2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)導(dǎo)航1相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率

相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【考綱要求】1、理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.2、了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【基礎(chǔ)知識(shí)】（1）相互獨(dú)立事件的概率1．相互獨(dú)立事件的定義：設(shè)A,B為兩個(gè)事件，如果P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨(dú)立）若與是相互獨(dú)立事件，則與，與，與也相互獨(dú)立2．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即．（2）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義：指在同樣條件下進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)2．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式：一般地，如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生次的概率．它是展開(kāi)式的第項(xiàng)3.離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布:在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量．如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生次的概率是，（）．正好是二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第項(xiàng)。所以記作～，讀作服從二項(xiàng)分布，其中為參數(shù).（3）溫馨提示1、互斥事件和相互獨(dú)立事件的區(qū)別：兩事件互斥是指同一次試驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指不同試驗(yàn)下，二者互不影響；兩個(gè)相互獨(dú)立事件不一定互斥，即可能同時(shí)發(fā)生，而互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生。2、判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，要看兩點(diǎn)：①是否為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；②隨機(jī)變量是否是在這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)?！纠}精講】例1對(duì)貯油器進(jìn)行8次獨(dú)立射擊，若第一次命中只能使汽油流出而不燃燒，第二次命中才能使汽油燃燒起來(lái)．每次射擊命中目標(biāo)的概率為，求汽油燃燒起來(lái)的概率．解：使汽油燃起來(lái)至少需要在這8次射擊中有2次命中，故其概率為：例2如圖，已知電路中4個(gè)開(kāi)關(guān)閉合的概率都是，且是互相獨(dú)立的，求燈亮的概率解：證A、B、C、D這4個(gè)開(kāi)關(guān)閉合分別為事件A，B，C，D，記A與B至少有一個(gè)不閉合為事件E，則．亮燈的概率為P，則．相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率強(qiáng)化訓(xùn)練【基礎(chǔ)精練】1．甲乙兩名計(jì)算機(jī)人員分別獨(dú)立破譯某一網(wǎng)站的登尋密碼，他們破譯成功的概率分別為eq\f(1,10)，eq\f(3,10)，則該登尋密碼被破譯的概率為()\f(7,10) \f(37,100)\f(9,10) \f(63,100)2．某一批花生種子，如果每1粒發(fā)芽的概率為eq\f(4,5)，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是()\f(16,625) \f(96,625)\f(192,625) \f(256,625)3．從編號(hào)為1,2，…，10的10個(gè)大小相同的球中任取4個(gè)，則所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6的概率為()\f(1,84) \f(1,21)\f(2,5) \f(3,5)4．在中山路上的A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開(kāi)放綠燈的時(shí)間分別為25秒，35秒，45秒，某輛車在中山路上行駛，則在三處都不停車的概率是()\f(25,192) \f(35,576)\f(25,576) \f(35,192)5．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率P(A)是()\f(2,9) \f(1,18)\f(1,3) \f(2,3)6．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是eq\f(1,2)，質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3 B．Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5C．Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3 D．Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))57．設(shè)有兩臺(tái)自動(dòng)化機(jī)床，第一臺(tái)在一小時(shí)內(nèi)不需要工人照看的概率為，第二臺(tái)在一小時(shí)內(nèi)不需要工人照看的概率為，那么在一小時(shí)內(nèi)兩臺(tái)機(jī)床都不需要工人照看的概率為_(kāi)_______．8．2個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員在罰球時(shí)投球的命中率分別為和，每人投籃3次，則2人都恰好進(jìn)2球的概率為_(kāi)______________________________________．9．接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為_(kāi)_______．(精確到10．某項(xiàng)選拔共有四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問(wèn)題的概率分別為eq\f(4,5)、eq\f(3,5)、eq\f(2,5)、eq\f(1,5)，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響．(1)求該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率．(注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示)11．排球比賽的規(guī)則是5局3勝制，A、B兩隊(duì)每局比賽獲勝的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(1,3).(1)前2局中B隊(duì)以2∶0領(lǐng)先，求最后A、B隊(duì)各自獲勝的概率；(2)求B隊(duì)以3∶2獲勝的概率．12．某工廠為了保障安全生產(chǎn)，每月初組織工人參加一次技能測(cè)試．甲、乙兩名工人通過(guò)每次測(cè)試的概率分別是eq\f(4,5)和eq\f(3,4).假設(shè)兩人參加測(cè)試是否通過(guò)相互之間沒(méi)有影響．(1)求甲工人連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試至少有1次未通過(guò)的概率；(2)求甲、乙兩人各連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試，甲工人恰好通過(guò)2次且乙工人恰好通過(guò)1次的概率；(3)工廠規(guī)定：工人連續(xù)2次沒(méi)通過(guò)測(cè)試，則被撤銷上崗資格．求乙工人恰好參加4次測(cè)試后被撤銷上崗資格的概率．【拓展提高】1.設(shè)有兩架高射炮，每一架擊中飛機(jī)的概率都是，試求同時(shí)射擊一發(fā)炮彈而命中飛機(jī)的概率是多少？又若一架敵機(jī)侵犯，要以的概率擊中它，問(wèn)需要多少架高射炮？2.一個(gè)工人看管8部同一類型的機(jī)器，在一小時(shí)內(nèi)四部機(jī)器需要工人照看的概率等于，求下列事件的概率．求（1）一小時(shí)內(nèi)，8部機(jī)器中有4部需要工人照看；（2）一小時(shí)內(nèi)，需要工人照看的機(jī)器不多于6部．【基礎(chǔ)精練參考答案】1.B【解析】P＝1－(1－eq\f(1,10))(1－eq\f(3,10))＝1－eq\f(63,100)＝eq\f(37,100).2.B【解析】由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式得P4(2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))2＝eq\f(96,625)，選B.3.B【解析】從10個(gè)球中任取4個(gè)球共有Ceq\o\al(4,10)種結(jié)果，最大號(hào)碼為6的4個(gè)球中，有3個(gè)球從1～5號(hào)5個(gè)球中任取共有Ceq\o\al(3,5)種結(jié)果，故其概率為eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,21)，故選B.4.D【解析】設(shè)這輛車在A，B，C處不停車(開(kāi)放綠燈)的事件分別為A，B，C，根據(jù)題意得P(A)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(35,60)＝eq\f(7,12)，P(C)＝eq\f(45,60)＝eq\f(3,4)，又A，B，C相互獨(dú)立，故P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).5.D【解析】由題意，P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，P(eq\x\to(A))·P(B)＝P(A)·P(eq\x\to(B))．設(shè)P(A)＝x，P(B)＝y(tǒng)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1((1－x)(1－y)＝\f(1,9)，,(1－x)y＝x(1－y).))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x－y＋xy＝\f(1,9)，,x＝y(tǒng).))∴x2－2x＋1＝eq\f(1,9).∴x－1＝－eq\f(1,3)，或x－1＝eq\f(1,3)(舍去)．∴x＝eq\f(2,3).6.B【解析】如圖所示，P＝Ceq\o\al(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝Ceq\o\al(2,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5.7.【解析】設(shè)事件A表示“第一臺(tái)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要工人照看”，事件B表示“第二臺(tái)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不需要工人照看”．因?yàn)閮膳_(tái)機(jī)床是相互獨(dú)立工作的，因此事件A，B是相互獨(dú)立事件，已知P(A)＝，P(B)＝，“在一小時(shí)內(nèi)兩臺(tái)機(jī)床都不需要工人照看”事件為A·B，則P(A·B)＝P(A)·P(B)＝×＝.8.0.19【解析】設(shè)“甲投球3次進(jìn)2球”為事件A，“乙投球3次，進(jìn)2球”為事件B，顯然事件A，B獨(dú)立；又P(A)＝Ceq\o\al(2,3)××(1－3－2，P(B)＝Ceq\o\al(2,3)××(1－3－2，∴2人都進(jìn)2球的概率為P(A·B)＝P(A)·P(B)＝Ceq\o\al(2,3)×××Ceq\o\al(2,3)××≈.9.【解析】設(shè)出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的人數(shù)為ξ：P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,5)××＝8，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,5)××＝6，P(ξ＝5)＝Ceq\o\al(5,5)×＝68，∴P＝8＋6＋68＝08≈.10.【解析】記“選手進(jìn)入第i輪”為事件Ai(1≤i≤4且i∈N*)，則事件Ai是相互獨(dú)立事件．(1)該選手進(jìn)入第四輪才被淘汰的概率P1＝P(A1A2A3eq\x\to(A4))＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))＝eq\f(96,625).(2)該選手至多進(jìn)入第三輪考核的對(duì)立事件是該選手進(jìn)入第四輪考核且P(A4)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(24,125)，則該選手至多進(jìn)入第三輪考核的概率P2＝1－eq\f(24,125)＝eq\f(101,125).11.【解析】(1)設(shè)最后A隊(duì)獲勝的概率為P1，最后B隊(duì)獲勝的概率為P2.則P1＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27).P2＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(19,27)(或P2＝1－P1＝eq\f(19,27))．(2)設(shè)B隊(duì)以3∶2獲勝的概率為P3，則P3＝Ceq\o\al(2,5)(eq\f(1,3))3(eq\f(2,3))2＝eq\f(8,81).12.【解析】(1)記“甲工人連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試，至少有1次未通過(guò)”為事件A1，則P(A1)＝1－P(eq\x\to(A1))＝1－(eq\f(4,5))3＝eq\f(61,125).(2)記“連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試，甲工人恰好通過(guò)2次”為事件A2，“連續(xù)3個(gè)月參加技能測(cè)試，乙工人恰好通過(guò)1次”為事件B1，則P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(4,5))2·(1－eq\f(4,5))＝eq\f(48,125)，P(B1)＝Ceq\o\al(1,3)·(eq\f(3,4))·(1－eq\f(3,4))2＝eq\f(9,64)，故P(A2·B1)＝P(A2)·P(B1)＝eq\f(48,125)×eq\f(9,64)＝eq\f(27,500)