木工橢圓的畫法視頻

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設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓+=1（a>b>0）的焦點,P是橢圓上除長軸頂點外任意一點,那么△F1PF2就是橢圓的焦點三角形，∠F1PF2為橢圓的張角。與它們有關(guān)問題有意無意地測驗了橢圓定義、三角形中的正余弦定理、內(nèi)角和定理、面積公式等，籠罩面廣，綜合性較強，因此受到了命題者的青睞，更加它的面積和張角題型生動多樣，是歷年高考的熱點，經(jīng)久不衰。下面介紹兩個對比重要的結(jié)論，夢想對初學者解決此類問題能有所扶助。

一、焦點三角形面積計算

結(jié)論1：已知橢圓方程為+=1（a>b>0），兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)焦點三角形PF1F2中∠F1PF2=θ，那么S△F1PF2=b2tan。

證明：∵（2c）2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ

=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|（1+cosθ）

例1、已知P是橢圓+y2=1的一點，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2=120°，那么△PF1F2的面積是_____。

由橢圓的焦點三角面積公式，這里θ=120°，=60°得△PF1F2的面積是3。

例2、橢圓+=1的兩個焦點分別是F1、F2，點P在雙曲線上，且直線PF1、PF2傾斜角之差為，那么△PF1F2的面積為（）。

A、33B、C、163D、93

解：由三角形外角性質(zhì)可得∠F1PF2=，即θ=，再由橢圓的焦點三角面積公式，S=b2tan=9tan=33。應(yīng)選A。

例3、在橢圓+=1上求一點P，使它與兩焦點F1、F2的連線彼此垂直。

解：由橢圓的焦點三角面積公式，其中θ=，S=b2tan20=×2c×|x0|。

∴|x0|=4c=5，x0是點P的橫坐標，將|x0|=4代入橢圓方程得|y0|=3，故P點的坐標為（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）。

二、焦點三角形中張角計算

結(jié)論2：已知橢圓方程為+=1（a>b>0），左右兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，設(shè)焦點三角形PF1F2，若∠F1PF2最大，那么點P為橢圓短軸的端點。

證明：法1：設(shè)P（x0，y0）,由焦半徑公式可知：|PF1|=a+ex0，|PF1|=a-ex0。

∵x0=0時cosθ最小，∴P為橢圓短軸的端點。

法2：設(shè)P（x0，y0）那么S△F1PF2=|F1F2|?|y0|=c?|y0|=b2?tan∴tan=。

又∵|y0|≤b，0∴>，θ>由結(jié)論2和對稱性可知點P有4個。

例2、橢圓+=1的焦點為F1、F2，點P為其上一個動點，當∠F1PF2為鈍角時，求點P的橫坐標的取值范圍。

解：

法1∵S△F1PF2=|F1F2|?|y0|=c?|y0|=b2?tan

∴|y0