高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)考點(diǎn)透析

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)解析：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)考點(diǎn)透析

【考點(diǎn)聚焦】

考點(diǎn)1：函數(shù)y=Asin（a+e）（A>0,。>0）的圖象與函數(shù)y=sinx圖象的關(guān)系以及根據(jù)

圖象寫出函數(shù)的解析式

考點(diǎn)2：三角函數(shù)的定義域和值域、最大值和最小值;

考點(diǎn)3：三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最小正周期和三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸問題;

【考題形式】1。由參定形，由形定參。2。對(duì)稱性、周期性、奇偶性、單調(diào)性

【考點(diǎn)小測(cè)】

1.（安徽卷）將函數(shù)y=sintyx3>0）的圖象按向量

a=-看,0平移，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象

所對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式是

..71

A.y-sin(x+—)B.y=sin(x-^)

7171

C.y=sin(2x+y)D.y=sin(2x-y)

一看,0）平移,

解：將函數(shù)丁=$巾。式（刃>0）的圖象按向量。=平移后的圖象所對(duì)應(yīng)的解

析式為y=sin?y（x+工），由圖象知，cy（—+-）=—,所以⑦=2,因此選C。

61262

2.（四川卷）下列函數(shù)中，圖象的一部分如右圖所示的是

(A)y=sinlx+—I(B)y=sinl2x--

(C)y=cosI-yI⑴)y~cos

I7T7T71

解析：從圖象看出，一T=一十—=—,所以函數(shù)的最小正周期為TI,函數(shù)應(yīng)為y=sin2x向

41264

TTTTTTTTTT7T

左平移了一個(gè)單位,即y=sin2(x+—)=sin(2x+—)=cos(--+2x+—)=cos(2x——),選D.

663236

3.2007年廣東5.函數(shù)f(x)=sin2(x+工)一sin?(x-三)是()

44

A.周期為乃的奇函數(shù)；B.周期為4的偶函數(shù)C.周期為21的奇函數(shù)D.周期為2乃的偶函數(shù)

4.（湖南卷）設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)〃x）=sinm的圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱

軸上的距離的最小值工，則/(x)的最小正周期是A.27rB.7T

4

C.-D.-

24

解析：設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)〃x)=sin&r的圖象C的一個(gè)對(duì)稱中心，若點(diǎn)P到圖象C的對(duì)稱軸上的

距離的最小值工，最小正周期為n,選B.

4

5.(天津卷)函數(shù)y=Asin((ox+(p)((o>0,|(p|<],xeR)的部分圖

象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為(A)

ITTC717r

(A)y=-4sin(—x+—)(B)y=4sin(—x——)

8484

(C)y=-4sin(—x--)(D)y=4sin(—x+—)

8484

6(天津卷)要得到函數(shù))，=Jicosx的圖象，只需將函數(shù)y=&sin(2x+工)的圖象上所

4

有的點(diǎn)的(C)

1]T

(A)橫坐標(biāo)縮短到原來的人倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)七個(gè)單位長(zhǎng)度

28

1JI

(B)橫坐標(biāo)縮短到原來的一倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)。個(gè)單位長(zhǎng)度

24

TT

(Q橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度

4

1T

(D)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)上個(gè)單位長(zhǎng)度

8

7.(全國(guó)卷I)設(shè)函數(shù)/(x)=cos(氐+j)(0<j<p),若/(x)+r(x)是奇函數(shù)，

則/=。

解析：/'(%)=-6sin(6%+e),則〃x)+r(x)=

cos(J^x+/)—6sin(JJ尤+8)=25抽(工一也不一夕)為奇函數(shù)，?、ZE.

66

8.(湖南卷)若〃x)="sin(x+馬+3sin(x-2)是偶函數(shù)，則。=

44

解析：j(x)=asin(x+—)+3sin(x——)=a{——sinx+——cosx)+3(——sinx----cosx)是

442222

偶函數(shù)，取。=-3,可得/*)=-3后cosx為偶函數(shù)。

小測(cè)題號(hào)12345678

答案CDABACTC—3

【典型考例】

★例1至(2006福建卷)已知函數(shù)/岡=$訪2;(+#'$加8$*+285、,X€1t

(I)求函數(shù)/(X)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(II)函數(shù)/(X)的圖象可以由函數(shù)片sin2x(x6R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象利性質(zhì)等基本知

識(shí)，以及推理和運(yùn)算能力。滿分12分。

解(I)/(%)=-~°；2*+sin2x+(1+cos2x)

V3._1.3."乃、3

=—sin2xH—cos2xH—=sin(2xH—)4—.

22262

f(x)的最小正周期T=子27r=7.

rr

y?'Ji7/JiJ!

由題意得2k兀----<2xd——<2kjr+—,keZ,即k兀------<x<kjr-\——,kGZ.

26236

7FTT

???/(x)的單調(diào)增區(qū)間為k7l--k7T+-,keZ.

3y6

TT

(II)方法一：先把y=sin2x圖象上所有點(diǎn)向左平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

JI3

y=sin(2x+2)的圖象，再把所得圖象上所有的點(diǎn)向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到

JT3

y=sin(2x+—)十二的圖象。

62

方法二：把y=sin2x圖象上所有的點(diǎn)按向量a一=(-二71:3)平移，就得到

122

JT3

y=sin(2x+—)+—的圖象。

62

★例2*(2007全國(guó))設(shè)函數(shù)/(x)=sin(21+o)(-)<0<0),y=/(x)圖像的一條對(duì)

TT

稱軸是直線X=—J(，求夕共)求函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間；(III)畫出函數(shù)y=/(x)

8

在區(qū)間［0,幻上的圖像。

本小題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖像的基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力，滿分12分.

解：(I),?,％=一是函數(shù)y=/(x)的圖像的對(duì)稱軸，「.sin(2x—+0)=±L

88

n，兀1r,37r

----F71—K7TH----,kWZ.*.*—71<0<0,0=------.

424

34：37r

(II)由(I)知8=—乙,因止匕y=sin(2x-J).

44

7T37r7E

由題意得2k兀一上￡2x—二￡2k兀+士，keZ.

242

所以函數(shù)y=sin(2x-包)的單調(diào)增區(qū)間為[k兀+-,k/r+—],keZ.

488

(III)由y=sin(2x--“)知

兀37r5萬77r

X07t

~8~TT

_V2

y—1010一也

-22

故函數(shù))，=/(x)在區(qū)間［0,4］上圖像是

★例3支.(2006山東卷)已知函數(shù)/(x)=Asin?(憾+/)(A>0,3>0,0<。<—函數(shù)，且y=/(x)

2

的最大值為2,其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,并過點(diǎn)(1,2).

(1)求f(x);

(2)計(jì)算/⑴42)+...+/(2008).

解(I)y=Asin12((yx+^)=y-ycos(2?yx+2(p).

AA

???y=/(x)的最大值為2,A>Q.:.^+^2,A^2.

127rTC

又?.?其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2,6>>o,—)=2,0=—.

22a>4

f(x)————cos(—X+2^9)—1-cos(—X+2^9).

???)'=/(x)過(1,2)點(diǎn)，???COS(5+29)=—1.

冗冗兀

.??■y+2e=2攵4+匹攵GZ,?.2(p=2k7u+—,keZ、：,(p=kjc+-^,keZ,

?7T冗

又0<*<彳，.，.9=I.

(II)解法一：'：(p=—,y=1-x+y)=+s'nx-

/(I)+/(2+力(3)+F(4=2+l+0+l=4.

又???y=/(x)的周期為4,2008=4x502,

.-./(1)+f(2)+…+/(2008)=4x502=2008.

rrjr3JT

解法二：/(x)=2sin?(—x+夕)/./(l)+/(3)=2sin2(—+^?)4-2sin2(——+0)=2,

444

/(2)+/(4)=2sin2(y+⑼+2sin?(乃+。)=2,/(l)+/(2)+/⑶+/(4)=4.

又y=/(x)的周期為4,2008=4x502,/(I)+/(2)+???+/(2008)-4x502=2008.

★例4★(2006湖北)設(shè)函數(shù)/(x)=a(B+c),其中向量a=(sinx,-cosx),

h=(sinx,-3cos),c-(-cosx,sinx),xeR。

(I)、求函數(shù)/(x)的最大值和最小正周期；

(II)、將函數(shù)/(X)的圖像按向量2平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱,

求長(zhǎng)度最小的7。

【課后訓(xùn)練】

一選擇題.

1.(全國(guó)卷I)函數(shù)/(x)=ta嚕+真的單調(diào)增區(qū)間為

A.歐,p-gkp+合kZB.(kp,(k+l)p),kZ

C.河￥心+余ZD.軟0_&夕+￥豺z

2.(全國(guó)II)若f(sinx)=3—cos2x,則/(cosx)=

(A)3—cos2x(8)3—sin2x(C)3+cos2x(D)3+sin2x

3.（浙江卷）函數(shù)y=—sinx+sin2x,xeR的值域是

2

小「131小、「311-「V21V211…V21V211

(A)L--,—](B)](Q[丁+大-^~+彳]

222222222222

QJI

4.（天津卷）已知函數(shù)/（x）=tzsinx-bcosx（a、b為常數(shù)，a10,x\R）在

處取得最小值，則函數(shù)y=/（—-幻是（）

4

371

A.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（凡0）對(duì)稱B.偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（Q-,0）對(duì)稱

C.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（￡,0）對(duì)稱D.奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（凡0）對(duì)稱

允cosX

5(2004年廣東9)當(dāng)0<x<—時(shí)，函數(shù)/(x)=--------------------廠的最小值是()

4cosxsinx-sinx

A.-B.LC.2DA

42

6.(北京卷)對(duì)任意的銳角a,p,下列不等關(guān)系中正確的是

(A)sin(a+p)>sina+sinp(8)sin(a+p)>cosa+cosp

(C)cos(a+P)<sina+sinP(D)cos(a+P)<cosa+cosP

jrTT

7.(全國(guó)卷n)已知函數(shù))//11cox在,—)內(nèi)是減函數(shù)，則

(A)0<coW1(B)-1WCt)<0(C)(D)①W-l

8.(湖北卷)若Sina+cos6z=tana(0<a<()

A.(0,g)

6

9.（山東卷）函數(shù)/（x）/sing"一<x<0,若/⑴+/⑷=2,則a的所有可能值為（）

產(chǎn)/20

V2V2V2

(A)1(B)1,--------(C)----------------(D)1,——

222

10.（上海卷）函數(shù)/（x）=sinx+21sinx\,xe[0,2%]的圖象與直線y=k有且僅有兩個(gè)不

同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是。

11.（湖北卷）函數(shù)y=1sinxIcosx-1的最小正周期與最大值的和為.

12.（重慶卷）已知。、/?均為銳角，且cos（a+/?）=sin（a-4）,則tana=

題號(hào)123456789101112

答案CCCDDBACBl<k<31

2

—.解答題

、.TT

1.(廣東卷)已知函數(shù)/(x)=sinx+sin(x+Q),xwR.(I)求/(工)的最小正周期;

3

川)求/。)的的最大值和最小值；(111)^/(?)=-,求sin2a的值.

4

解：/(x)=sinx+sin(x+—)=sinx+cosx=V2sin(x+—)

24

r\

(I)/(x)的最小正周期為7=—1=2%；(ID/(x)的最大值為血和最小值-痣；

337

(III)因?yàn)?(?)=—,即sina+cosa=---①n2sinacosa=----,即

4416

.c7

sin2a-----

16

2.已知函數(shù)/(x)=4sin2;t+2sin2x-2xeR.

(1)求/(x)的最小正周期、/(x)的最大值及此時(shí)x的集合；

(2)證明：函數(shù)/*)的圖像關(guān)于直線》=-￡對(duì)稱。

8

解：/(x)=4sin2x+2sin2x-2=2sinx-2(1-2sin2x)

=2sin2x-2cos2x=2拒sin(2x-()

⑴所以/(x)的最小正周期Tm，因?yàn)榫臙R,

所以，當(dāng)2x4為2A+-,即x次女+/時(shí)，/(元)最大值為2及；

(2)證明：欲證明函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線》=-上7T對(duì)稱，只要證明對(duì)任意xeR,有

8

TTTT

/(一石―x)=/(-石+X)成立，

OO

因?yàn)?(--^x)=2V2sin[2(----X)一一]=2V2sin(-----2x)=-272cos2x,

8842

=2&sin[2(-g+x)-R=2V2sin(-—+2x)=-272cos2x,

所以f(---x)=/(一一+x)成立，從而函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=--對(duì)稱。

71

3.(上海春)已知函數(shù)/(x)=2sinx+看—2cosx,xe—、冗

2

4

(1)若sinx=1，求函數(shù)/(x)的值;(2)求函數(shù)/(x)的值域.

4兀3

解：(1)??,sinx=—,XG71cosX=——

Q_5

1-2cosx=V3sinx-cosx=y+-|

fM=S1HX+—COSX

2

(2)/(x)=2sinfx--^TC,4，5萬71

—<X<7C：.—<x-----<——，—<sin|x<1,

23662I

???函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,2].

4.(重慶卷)設(shè)函數(shù)f(x)=cos2wx+sinCOxcosCOx+a(其中(D>0,aGR),且/(X)的圖象在y軸右側(cè)

的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為土x.(I)求3的值；(H)如果/(x)在區(qū)間―巳,9工上的最小值

636

為求。的值.

角吊：(I)f(x)=——cos2CDX—sin^cox+V3

+&=sin2的+工+縣+a

22’2I3J2

1

依題意得解熱者+2=代CO=——.

6322

(II)由(I)矢口，f(x)=sin(x+.)+^^+c

又當(dāng)陣一弁兀

X-\——G0衛(wèi)

3‘6'

1jr

?牧一5<sin(x+—)41,

1V3

從而在在比-------F------\-a

22

因止匕，由題設(shè)知故/坐+c=Ga=V3+1

5.已知函數(shù)/(x)=sin"coS'1+百cos?鼻

(I)將『69寫成Asin(以+0)的形式，并求其圖象對(duì)稱中心的橫坐標(biāo);

(II)如果AABC的三邊a、b、c滿足bJac,且邊b所對(duì)的角為x,試求x的范圍及此

時(shí)函數(shù)/、⑨的值域.

解：/(x)=lsin—+—(1+cos—)=-sin—+—cos—+—=sin(—+-)+—

232323232332

71曰3k—1

(I)由sin(—+—)=0即—+-J=K7r(KGz)得x=---TCZ￡z

333

3"-1

即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為-——冗,kez

2

(II)由已知b2=ac

a2+c2-b2_a2+c2■ac2ac-ac1

cosx=--------------—N----------——，

lac2aclac2

7t2x兀/5兀

—<cosx<L0<x<-,—<—+—<—

233339

Sin(

.7171..5471.'''S嗚<T++L百<sin母+A1+￥，

???|-------1>1---------I,

3292

即/(x)的值域?yàn)?6,1+手］.

TT

綜上所述，xe(0,1]/(工)值域?yàn)?6,1+三].

說明：本題綜合運(yùn)用了三角函數(shù)、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，還需要利用數(shù)形結(jié)合的思

想來解決函數(shù)值域的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合的能力。

6.已知函數(shù)y二一cosS(+---sinx,