初中教學(xué)數(shù)學(xué)建模

PAGEPAGE3初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)感悟摘要：數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)課程應(yīng)體現(xiàn)“問(wèn)題情境——建立數(shù)學(xué)模型——理解、應(yīng)用與拓展”，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程．初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)宜低起點(diǎn)、小步子、多活動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)晶，是高度概括的數(shù)學(xué)理論．?dāng)?shù)學(xué)建模教學(xué)要重視數(shù)學(xué)知識(shí)，更應(yīng)突出數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，在獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感、態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展．關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；建模教學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，數(shù)學(xué)課程應(yīng)體現(xiàn)“問(wèn)題情境——建立數(shù)學(xué)模型——理解、應(yīng)用與拓展”，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感、態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展．對(duì)復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)其中的可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述的關(guān)系或規(guī)律，把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，這就稱為數(shù)學(xué)模型．?dāng)?shù)學(xué)建模就是將某一領(lǐng)域或部門的某一實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)一定的假設(shè)找出這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，并對(duì)它進(jìn)行驗(yàn)證的全過(guò)程．從廣義來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模伴隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程．?dāng)?shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用都屬于數(shù)學(xué)建模的范疇．?dāng)?shù)學(xué)建模的基本過(guò)程大致為：數(shù)學(xué)抽象解釋與檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)解實(shí)際問(wèn)題的解數(shù)學(xué)抽象解釋與檢驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)解實(shí)際問(wèn)題的解一、初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)宜低起點(diǎn)、小步子、多活動(dòng)過(guò)去數(shù)學(xué)建模只作為高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)和部分計(jì)算機(jī)專業(yè)的課程．初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)和高校的數(shù)學(xué)建模教學(xué)有很大的不同，初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)一般先提出問(wèn)題、引入正題；然后分析問(wèn)題，在“引導(dǎo)——探索——?jiǎng)?chuàng)造”中建立模型；最后利用模型解決問(wèn)題．根據(jù)初中學(xué)生的身心發(fā)展水平、已經(jīng)掌握的知識(shí)結(jié)構(gòu)，初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)宜“低起點(diǎn)、小步子、多活動(dòng)”．低起點(diǎn)，就是根據(jù)學(xué)生的現(xiàn)有水平，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，降低教學(xué)的起點(diǎn)，以便全體學(xué)生都能真正進(jìn)入到教學(xué)活動(dòng)中去．小步子，就是按照由易到難，由淺入深，由單一到綜合，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的原則，安排層次分明，但梯度較小的教學(xué)情境，分散教學(xué)難點(diǎn)，突出教學(xué)重點(diǎn)，引領(lǐng)學(xué)生沿著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的臺(tái)階拾級(jí)而上，最終達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)的要求．多活動(dòng)，就是恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)問(wèn)題情境，引領(lǐng)學(xué)生動(dòng)眼看、動(dòng)腦想、動(dòng)口說(shuō)、動(dòng)手做，引領(lǐng)學(xué)生開(kāi)展自主學(xué)習(xí)、合作交流、提問(wèn)質(zhì)疑等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生在活動(dòng)中獲得知識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)展思維．[案例1]銷售中的盈虧問(wèn)題的建模教學(xué)1、背景問(wèn)題某商店在某一時(shí)間以每件60元的價(jià)格賣出兩件衣服，其中一件盈利25%，另一件虧損25%，賣這兩件衣服總的是盈利還是虧損，或是不盈不虧?（人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第104頁(yè)）2、數(shù)學(xué)建模（1）問(wèn)題分析①假設(shè)一件衣服的進(jìn)價(jià)是元，以60元賣出，賣出后盈利25%，那么這件衣服的利潤(rùn)是多少元？②假設(shè)一件衣服的進(jìn)價(jià)是元，以60元賣出，賣出后虧損25%，那么這件衣服的利潤(rùn)是多少元？（2）模型建立問(wèn)題1你認(rèn)為銷售價(jià)與進(jìn)價(jià)之間具有怎樣的關(guān)系時(shí)是盈利的？將以80%的優(yōu)惠價(jià)出售，結(jié)果每臺(tái)彩電賺了300元，則經(jīng)銷這種商品的利潤(rùn)率是多少?應(yīng)用4某件商品進(jìn)價(jià)是3000元，標(biāo)價(jià)為4500元，商場(chǎng)規(guī)定該商品售出時(shí)利潤(rùn)率不低于5%．那么售貨員在出售該商品時(shí)最多可以打幾折？銷售中的盈虧問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，先將背景問(wèn)題分解成2個(gè)小問(wèn)題進(jìn)行分析，降低教學(xué)的起點(diǎn)，以便全體學(xué)生從課堂教學(xué)的一開(kāi)始都能真正進(jìn)入到教學(xué)活動(dòng)中去．緊跟其后的6個(gè)小問(wèn)題帶動(dòng)學(xué)生拾級(jí)而上，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中探索規(guī)律、“創(chuàng)造”數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感、態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)模型中的量既可以是確定的固定的量，也可以是相對(duì)變化的量．通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的量作了適當(dāng)?shù)奶幹?，可以解決原本需要用不等式解決的“應(yīng)用4”．通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型、應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)上升一個(gè)新臺(tái)階．二、初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)突出數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)晶，是高度概括的數(shù)學(xué)理論．?dāng)?shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的反映和體現(xiàn)，它貫穿在知識(shí)的汲取、儲(chǔ)存、加工、運(yùn)用的全過(guò)程．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解決問(wèn)題，都是知識(shí)與方法相互作用的結(jié)果．初中數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想有：字母代數(shù)的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類的思想、方程與函數(shù)的思想、公理化思想等．?dāng)?shù)學(xué)方法有：類比法、歸納法、演繹法、配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等．這些思想方法相互聯(lián)系，相互滲透，相互補(bǔ)充，將整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)成一個(gè)有機(jī)和諧統(tǒng)一的整體．?dāng)?shù)學(xué)建模教學(xué)要重視數(shù)學(xué)知識(shí)，更應(yīng)突出數(shù)學(xué)思想方法．[案例2]圓周角定理的建模教學(xué)1、背景問(wèn)題（1）如圖1所示，、是⊙O中的所對(duì)的兩個(gè)圓周角，分別量出這兩個(gè)圓周角的度數(shù)，比較一下它們的大?。僮儎?dòng)點(diǎn)在圓周上的位置，這時(shí)圓周角的度數(shù)有沒(méi)有變化？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？（2）再量出圖中所對(duì)的圓心角的度數(shù)，你又有什么發(fā)現(xiàn)?（人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第91頁(yè)）2、模型建立（1）模型猜想同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半．（2）驗(yàn)證猜想問(wèn)題1你選擇先證明“同弧所對(duì)的圓周角相等”，還是先證明“弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半”？說(shuō)說(shuō)你的理由？歸納選擇先證明“弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半”．因?yàn)棰匐S著在圓周上的位置發(fā)生變化，得到許多個(gè)圓周角，而這條弧所對(duì)的圓心角只有一個(gè)；②如果“弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半”成立，那么“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)相等”自然成立．問(wèn)題2按照?qǐng)A心與圓周角的位置關(guān)系，變動(dòng)在圓周上的位置時(shí)所得到許多個(gè)圓周角可以分成幾種情況？歸納按照?qǐng)A心與圓周角的位置關(guān)系，圓周角分三種情況：（1）圓心在圓周角的一邊上；（2）圓心在圓周角的內(nèi)部；（3）圓心在圓周角的外部．問(wèn)題3在這三種情況中，你選擇先證明哪一種情況？說(shuō)說(shuō)你的理由．歸納選擇先證明“圓心在圓周角一邊上”的．因?yàn)榇藭r(shí)為圓的直徑，這是一種特殊情況．問(wèn)題4如圖2所示，圓心在圓周角的一條邊上，你怎樣證明？歸納轉(zhuǎn)化為證明．問(wèn)題5如圖3所示，圓心在圓周角的內(nèi)部，你怎樣證明？歸納因?yàn)椤皥A心在圓周角的一條邊上”時(shí)，“弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的一半”．所以作過(guò)圓周角的頂點(diǎn)的直徑，將“圓心在圓周角的內(nèi)部”的情況轉(zhuǎn)化為“圓心在圓周角的一條邊上”的情況來(lái)證明．問(wèn)題6如圖4所示，圓心在圓周角的外部，你怎樣證明？歸納與證明“圓心在圓周角的內(nèi)部”的情況類似，作過(guò)圓周角的頂點(diǎn)的直徑，將“圓心在圓周角的外部”的情況轉(zhuǎn)化為“圓心在圓周角的一條邊上”的情況來(lái)證明．（3）建立模型①因?yàn)樵凇皥A心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部”三種情況下，“弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于這條弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半”都成立,所以“同弧所對(duì)的圓周角都相等”．②問(wèn)題在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角有怎樣的關(guān)系？想一想，在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心周有怎樣的關(guān)系？③圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角的相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．3、模型應(yīng)用應(yīng)用1半圓所對(duì)的圓周角等于多少度？說(shuō)說(shuō)你的理由．應(yīng)用2的圓周角所對(duì)的弦一定是直徑嗎？為什么？應(yīng)用3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形一定是直角三角形嗎？為什么？應(yīng)用4在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等嗎？為什么？應(yīng)用5已知⊙O的直徑為，弦為，的平分線交⊙O于，求、、的長(zhǎng)（圖略）．圓周角定理的數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，首先動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，再對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行分析研究，然后才猜測(cè)存在的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、猜測(cè)、推理能力．“問(wèn)題1”對(duì)驗(yàn)證猜想的方法的“研究”，首先解決主要矛盾（次要矛盾將迎刃而解），滲透辯證法思想．“問(wèn)題2”引領(lǐng)學(xué)生觀察、分析、歸納得出圓心與圓周角的三種情況，滲透分類思想．“問(wèn)題3”滲透算法程序化思想．“問(wèn)題4”至“問(wèn)題6”在引領(lǐng)學(xué)生驗(yàn)證猜想，突出分類數(shù)學(xué)思想的同時(shí)，突出了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．模型應(yīng)用中前4個(gè)問(wèn)題，實(shí)際上是圓周角定理的拓展，體現(xiàn)了公理化思想．圓周角定理的數(shù)學(xué)建模教學(xué)過(guò)程體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)建?！暗推瘘c(diǎn)、小步子、多活動(dòng)”的特點(diǎn)．學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)思想方法，增長(zhǎng)了數(shù)學(xué)知識(shí)，提高了數(shù)學(xué)技能．參考文獻(xiàn)[1