高等數(shù)學第四章不定積分課后習題詳解

第4章不定積分

內(nèi)容概要

名稱主要內(nèi)容

不

設(shè)/(%),xe/,若存在函數(shù)尸。)，使得對任意工￡，均有Fr(x)=f(x)

定

積

或d尸(x)=/(x)dx,則稱/(x)為/(%)的?個原函數(shù)。

分

的

/(X)的全部原函數(shù)稱為/(X)在區(qū)間/上的不定積分，記為

概

念

(x)dx=F(x)+C

注：(1)若/(x)連續(xù)，則必可積；(2)若/(x),G(九)均為/(X)的原函數(shù)，則

F(x)=G(x)+Co故不定積分的表達式不唯一。

性性質(zhì)|：1=/。)或"[]7(》)公]=/(%)公；

質(zhì)

性質(zhì)2：j*F'(x)dx=F(x)+C或jd=F(x)+C；

不

定

性質(zhì)3：口a/(x)±"g(x)]dx=ajf(x)dx±/Jg(x)dx,a,。為非零常數(shù)。

積

分計

設(shè)/(〃)的原函數(shù)為E(〃)，〃=e(x)可導，則有換元公式：

n第一換元

方積分法

J/(9(x))”(x)d="(x)W9(x)=F(^(x))+C

法(湊微分法)

第二類

設(shè)x=0(f)單調(diào)、可導且導數(shù)不為零，/有原函數(shù)/Q),

換元積

分法

則J/(x)dx=]7(0(，))夕'(，)力=尸(，)+。=/(夕7(》))+。

分部積分法

]u(x)vr(x)dx=u(x)ci=w(x)v(x)—v(x)d依)

有理函數(shù)積若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗検胶驼娣质降暮停粚φ娣质降奶幚?/p>

分按情況確定。

本章在卜.一章定積分中由微積分基本公式可知--求定積分的問題，實質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問題；

的地后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最終的解決都歸結(jié)為對定積分的求

位與解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講，不定積分在整個積分學理論中

作用起到了根基的作用，積分的問題會不會求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對這一章掌握的好

壞。這一點隨著學習的深入，同學們會慢慢體會到！

課后習題全解

習題4-1

1.求下列不定積分：

知識點：直接積分法的練習一求不定積分的基本方法。

思路分析：利用不定積分的運算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分!

★⑴

1上

思路：被積函數(shù)--==x2,由積分表中的公式(2)可解。

XyrJjX

解：\~~7==(”dx=_2”+c

★⑵

思路：根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。

」q41

解:|(Vx-~^)dx=J(x§-xa=Jx3dx_jx^dx-2/+C

★(3)[Ov+x2dx

思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。

-rrY1

+x2dx=|2vJx+\x2dx=------F—x3+C

JJIn23

★(4)^y[x(x-3)dx

思路：根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項，分別積分。

3￡0--

解：JVx(x-3)Jx=Jx2dx-3卜5dx=15-2x^+C

★★⑸]紀3x

4x2+1

3%4+312+11

思路：觀察到-----：--------=31+=一后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項，分別積

%2+1%2+1

分。

3

解:j3x+1dx=^i^dx+Jj—1fdx=x+arctanx+C

y2y2_|_1_11

思路:注意到一^=------=1-------7,根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項，分別積分。

1+x\+x1+x

占”=x-arctanx+C.

解：｛-X--dx=

Jl+x

注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是?致的。?般地，如果被積函數(shù)為個有理的假分式，通常先將其分

解為一個整式加上或減去一個真分式的形式，再分項積分。

思路:分項積分。

解:4-乂dx=^-^xdx-+3^x~ydx-4^x^dx

121II3_4_

=-x-InIxI—x24—x3+C.

423

★⑻卜百一尼了地

思路：分項積分。

321

解：J(dx-2dx=3arctanx-2arcsinx+C.

1+x2Vl-x21+x2

Nxyd

★★⑼

!11Z

=與=,直接積分。

思路：=?看到

[Jx]x&dx-卜⑦1=2x8+C.

解:

思路:裂項分項積分。

解：f-：----■^-dx—f(-------')dx—f——dx—f-----dx-----arctanx+C.

Jx2(l+x2)Jx2\+x2Jx2Jl+X2X

2xi

★(11)

Je-I

如-1」r?'-1)(。'+1)」r.

解：J-■—-^dx=j------—j---dx=j(zex+V)dx—cv+x+C.

★★(12)^3'e'dx

思路:初中數(shù)學中有同底數(shù)累的乘法：指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然3'e*=(我\

rr(喪

解：[3xexdx=f(3t=+

JJln(3e)

★★(13)jcot2xt/x

思路:應(yīng)用三角恒等式“cot2X=csc2x-l

解：Jcot2xJx=1(csc2=-cotx-x+C

2-3J-5-2

★★(14)

2

23-5-2^

思路:被積函數(shù)-5(X枳分沒困難。

y~3

?

23-52F

解:~dx?—3dx=2x—5-------------FC.

3*In2-ln3

f2X7

★★(15)cos—dx

J2

思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時，一般地先降基，再積分。

sr2x」rl+cosx,11.萬

解：cos—a-————dx=—x+—sinx+C.

J2J222

★★(16)f------------dx

J1+cos2x

思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降器公式，先升箱再積分。

解：[-----------dx=[----―dx--[sec2xdx=—tanx+C.

Jl+cos2xJ2cos2x2J2

/、Ccos2x.

★(17)------；——dx

Jcosx-sinx

思路：不難，關(guān)鍵知道Mcos2x=cos2x-sin2x=(cosx+sinx)(cosx-sinx)

解：f——s''_dx=f(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C.

Jcos冗一sinxJ

/、.cos2x,

★(18)——9dx

Jcosxsin-x

思路：同上題方法，應(yīng)用“cos2x=cos2x-sin2x”，分項積分。

-

A”rcos2x.rcos**x-sin,x.c1r1

解：——;-----^—dx=---------------~dx=——^-ax-———x

Jcosx-sinxJcosx-sin-xJsin-xJcos-x

sec2xdx=-cotx-tan%+C.

/、fl+COS2X

★★（20）———-——dx

J1+cos2x

1+COS-X1+COS2X121

思路:注意到被積函數(shù)--------=--------=—secx+—,則積分易得。

l+cos2x2cosx22

1+cos2X.；Jsec2xdx+—Jdxtanx+x

解:--------dx+C

1+coslx

★2、設(shè)^xf(x)dx=arccosx+C,求/(x)。

知識點：考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。

思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1：—[[f(x)d>/(x)即可。

解：等式兩邊對x求導數(shù)得:

I

xf（x）=---,f（X）=

V1-X2Xy/\-X2

★3、設(shè)/(x)的導函數(shù)為sinx,求/(x)的原函數(shù)全體。

知識點：仍為考查不定積分(原函數(shù))與被積函數(shù)的關(guān)系。

思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。

解：由題意可知，/(x)=|sinxdx--cosx+Ct

所以/(x)的原函數(shù)全體為：|(^-cosx+C,d4一sinx+Gx+C2。

x

1,e

★4、證明函數(shù)一e2*,e*s//x和都是--------的原函數(shù)

2chxshx

知識點：考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的關(guān)系。

思路分析：只需驗證即可。

解：,/---------e2',而且=e"

chx-shxdx2dxdx

★5、?曲線通過點(ez,3),且在任意點處的切線的斜率都等于該點的橫坐標的倒數(shù)，求此曲線的方程。

知識點：屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積

函數(shù)的關(guān)系。

思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點的坐標帶入方程確定具體的方程即可。

解：設(shè)曲線方程為y=/(X),由題意可知：—-[/(x)]=—./(x)=InIxI+C：

dxx

又點(e?,3)在曲線上，適合方程，有3=ln(e2)+C,r.C=l,

所以曲線的方程為/(x)=InIxI+1.

★★6、一物體由靜止開始運動，經(jīng)f秒后的速度是3/(機/s),問：

(I)在3秒后物體離開出發(fā)點的距離是多少？

(2)物體走完360米需要多少時間？

知識點：屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實質(zhì)仍為考查原函數(shù)(不定積分)與被積函數(shù)的

關(guān)系。

思路分析：求得物體的位移方程的般式，然后將條件帶入方程即可。

解：設(shè)物體的位移方程為：y=/(?),

d1二

則由速度和位移的關(guān)系可得：一[/?)]=3/=>/?)=/+。，

dt

又因為物體是由靜止開始運動的，.../(0)=0,.-.C=0,.-.fit)=t\

(1)3秒后物體離開出發(fā)點的距離為：/(3)=33=27米；

⑵令廣=360=>t=-^360秒。

習題4-2

★1、填空是下列等式成立。

知識點：練習簡單的湊微分。

思路分析：根據(jù)微分運算湊齊系數(shù)即可。

解：⑴dx=gd(7x—3);(2)xdx=-gd(l-x2);(3)x3dx=*1(3x4—2);

(4)e2xdx=-J(e2jc);(5)—=-J(51nIxI);(6)—=--J(3-51nIxI);

2x5x5

(7)2力=2d(S);(8)小=Ld(tan2x);(9),=-J(arctan3x).

&cos22x21+9/3

2、求下列不定積分。

知識點：(湊微分)第一換元積分法的練習。

思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實就是看看積分表達式中，有沒有成塊的形

式作為一個整體變量，這種能夠馬上觀察出來的功夫來自對微積分基本公式的熟練掌握。此外第二類換元

法中的倒代換法對特定的題目也非常有效，這在課外例題中專門介紹！

★(1)卜*力

思路:湊微分。

解：/dug『[⑶)=y+c

*(2)J(3-5x)Z

思路：湊微分。

解：|(3-5x)dx=J(3-5x」d(3-5x)=-，(3—5x)4+C

思路:湊微分。

解：\—^—dx=--f—1/(3-2x)=--In13-2xI+C.

J3-2x2J3-2x2

思路:湊微分。

=qj^^(5-3X)=—J(5-3x)M5-3x)=4(5-3x)3+C

解:

★(5)J(sin〃x-e%Mx

思路:湊微分。

X|X]X

解：/(sinox-e^Mx=—jsinaxd(ax)-b^Jd(y)=——cosax-be^+C

思路:如果你能看到d(JF)=—產(chǎn)dt,湊出d(VF)易解。

2，

解：=2jcos3dQI)=2sin〃+C

★(7)Jtan10xsec2xdx

思路:湊微分。

解:jtan10xsec2xdx=jtan10xrf(tanx)=—tan"x+C.

/、fdx

★★(8)---------

Jxlnxlnlnx

思路:連續(xù)三次應(yīng)用公式⑶湊微分即可。

fax如此=伴但UInHnInW+C

JxlnxlnInxInxlnlnxJInInx

★★（9）

思路:本題關(guān)鍵是能夠看到-7^^是什么，是什么呢？就是djl+d!這有一定難度!

Vl+x2

1

解:=-InIcosyj\+xI+C

dx

★★(10)

sinxcos尤

思路:湊微分。

/解WT??

方法一：倍角公式sin2x=2sinxcosx°

rdxc2dxr_.ci-

—........=-.....=csc2x?2x=InIesc2x-cot2xI+C

JsinxcosxJsin2xJ

方法二：將被積函數(shù)湊出tanx的函數(shù)和tanx的導數(shù)。

dxC0SX2

——2dx=f---secxdx=f---dtanx=InItanxI+C

sinxeosxsinxcos-x」tanxJtanx

方法三：三角公式sin2%+cos2x=l,然后湊微分。

dxrsin2x+cos2x,rsinx.rcosx.cdcosxeelsinx

---------=—;---------dx=-----dx+———dx=-\-------+-

sinxcosx」sinxcosxJcosxJsinxJcosxJsinx

=-InIcosxI+lnIsinxl+C=InItanxl+C

/、.dx

★★(11)I-----

J/+e

dx_exdxdexdex

思路:湊微分:

*.-x2x,i2xv2

e+ee+1l+el+(e)

解:—白_rdex

"L+G)2=arctanex+C

★(12)jxCOS(X2)Jx

思路:湊微分。

解：jxcos(x2Xx=；jeosx2dx2=；sinx2+C

xdx

★★(13)

l-3x2

xdx1dx21J(2-3x2)

思路：由湊微分易解。

12-3f2j2-3x26J2-31

xdx_[rJ(2-3x2)J(2-3x2pJ(2-3x2)=-1V2-3x2+C

解:6J72-3x2

，2-31

★★(14)jcos2

思路:湊微分。

解：fcos2(Gf)sin(①t)dt=—[cos2(①t)sm(cot)dcot=---fcos2(a)t)dcos(。1)

JcoJcoJ

=----cos^(cot)+C,

3a)

★★(15)

1jp-^(l-x4)=-1lnll-x4I+C.

cosx=--^-+C.

2cosx

思路:經(jīng)過兩步湊微分即可。

9

X=dx=f---「1d”=—f-1M°

解:亞丁siy

20J20

-X-1O72-X10」

★★(18)

V9-4x2

思路：分項后分別湊微分即可。

解J』

="i2x11

d-----?/----r-d-4-X2

L專23849_4/

12x1

I=d-----1—=-4/

a(交238J的一4丫

-arcsin(-)+—，9-4—+C.

234

★★(19)

-1

思路:裂項分項后分別湊微分即可。

dx11

解:_:_____________二1f(_______________

1J(V2x+l)(V2x-l)2JV2x-1V2x+1

一J(V2x+l)=—Uln

——J(V2x-l)——五+C.

-12V2+12V2

xdx

★（20）

(4—5x)2

思路：分項后分別湊微分即可。

rxdxii

解」E'—4、d(4—5x)

小JI4-5x(4-5x)2

f―1—J(4-5x)--f——!~^(4-5x)=—In14-5x1+——!—+C.

25J4-5x25J(4-5x)225254-5x

皿店需

思路：分項后分別湊微分即可。

f.f(X-l+I)2dx一f(x-l)2(x-l)1

J(x-1嚴—J(x-1)'00a00(x-1)3(x-1嚴)

=f(———57+2——5T+---(x-l)

J(x-1)98(x-l)"(X-1)100

xdx

★★(22)

x8-l

思路:裂項分項后分別湊微分即可。

xdx_rxdx_rl11)xdx=3j(11

解:

x8-1-J(x4-l)(x4+l)--*2x4-lx4+1x4-1X4+1

H一A）一占口"%匕卜（X2-D43+力

12

I——arctanx4-C.

44

★(23)[cos3xdx

思路:湊微分。cosxdx=Jsinxo

解：jcos3xdx=jcos2x-cosxJx=jcos2xdsinx=j(l-sin2x)dsinx

sinx--sin3x+C

3

★★（24）卜os2（初+0）df

思路：降黑后分項湊微分。

1+cos2(初+9)/_

解：Jcos?(cot+(p)dt=1cos2(m+(p)d2(cot+(p)

2

—tH----sin2(①/+(p)+C

24?

★★★(25)jsin2xcos3xdx

思路:積化和差后分項湊微分。

5xd5x-^jsinxdx

解：Jsin2xcos3xJx(sin5x-sinx)dx

--cos5x+-cosx+C

102

★★★(26)sin5xsin7xJx

思路:積化和差后分項湊微分。

解：Jsin5xsin7xJx=（cos2x-cos12x）dx=cos2xd2x--^jcos12xd(12x)

——sin2x----sin12x+C.

424

★★★(27)jtan3xsecxcbc

思路：湊微分tanxsecxdx=dsecx0

解：jtan3x^cxdxjtan2x-tanxsecxdxJtan2x6?secx=j(sec2x-l)Jsecx

xdsecx-secx=^-sec3x-secx+C

★★(28)

思路:湊微分/dx=d(-arccosx)。

Vl-x2

]rxarccosxiriarccos.v

解：f；dx=-[10^°^darccosx=——+C.

io

ax

★★,(29、)fI--------,/,

(arcsinx)2Vl-x2

思路:湊微分一7=±=dx=J(arcsinx)。

dx_(darcsinx_1

(arcsinx)2>Jl-x2J(arcsinx)2arcsinx

,、farctan4,

★★★★(30)I-p=-----dx

JJx(l+x)

思路:湊微分裁吟公=魯抨=2arctan^(arctan^)。

解」髭*乎"?=J2arctan?d(arctan4)

=(arctan5/x)2+C

,、rIntanx,

★★★★(31)I--------dx

Jcosxsinx

思路:被積函數(shù)中間變量為tanx,故須在微分中湊出tanx,即被積函數(shù)中湊出sec2x,

Intanx,Intanx,Intanx1Intanx,

-----；——dx=----------ax=sec-2xax=atanx

cosxsinxcosxtanxtanx-----------tanx

12

Intanxd(Intanx)=J(—(Intanx))

Intanx,rIntanx.rIntanx,

解:--------dx=----dx=------dtanx=jintanxd(Intanx)

cosxsinx」cosxtanx----Jtanx

=g(lntanx)2+C

/c、r1+Inx,

★★★★(32)--------dx

J(xlnx)2

思路：d(x\nx)=(1+Inx)dx

解：喏篝小匕備d(xlnx)=-*+C

★★★★(33)I------

Jl-ev

解：方法一：

思路:將被積函數(shù)的分子分母同時除以短,則湊微分易得。

-f—!—=-[—^—d(e-x-1)=-InI"x-11+C

3l-ex3-15-1]e-x-1

方法二：

思路：分項后湊微分

=^~e-e-dx=fl</x+\-^——dx=x-f—J_d(\-ex)

h—e*Jl-exJJl-e'}l-ex

=x-lnll-evl+C=x-ln(e'k-v-ll)+C

=x-(lne，-Inl^-ID+C=-lnk-A-ll+C

方法三：

思路：將被積函數(shù)的分子分母同時乘以e*,裂項后湊微分。

rdx_ce'dxde'(T—+—J—=lnex-J(l-eA)

xx}x

n-e~ex{\-ex)\-e\\-e

=x—Inll—el+C=—Inle-*—ll+C

/、rdx

★★★★(34)-----------

Jx(x6+4)

解：方法一：

思路：分項后湊積分。

rdx_1r4dx_1rx6+4-xhdx_1/1x5

JX(X6+4)-4Jx，+4)—4」x(f+4)~4心".+4)

1rJ(x6+4=-lnlll--lnl^6+4l+C

24Jx6+4

424

方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。

令x=-f貝Udx=—~dto

tt

.f"x_f，11付(4*—1付⑷6+1)

X

5JTT；(一產(chǎn))力一一五J中一一五

t6

ii4

=--ln(l+4r6)+C=-—ln(l+—)+C.

dx

★★★★(35)

X8(l-x2)

解：方法一:

思路：分項后湊積分。

ss224

rdxc]-x+xJr(l-x)(l+x)(l+x)Jrdx

FfEb=J―市m—八匕

rl+x2+x4+x6,fdx

Jx8J(l-x)(l+x)

=J(7171+711、/^f\^1ed,x

11111.1-x

7x75x53/x21+x

方法二：思路：利用第二類換元法的倒代換。

令x=l,貝ijdx=--\dto

tt

rdx

。(—2)=＞彳x(-[力)=-J士什-j(/+/4+/+1+為出

i--

=-j“6+tA+t2+l)df—J(——p)dr=-J(f6+tA+t2+1)Jr-iii、，

暴二F萬科

!-l+C11112j_1-x

l+C

72t+\7^-573x31+x

3、求下列不定積分。

知識點：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習。

思路分析：題目特征是---被積函數(shù)中有二次根式，如何化無理式為有理式？三角函數(shù)中，下列二恒等

式起到了重要的作用。

sin2x4-cos2x=1;sec2x-tan2x=1.

為保證替換函數(shù)的單調(diào)性，通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調(diào)。不妨將角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角

范圍內(nèi)，得出新變量的表達式，再形式化地換回原變量即可。

dx

★★★(1)

l+yjl-X2

思路:令》=5足人人|<^,先進行三角換元，分項后，再用三角函數(shù)的升降事公式。

兀

解：x=sinr,|r|<—,則dx=cos〃/f。

2

dxdtdt

s吟仁

一八+g1+COStJJ1+cos/2cos2—

2

t》.x?1—yjl—x2

=/-tan—+C=arcsinx-----/:+C.(或=arcsinx----------+C)

21+V1-7x

1—COSt_._.L2、

(萬能公式tan，=‘in'--------,又sint=xH'J，cost=yjl一廠)

21+costsinr

3x

★★★（2）

TT

思路:令1=3sec1,1G(0,—)，三角換元。

2

JI

解：令x=3sec兀，E(0,一),貝ijdx=3secttantdt。

2

/.j————dx=j^n—3secttantdt=3jtan2/^=3j(sec2Z-l)dt

x3sect

.…壇tanxG—9、

(x=3secx時，cosx----------)

XX3

dx

★★★（3）

+1成

<—,三角換元。

解：令x=tan，，W<],2

則dx=sectdto

sec2tdt*.x

3costdt—sinf+C=-+C

sect=Jse=c/」j1+x2

dx

★★★（4）

+〃)

,II兀

思路：令工=atan%，1<,,三角換元。

兀

解:令x=atan/JM<],則dx=asec2f力。

asec2tdtcostdt=~4-5inr+C

?f/一r=/工

a3sec31Jasecta

"+JC

AT+1.

★★★★(5)—j—dx

XVX4+1

思路：先令〃=xt進行第一次換元；然后令〃=tan＜］，進行第二次換元。

X~+1,IfX"+1.2A2,口

解：???—.dx=——.ax，令〃=%得:

xTTTi2Jx27777

.IfW+1.IITC,.7.

=dx-——'du，令A(yù)〃=tan八，<一,則du=sectdt，

12人,7771"2

W4-1,1ftanr4-111ftanr+1,

???后dx=-f--------du=--------------sec2tdt=-.............sectat

2uylu24-12」tan，?seel2Jtanz

gJ(cscf+secf)dr=gl#sec?+tan+gIn|csct-cott\+C

2

7?+iI4

=—InJw2+1+u+-ln+C=-lnVx+1+x2+-ln

22uu22

(與課本后答案不同)

★★★(6)-4-—rdx

思路：三角換元，關(guān)鍵配方要正確。

解：,/5-4x-x2=9-(x+22)令x+ZuBsin/Jdc],則dx=3cosf力。

z.^5-4x-x2dx=J9cos2f力=9J1*彳，dt=9(；+；sin2。+C

9.x+2x+2r--2

-arcsin------d--------yJ5-4x-x+C.

232

1

★★4、求一個函數(shù)/(X)，滿足/(%)=----,且/(0)=1。

Jl+X

思路:求出-jl=的不定積分，由條件/(O)=1確定出常數(shù)C的值即可。

V1+X

令/a)=2jTT7+c,又/(o)=i,可知c=-i,

f(x)=2Jl+x—1

nn-12

★★★5、設(shè)/〃=ftanxdx,,求證：In=——tanx-1n2,并求ftan"xdx□

思路：由口標式子可以看出應(yīng)將被積函數(shù)tan"x5>JT^tan,,-2xtan2x,進而寫成:

tan0-2x(sec2x-1)=tan""xsec2x-tanM-2x，分項積分即可。

,,22H2,,-22,?2

證明：In="an"xdx=j(tan-xsecx-tan-x)dx=jtanxsecxdx-jtan"xdx

Wmtanf==tan"Tx_心.

514\A12T

n=5時,/5=jtanxdx—tanx-八=—tanx—tan~x+/1

4342

=—tan4x--tan2x+ftanxd=—tanlx——tan2x-ln|cosx|+C.

42J4211

習題4-3

1、求下列不定積分：

知識點：基本的分部積分法的練習。

思路分析：嚴格按照“'反、對、爆、三、指‘順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號下湊微分J的原則

進行分部積分的練習。

★(1)arcsinxdx

思路:被積函數(shù)的形式看作x°arcsinX,按照“反、對、帚、三、指”順序，索函數(shù)x°優(yōu)先納入到微分

號下，湊微分后仍為dx。

解：[arcsinxdx=xarcsinx-[x,dx=xarcsinx+—

JJ2

=xarcsinx+y/l-x2+C.

★★(2)jln(l+x1)dx

思路：同上題。

解：jln(1+x2=xln(1+x2=xln(l+x2

.2\(*2(x+1)-2」1八2\r/->i△fdx

=xln(Zl1+x)----------dx=xln(l+x)-2dx+2-----

J1+xJJl+x

=%ln(l+x2)-2x+2arctanx+C.

★(3)jarctanxdx

思路：同上題。

行「,fdx1frf(l+x)

解：arctanxd=xaixtanx-x---=xarctanx——-----；—

JJ1+x722J1+x2

12

=xarctanx-—ln(l+x)+C

★★(4)[e-2Asin—6/x

J2

思路：嚴格按照“反、對、塞、三、指”順序湊微分即可。

解：??,[e~2xsin—dx=[sin—d(-—^-2v)=--e~2xsin—+—[e-2v—cos-Jx

J2J22222J22

★★(5)jx2arctanxdx

思路：嚴格按照“反、對、暴、三、指”順序湊微分即可。

解：jx2arctanxdx=jarctan"(g)=；/arctanx一J；/

11ex3+x-x.11fx,

=-x3arctanx—----――ax=-x3arctanx—\z(x------)xax

33Jl+x233J1+x2

=-urctunx—\xdxH—f-----rdx=—arctanx—x24—f----rd(14-x2)

33J3Jl+x2366Jl+x2

1112

=-x3arctanx——x2+—ln(l+x)+C.

366

★(/6)、fxcosX—Jdx

J2

思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。

解：fxcos—=2fxrfsin—=2xsin--2[sin^x=2xsin--4[sin^/—

J2J22J22J22

xx

=2xsin—+4cos—+C.

22

★★(7)tan2xdx

思路：嚴格按照“反、對、鼎、三、指”順序湊微分即可。

解：jxtan2xJxjx(sec2x-l)dx=j(xsec2x-x)dx=jxsec2xdx-Jxdx

xdx-^x2=xtanx+ln[

(tanx)-^xdx=xtanx-jtan|cosx|—x~+C.

★★（8）Jin2Mx

思路：嚴格按照“反、對、事、三、指”順序湊微分即可。

2

解：^ln2xdx=x\n2x-Jx?2Inx?^-dx=xlnx-2jinxdx=xln2x_2xlnx+2\x--dx

Jx

xln2x-2xlnx+2=u:In2x-2xlnx+2x+C.

★★（9）jxln（x-l）Jx

思路：嚴格按照“反、對、箱、三、指”順序湊微分即可。

jxln(x-lXx=Jln(x-iw]=ln(x-l)-g

解:日

=；/——^-^-dx=-^x2ln(x-l)-^-J(x+]+」^)Jx

思路：嚴格按照“反、對、暴、三、指”順序湊微分即可。

11

解:2xd(——)=--In2x+[—21nx-Jx=--In2x+2

>XXXXX

77

=--In2x+22x——Inx---\-C

xXXXX

1

—(In?尤+Inx+2)+C

x

★★(11)cosInxdx

思路：嚴格按照“反、對、幕、三、指”順序湊微分即可。

解：:jcosInxdx=xcoslnx+jxsinlnx--rfx=xcosInx+jsinln欣x

=xcoslnx+xsinlnx-fxcos=xc?slnx+xsinlnx-[cosInxd

JxJ

rx

jcosInxdx=—(cosInx+sinInx)+C.

★★(12)

思路：詳見第(10)小題解答中間，解答略。

★★(13)xnInxdx(〃工一1)

思路：嚴格按照“反、對、鼎、三、指”順序湊微分即可。

解：[xnInxdx=flnxJ——=——xw+1Inx--^-dx

JJ〃+1〃+1x

=-^—xn+lInx-\-^-xndx