數(shù)列的解題方法

本文格式為Word版，下載可任意編輯——數(shù)列的解題方法數(shù)列學識點及常用解題方法歸納總結(jié)一、等差數(shù)列的定義與性質(zhì)0的二次函數(shù)）項，即：

二、等比數(shù)列的定義與性質(zhì)三、求數(shù)列通項公式的常用方法1、公式法2、；

3、求差（商）法解：

，，［練習］4、疊乘法解：

5、等差型遞推公式［練習］6、等比型遞推公式［練習］7、倒數(shù)法，，，三、求數(shù)列前n項和的常用方法1、公式法：等差、等比前n項和公式2、裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之展現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。

解：

［練習］3、錯位相減法：

4、倒序相加法：把數(shù)列的各項依次倒寫，再與原來依次的數(shù)列相加。

［練習］例1設(shè){an}是等差數(shù)列，若a2=3，a=13，那么數(shù)列{an}前8項的和為（）A．128B．80C．64D．56（福建卷第3題）略解：∵a2+a=a+a=16，∴{an}前8項的和為64，故應(yīng)選C．例2已知等比數(shù)列得志，那么（）A．64B．81C．128D．243（全國Ⅰ卷第7題）答案：A．例3已知等差數(shù)列中，，，若，那么數(shù)列的前5項和等于（）A．30B．45C．90D．186（北京卷第7題）略解：∵a-a=3d=9，∴d=3，b=，b=a=30，的前5項和等于90，故答案是C．例4記等差數(shù)列的前項和為，若，那么該數(shù)列的公差（）A．2B．3C．6D．7（廣東卷第4題）略解：∵,應(yīng)選B.例5在數(shù)列中，，，,其中為常數(shù)，那么．（安徽卷第15題）答案：－1．例6在數(shù)列中，，，那么（）A．B．C．D．（江西卷第5題）答案：A．例7設(shè)數(shù)列中，，那么通項___________．（四川卷第16題）此題重點測驗由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項公式，抓住中系數(shù)一致是找到方法的突破口．略解：∵∴，，，，，，．將以上各式相加，得，故應(yīng)填+1．例8若(x+)n的開展式中前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，那么開展式中x4項的系數(shù)為()A．6B．7C．8D．9(重慶卷第10題)答案：B．使用選擇題、填空題形式測驗的文科數(shù)列試題，充分考慮到文、理科考生在才能上的差異，側(cè)重于根基學識和根本方法的測驗，命題設(shè)計時以教材中學習的等差數(shù)列、等比數(shù)列的公式應(yīng)用為主，如，例4以前的例題．例5測驗考生對于等差數(shù)列作為自變量離散變化的一種特殊函數(shù)的理解；

例6、例7測驗由給出的一般數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項公式的才能；

例8那么測驗二項開展式系數(shù)、等差數(shù)列等概念的綜合運用．重慶卷第1題，浙江卷第4題，陜西卷第4題，天津卷第4題，上海卷第14題，全國Ⅱ卷第19題等，都是關(guān)于數(shù)列的客觀題，可供大家作為練習．例9已知｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，a1=1，且點（）（nN*）在函數(shù)y=x2+1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(Ⅱ)若數(shù)列｛bn｝得志b1=1，bn+1=bn+，求證：bn·bn+2＜b2n+1.（福建卷第20題）略解：（Ⅰ）由已知，得an+1-an=1，又a1=1,所以數(shù)列｛an｝是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列．故an=1+(n-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，an=n，從而bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1．∵.bn?bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-2n＜0,∴bn·bn+2＜b．對于第（Ⅱ）小題，我們也可以作如下的證明：

∵b2=1,bn·bn+2-b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n<0，∴bn-bn+2<b2n+1.例10在數(shù)列中，，．（Ⅰ）設(shè)．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項和．（全國Ⅰ卷第19題）略解：（Ⅰ）====1，那么為等差數(shù)列，，，．（Ⅱ），．兩式相減，得=．對于例10第（Ⅰ）小題，根本的思路不外乎推出后項減前項差相等，即差是一個常數(shù)．可以用迭代法，但不成由b2-b1=1，b-b=1等有限個的驗證歸納得到為等差數(shù)列的結(jié)論，犯“以偏蓋全”的錯誤．第（Ⅱ）小題的“等比差數(shù)列”，在高考數(shù)列考題中展現(xiàn)的頻率很高，求和中運用的“錯項相減”的方法，在教材中求等比數(shù)列前n項和時給出，是“等比差數(shù)列”求和時最重要的方法．一般地，數(shù)學學習中最為重要的內(nèi)容往往并不在結(jié)論本身，而在于獲得這一結(jié)論的路徑賦予人們的有益啟示．例9、例10是高考數(shù)學試卷中數(shù)列試題的一種常見的重要題型，類似的題目還有浙江卷第18題，江蘇卷第19題，遼寧卷第20題等，其共同特征就是以等差數(shù)列或等比數(shù)列為依托構(gòu)造新的數(shù)列．主要測驗等差數(shù)列、等比數(shù)列等根本學識，測驗轉(zhuǎn)化與化歸思想，測驗推理與運算才能．考慮到文、理科考生在才能上的差異，與理科試卷側(cè)重于理性思維，命題設(shè)計時以一般數(shù)列為主，以抽象思維和規(guī)律思維為主的特點不同；

文科試卷那么側(cè)重于根基學識和根本方法的測驗，以測驗概括思維、演繹思維為主．例11等差數(shù)列的各項均為正數(shù)，，前項和為，為等比數(shù)列,，且．(Ⅰ)求與；

(Ⅱ)求和：．（江西卷第19題）略解：(Ⅰ)設(shè)的公差為，的公比為，依題意有解之，得或(舍去，為什么？)故．（Ⅱ），∴．“裂項相消”是一些特殊數(shù)列求和時常用的方法．使用解答題形式測驗數(shù)列的試題，其內(nèi)容還往往是一般數(shù)列的內(nèi)容，其方法是研究數(shù)列通項及前n項和的一般方法，并且往往不單一測驗數(shù)列，而是與其他內(nèi)容相綜合，以表達出對解決綜合問題的測驗力度．數(shù)列綜合題對才能有較高的要求，有確定的難度，對合理區(qū)分較高才能的考生起到重要的作用．例12設(shè)數(shù)列的前項和為，（Ⅰ）求；

（Ⅱ）證明：

是等比數(shù)列；

（Ⅲ）求的通項公式．（四川卷第21題）略解：（Ⅰ）∵，所以．由知，得，①，，．（Ⅱ）由題設(shè)和①式知，，是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．（Ⅲ）此題重點測驗數(shù)列的遞推公式，利用遞推公式求數(shù)列的特定項，通項公式等．推移腳標，兩式相減是解決含有的遞推公式的重要手段，使其轉(zhuǎn)化為不含的遞推公式，從而有針對性地解決問題．在由遞推公式求通項公式時，首項是否可以被吸收是易錯點．同時，還應(yīng)留神到題目設(shè)問的層層深入，前一問常為解決后一問的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，為求解下一問指明方向．例13數(shù)列得志（I）求，并求數(shù)列的通項公式；

（II）設(shè)，，，求使的全體k的值，并說明理由．（湖南卷第20題）略解：（I）一般地,當時，即所以數(shù)列是首項為0、公差為4的等差數(shù)列，因此當時，所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項公式為（II）由（I）知，=于是，.下面證明:當時，事實上,當時，即又所以當時，故得志的全體k的值為3,4,5.數(shù)列學識點回想第一片面：數(shù)列的根本概念1．理解數(shù)列定義的四個要點⑴數(shù)列中的數(shù)是按確定“次序”排列的，在這里，只強調(diào)有“次序”，而不強調(diào)有“規(guī)律”．因此，假設(shè)組成兩個數(shù)列的數(shù)一致而次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列．⑵在數(shù)列中同一個數(shù)可以重復(fù)展現(xiàn)．⑶項a與項數(shù)n是兩個根本不同的概念．⑷數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，但函數(shù)不確定是數(shù)列．2．數(shù)列的通項公式一個數(shù)列{a}的第n項a與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，假設(shè)用一個公式a=來表示，就把這個公式叫做數(shù)列{a}的通項公式。若給出數(shù)列{a}的通項公式，那么這個數(shù)列是已知的。若數(shù)列{a}的前n項和記為S，那么S與a的關(guān)系是：a=。

其次片面：等差數(shù)列1．等差數(shù)列定義的幾個特點：

⑴公差是從第一項起，每一項減去它前一項的差(同一常數(shù))，即d=a－a(n≥2)或d=a－a(nN)．⑵要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，務(wù)必對任意nN，a－a=d(n≥2)或d=a－a都成立．一般采用的形式為：

①當n≥2時，有a－a=d(d為常數(shù))．②當n時，有a－a=d(d為常數(shù))．③當n≥2時，有a－a=a－a成立．若判斷數(shù)列{a}不是等差數(shù)列，只需有a－a≠a－a即可．2．等差中項若a、A、b成等差數(shù)列，即A=，那么A是a與b的等差中項；

若A=，那么a、A、b成等差數(shù)列，故A=是a、A、b成等差數(shù)列，的充要條件。由于a=，所以，等差數(shù)列的每一項都是它前一項與后一項的等差中項。

3．等差數(shù)列的根本性質(zhì)⑴公差為d的等差數(shù)列，各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d．⑵公差為d的等差數(shù)列，各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd．⑶若{a}、為等差數(shù)列，那么{a±b}與{ka＋b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列．⑷對任何m、n，在等差數(shù)列{a}中有：a=a+(n－m)d，更加地，當m=1時，便得等差數(shù)列的通項公式，此式較等差數(shù)列的通項公式更具有一般性．⑸、一般地，假設(shè)l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數(shù)，且l+k+p+…=m+n+r+…（兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等），那么當{a}為等差數(shù)列時，有：a+a+a+…=a+a+a+…．⑹公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd(k為取出項數(shù)之差)．⑺假設(shè){a}是等差數(shù)列，公差為d，那么，a，a，…，a、a也是等差數(shù)列，其公差為－d；

在等差數(shù)列{a}中，a－a=a－a=md．(其中m、k、)⑻在等差數(shù)列中，從第一項起，每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它前后兩項的等差中項．⑼當公差d＞0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大；

當d＜0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的裁減而減?。?/p>

d＝0時，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)．⑽設(shè)a，a，