概率統(tǒng)計第七章12課件

第七章假設檢驗

§7.1假設檢驗的基本思想與概念§7.2正態(tài)總體參數假設檢驗§7.3其它分布參數的假設檢驗§7.4分布擬合檢驗§7.1

假設檢驗的基本思想與概念

7.1.1假設檢驗問題

某產品出廠檢驗規(guī)定:次品率p不超過4%才能出廠.現從一萬件產品中任意抽查12件發(fā)現1件次品,問該批產品能否出廠？若抽查結果發(fā)現3件次品,問能否出廠？

引例1

抽查12件發(fā)現1件按理不能出廠.分析直接算求檢驗準則：——抽取的12個產品中至少有幾個次品則判斷不合格？思路：假定p<=4%,約定α=0.01（小概率）,記12件樣品中的次品數為X，檢驗準則為一次試驗中，“Xk”發(fā)生為小概率事件時，則不能出廠。對總體提出假設要求利用樣本觀察值對提供的信息作出接受(可出廠),還是接受(不準出廠)的判斷.出廠檢驗問題的數學模型(1)小概率原理:認為概率很小的事件在一次試驗中實際上不會出現,并且小概率事件在一次試驗中出現了,就被認為是不合理的.(2)基本思想:先對總體的參數或分布函數的作出某種假設,然后找出一個在假設下發(fā)生可能性甚小的小概率事件.如果試驗或抽樣的結果使該小概率事件發(fā)生了,這與小概率原理相違背,表明原來的假設有問題,應拒絕這個假設.若該小概率事件在一次試驗或抽樣中并未出現,表明試驗或抽樣結果支持這個假設,則接受原來的假設.統(tǒng)計檢驗的基本思想需要根據實際問題的需要,對總體參數或分布函數的表達式做出某種假設(稱為統(tǒng)計假設),再利用從總體中獲得的樣本信息來對所作假設的真?zhèn)巫龀雠袛嗷蜻M行檢驗.這種利用樣本檢驗統(tǒng)計假設真?zhèn)蔚倪^程叫做統(tǒng)計檢驗(假設檢驗)二、選擇檢驗統(tǒng)計量由樣本對原假設進行判斷總是通過一個統(tǒng)計量完成的，該統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量。

找出在原假設

成立條件下,該統(tǒng)計量所服從的分布。三、選擇顯著性水平，給出拒絕域形式小概率原理中,關于“小概率”的值通常根據實際問題的要求而定,如取α=0.1,0.05,0.01等,

α為檢驗的顯著性水平(檢驗水平).根據所要求的顯著性水平α,描寫小概率事件的統(tǒng)計量的取值范圍稱為該原假設的拒絕域(否定域),一般用W表示；一般將稱為接受域。拒絕域的邊界稱為該假設檢驗的臨界值.

α/2

α/2Xφ(x)接受域P(|U|>u1－α/2)=α拒絕域拒絕域u1－α/2-u1－α/2若原假設正確,則不應該小于110太多,故比110小到一定程度是小概率事件.可以確定一個臨界值c使得因此,取,則由為檢驗的接受域即區(qū)間(,108.648

)為檢驗的拒絕域稱的取值區(qū)間(108.648,+)四、作出判斷

在有了明確的拒絕域后，根據樣本觀測值我們可以做出判斷：

當

或時，則拒絕

即接收

；

當

或

時，則接收

在例7.1.1中，由于因此拒絕原假設，即認為該日生產不正常。正確正確假設檢驗的兩類錯誤犯第一類錯誤的概率通常記為，拒真概率犯第二類錯誤的概率通常記為，受偽概率H0

為真H0

為假真實情況所作判斷接受H0拒絕H0第一類錯誤(拒真)第二類錯誤(受偽)

α/2

α/2Xφ(x)

增大樣本容量n時,可以使α和β同時減小.注意:

uα/2

-uα/2β原假設真：μ=μ0備擇假設真：μ≠μ0(μ>μ0)當樣本容量一定時,小,就大,反之,小,就大.在進行假設檢驗時,我們采取的原則是:控制犯第一類錯誤(即事先給定且很小)的同時使犯第二類錯誤的概率達到最小.關于原假設與備擇假設的選取H0與H1地位應平等,但在控制犯第一類錯誤的概率的原則下,使得采取拒絕H0的決策變得較慎重,即H0得到特別的保護.因而,通常把有把握的、有經驗的結論作為原假設,或者盡可能使后果嚴重的錯誤成為第一類錯誤.勢函數

是定義在參數空間

上的一個函數。犯兩類錯誤的概率都是參數的函數，并可由勢函數算得，即：對例7.1.1，其拒絕域為，由(7.1.3)可以算出該檢驗的勢函數這個勢函數是的減函數

vvg同時可得如下結論：

利用這個勢函數容易寫出犯兩類錯誤的概率分別為和思考：嗎？則稱該檢驗是顯著性水平為的顯著性檢驗，簡稱水平為的檢驗。

定義7.1.2

對檢驗問題對如果一個檢驗滿足對任意的

，都有

求勢函數例：見P334NO.2

α/2

α/2Xφ(x)接受域P(|U|>u1-α/2)=α否定域否定域u1-α/2-u1-α/2雙側統(tǒng)計檢驗U檢驗該檢驗用u檢驗統(tǒng)計量，故稱為u檢驗。

2)對統(tǒng)計量:1)提出原假設和備擇假設:H0:μ≤μ0;H1:μ>μ0,3)故拒絕條件為U>u1-α對給定的α有在H0下有所以②H0:μ≤μ0(已知);H1:μ>μ0（右側檢驗）αXφ(x)接受域否定域u1-α單側（右側）統(tǒng)計檢驗P(>u1-α)≤α2)選擇統(tǒng)計量:1)提出原假設和備擇假設:H0:μ≥μ0;H1:μ<μ0,3)對給定α,否定域為U<-u1-α,③H0:μ≥μ0(已知);H1:μ<μ0（左側檢驗）

αXφ(x)接受域否定域-u1-α單側（左側）統(tǒng)計檢驗P(<-u1-α)≤α由可推出具體的拒絕域為該檢驗的勢函數是的函數，它可用正態(tài)分布寫出，具體為

對右側檢驗勢函數是的增函數（見圖），只要

就可保證在

時有7.2.1(a)的圖形對左側檢驗是類似只是拒絕域變?yōu)?其勢函數為對雙側檢驗問題(7.2.3)，拒絕域為其勢函數為7.2.1(b)(c)的圖形例7.2.1

從甲地發(fā)送一個訊號到乙地。設乙地接受到的訊號值服從正態(tài)分布

其中

為甲地發(fā)送的真實訊號值?，F甲地重復發(fā)送同一訊號5次，乙地接收到的訊號值為

8.058.158.28.18.25設接受方有理由猜測甲地發(fā)送的訊號值為8，問能否接受這猜測？解：這是一個假設檢驗的問題，總體X~N(,0.22),檢驗假設:這個雙側檢驗問題的拒絕域為取置信水平=0.05，則查表知u0.975=1.96。用觀測值可計算得u值未落入拒絕域內，故不能拒絕原假設，即接受原假設，可認為猜測成立。二、未知時的t檢驗由于

未知，一個自然的想法是將（7.2.4）中未知的替換成樣本標準差s，這就形成t檢驗統(tǒng)計量(7.2.9)三種假設的檢驗拒絕域分別為例7.2.2

某廠生產的某種鋁材的長度服從正態(tài)分布，其均值設定為240厘米。現從該廠抽取5件產品，測得其長度為（單位：厘米）239.7239.6239240239.2試判斷該廠此類鋁材的長度是否滿足設定要求？

解：這是一個關于正態(tài)均值的雙側假設檢驗問題。采用t檢驗，拒絕域為:現由樣本計算得到:t==2.7951由于2.7951>2.776，故拒絕原假設，認為該廠生產的鋁材的長度不滿足設定要求。

若取=0.05，則t0.975(4)=2.776.故檢驗法條件檢驗統(tǒng)計量拒絕域u

檢驗已知t

檢驗未知原假設備擇假設表7.2.1單個正態(tài)總體的均值的檢驗問題單正態(tài)總體均值假設檢驗的步驟第一，根據題意，提出原假設和備擇假設；兩者在邏輯上是對立的.第二，確定顯著性水平α，并計算出臨界值；確定統(tǒng)計量的拒絕域和接受域，注意是單邊還是雙邊檢驗；第三，確定適當的檢驗統(tǒng)計量，并計算其取值；（比如單總體均值檢驗中,當已知總體方差時，用U統(tǒng)計量;總體方差未知時，用t統(tǒng)計量）第四，將檢驗統(tǒng)計量的值與臨界值進行比較，作出接受還是拒絕原假設的統(tǒng)計決策三、假設檢驗與置信區(qū)間的關系

這里用的檢驗統(tǒng)計量與6.5.5節(jié)中置信區(qū)間所用的樞軸量是相似的。這不是偶然的，兩者之間存在非常密切的關系。設

是來自正態(tài)總體

的樣本，現在未知場合討論關于均值的檢驗問題?？紤]雙側檢驗問題:它可以改寫為并且有若讓0

在(-)內取值，就可得到的1-置信區(qū)間：

這里0并無限制.則水平為的檢驗接受域為

關于的水平為的顯著性檢驗。是一一對應的。

類似地，“參數的1-置信上限”與“關于

的單側檢驗問題的水平的檢驗”反之若有一個如上的1-置信區(qū)間，也可獲得所以:“正態(tài)均值的1-置信區(qū)間”與“關于

的雙側檢驗問題的水平的檢驗”參數的1-置信下限與另一個單側檢驗也是一一對應的。是一一對應的。

假設檢驗與置信區(qū)間對照接受域置信區(qū)間檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布

00（2

已知)（2

已知)原假設

H0備擇假設

H1待估參數接受域置信區(qū)間檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布原假設

H0備擇假設

H1待估參數

0

0（

2未知）（

2未知）接受域置信區(qū)間假設檢驗區(qū)間估計統(tǒng)計量樞軸量對偶關系相似函數假設檢驗與區(qū)間估計的聯系7.2.2兩個正態(tài)總體均值差的檢驗檢驗法條件原假設備擇假設檢驗統(tǒng)計量拒絕域u檢驗已知t檢驗未知大樣本檢u

驗

未知m,n充分大近似t

檢驗未知m,n不很大例7.2.3

某廠鑄造車間為提高鑄件的耐磨性而試制了一種鎳合金鑄件以取代銅合金鑄件，為此，從兩種鑄件中各抽取一個容量分別為

8和9的樣本，測得其硬度為

鎳合金：76.4376.2173.5869.6965.2970.8382.7572.34銅合金：73.6664.2769.3471.3769.7768.1267.2768.0762.61根據經驗，硬度服從正態(tài)分布，且方差保持不變。試在顯著性水平下判斷鎳合金的硬度是否有明顯提高。解：用X表示鎳合金的硬度，Y表示銅合金的硬度，則由假定，

要檢驗的假設是：

經計算，

從而查表知由于故拒絕原假設，可判斷鎳合金硬度有顯著提高。7.2.3正態(tài)總體方差的檢驗一、單個正態(tài)總體方差的檢驗

設

是來自

的樣本，對方差亦可考慮如下三個檢驗問題：

通常假定未知，它們采用的檢驗統(tǒng)計量是相同的，均為

若取顯著性水平為，則對應三個檢驗問題的拒絕域依次分別為例7.2.4

某類鋼板每塊的重量X服從正態(tài)分布，其一項質量指標是鋼板重量的方差不得超過

0.016(kg2)?，F從某天生產的鋼板中隨機抽取

25塊，得其樣本方差S2=0.025(kg2)，問該天生產的鋼板重量的方差是否滿足要求。解：原假設為備擇假設為此處n=25，若取=0.05，則查表知由此，在顯著性水平0.05下，我們拒絕原假設，認為該天生產的鋼板重量不符合要求。現計算可得接受域置信區(qū)間檢驗統(tǒng)計量及其在H0為真時的分布樞軸量及其分布原假設

H0備擇假設

H1待估參數2022=022(未知)(未知)二、兩個正態(tài)總體方差比的F檢驗

設

是來自

的樣本，

是來自

的樣本?？紤]如下三個假設檢驗問題

通常,均未知，記,分別是由算得的

的無偏估計和由

算得的

的無偏估計.可建立檢驗統(tǒng)計量:三種檢驗問題對應的拒絕域依次為}。

或例7.2.5

甲、乙兩臺機床加工某種零件，零件的直徑服從正態(tài)分布，總體方差反映了加工精度，為比較兩臺機床的加工精度有無差別，現從各自加工的零件中分別抽取7件產品和8

件產品，測得其直徑為

X(機床甲)16.216.415.815.516.715.615.8Y(機床乙)15.916.016.416.116.515.815.715.0這就形成了一個雙側假設檢驗問題，原假設是

備擇假設為此處m=7，n=8，經計算查表知于是

，若取

=0.05，其拒絕域為由此可見，樣本未落入拒絕域，即在0.05水平下可以認為兩臺機床的加工精度一致。

問題母親嗜酒是否影響下一代的健康

美國的Jones醫(yī)生于1974年觀察了母親在妊娠時曾患慢性酒精中毒的6名七歲兒童（稱為甲組）.以母親的年齡，文化程度及婚姻狀況與前6名兒童的母親相同或相近，但不飲酒的46名七歲兒童為對照租(稱為乙組).測定兩組兒童的智商，結果如下：甲組67819乙組469916人數智商平均數樣本標準差智商組別由此結果推斷母親嗜酒是否影響下一代的智力？若有影響，推斷其影響程度有多大?提示前一問題屬假設檢驗問題后一問題屬區(qū)間估計問題智商一般受諸多因素的影響.從而可以本問題實際是檢驗甲組總體的均值是否比乙組總體的均值偏小?若是，這個差異范圍有多大?前一問題屬假設檢驗，后一問題屬區(qū)間估計.解假定兩組兒童的智商服從正態(tài)分布.由于兩個總體的方差未知，而甲組的樣本容量較小，因此采用大樣本下兩總體均值比較的U—檢驗法似乎不妥.故當為真時，統(tǒng)計量采用方差相等(但未知)時，兩正態(tài)總體均值比較的t—檢驗法對第一個問題作出回答.為此,利用樣本先檢驗兩總體方差是否相等，即檢驗假設拒絕域為

F的觀察值未落在拒絕域內，故接受.即可認為兩總體方差相等.下面用t—檢驗法檢驗是否比