，如果f(x)是V0的元素，則也是V1的元素。例7.4上例7.4中的簡單比例尺函數(shù)遵循多分辨率分析(MRA)的4個基本要求：1、比例尺函數(shù)與其整數(shù)位移正交（圖7.9a,b,c,d)Haar函數(shù)：緊支2、比例尺函數(shù)支撐的子空間是大比例尺的空間包含小比例尺：圖7.103、所有子空間的公共函數(shù)是：f(x)=04、所有函數(shù)都可以以任意精度表示：在這些條件下：子空間Vj的展開函數(shù)可由子空間Vj+1的展開函數(shù)加權(quán)和表示。將j=k=0代入上式，得MRA方程：是比例尺函數(shù)系數(shù)（原來用a0)因為：7.2.3小波函數(shù)

給定滿足MRA要求的比例尺函數(shù)，就能定義帶j,k的小波函數(shù)ψ(x),來支撐兩個相鄰子空間Vj

與Vj+1的差異。如圖7.11所示，我們定義小波集合：與比例尺函數(shù)一樣，記：如果：則：上圖中的比例尺函數(shù)和小波函數(shù)子空間的關(guān)系為：其中?表示空間的聯(lián)合。Vj在Vj+1的正交補足空間是Wj，Vj中的所有元素與Wj的元素正交：所有可測度的、平方可積的函數(shù)空間可表示為：或或者甚至由于小波空間被包含在由較高分辨率比例尺函數(shù)支撐的空間中(圖7.11)，任何小波函數(shù)均可以表示其較高分辨率比例尺函數(shù)的線性組合:其中，稱為小波函數(shù)系數(shù)?？勺C明，小波函數(shù)系數(shù)與比例尺函數(shù)系數(shù)間的關(guān)系為：這與子帶濾波器的脈沖響應(yīng)間的關(guān)系相似，（鏡像）Haar小波：W0Haar小波：W1圖d:V1中的函數(shù)f(x)可由V0?W0表示,Page372如：圖d=圖e+圖fV0W0例7.6（重復(fù)）Haar變換的函數(shù)定義在閉區(qū)間[0，1]：令正整數(shù)：整數(shù)p,q分別是尺度和位移。Haar函數(shù)定義：對于i-0,1,2,…,N-1,如果x=i/N,則可產(chǎn)生一組基函數(shù)。Haar函數(shù)是一些簡單的階躍函數(shù)。Haar單位高、單位寬的尺度函數(shù)：Haar小波函數(shù)：7.3WaveletTransformsinOneDimension小波系列展開離散小波變換連續(xù)小波變換付氏系列展開離散付氏變換連續(xù)付氏變換7.3.1小波系列展開在小波ψ和比例尺函數(shù)φ上定義實軸平方可積函數(shù)f：其中：j0是任意起始比例尺，稱為近似或比例系數(shù)；稱為細(xì)節(jié)或小波系數(shù)。第1項是在j0比例尺上近似f(x),第2項是累加j0起的細(xì)節(jié)。如果展開函數(shù)構(gòu)成一個正交歸一化的基，則：例7.7一維小波變換：將2個子帶的濾波器族遞歸地用到前一步的低頻子帶，產(chǎn)生倍頻分裂7.3.2TheDiscreteWaveletTransform（DWT）上述小波展開是針對連續(xù)函數(shù)，如果對于離散采樣序列，上述小波系列展開式就變成：DWT變換對：對j>=j0其中，f(x),是離散變量x=0,1,2,…M-1的函數(shù)通常j0=0,M=2J,因此：x=0,1,2,…,M-1,j=0,1,2,…J-1,k=0,1,2,…,2j-1.(上限與j的當(dāng)前值有關(guān)）近似系數(shù)細(xì)節(jié)系數(shù)例7.8計算f(x)={1,4,-3,0}的1維DWTM=4,J=2,j0=0采用Haar比例尺和小波函數(shù)，并假設(shè)f(x)的4個樣本分布在這些基函數(shù)的支撐上。這樣，DWT得到從重建原函數(shù)：j=0,1問題7.167.3.3連續(xù)小波變換（CWT)略7.4TheFastWaveletTransform(FWT)7.52維小波變換yxi={H,V,D}大小為M*N的函數(shù)f(x,y)的DWTi={H,V,D}其中，j0是任意初始尺度，是對f(x,y)在該尺度上的近似。是為尺度j>=j0的f(x,y)添加方向細(xì)節(jié)。正向反向：可用數(shù)字濾波器和下采樣實現(xiàn)。2D-DWT的頻域系數(shù)4分樹沿行方向檢測，得垂直邊緣沿列方向檢測，得水平邊緣nm合成濾波器族分析濾波器族2D-FWT求內(nèi)積線性疊加例7.123尺度的FWT第4階一維對稱小波Symlets=SymmetricalWavelets分解濾波器合成濾波器一維的小波和尺度Fig.7.24(Con’t)檢測水平細(xì)節(jié)的2維小波xy不同小波基的小波變換Daubechiesorthonormal8-tapfilters

8-padsSymlets雙正交Cohen-Daubechies-Feauveau17/11wavelets

小波在圖像處理中的應(yīng)用步驟：計算一幅圖像的2維小波變換改動變換頻譜計算反變換由于DWT的尺度和小波向量被用作低通和高通濾波器，大部分付氏變換域的濾波技術(shù)都有對應(yīng)的小波域濾波技術(shù)。例7.13小波基邊緣檢測Multiscaleedgedetection

例7.14基于小波的噪聲消除a.原圖b.2尺度的低通c.最高分辨率細(xì)節(jié)的高通d.c與a的差異,包含大部分原圖噪聲和一些邊緣。e.2尺度的細(xì)節(jié)全部丟棄，僅用低分辨的近似f.e與a的差異,邊緣信息增加。消除圖像噪聲的通用小波基程序：選擇小波（比如Haar,Symlet,…)和分解的級數(shù)P.計算該噪聲圖像的FWT。對各級細(xì)節(jié)（小波）系數(shù)閾值化。硬閾值化：對系數(shù)的幅值低于閾值者置零。（系數(shù)不連續(xù)）軟閾值化：硬閾值化后將剩下的系數(shù)拉伸到零?；贘-P級的原始近似系數(shù)和從J-1到J-P的改動的細(xì)節(jié)系數(shù)，進行小波重建。7.6WaveletPac