2022-2023學(xué)年浙江省“七彩陽(yáng)光”高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,則等于()A. B. C. D.2.已知雙曲線(,),以點(diǎn)()為圓心,為半徑作圓,圓與雙曲線的一條漸近線交于,兩點(diǎn),若,則的離心率為()A. B. C. D.3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且對(duì)于任意,滿足,則()A. B. C. D.4.設(shè),命題“存在,使方程有實(shí)根”的否定是()A.任意,使方程無實(shí)根B.任意,使方程有實(shí)根C.存在,使方程無實(shí)根D.存在,使方程有實(shí)根5.已知數(shù)列an滿足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.196.我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成,爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“——”.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦,則該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是()A. B. C. D.7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有勾六步,股八步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6步和8步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自內(nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.8.定義在上的偶函數(shù),對(duì),,且,有成立,已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是()A. B. C. D.10.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.511.己知函數(shù)的圖象與直線恰有四個(gè)公共點(diǎn),其中,則()A. B.0 C.1 D.12.是平面上的一定點(diǎn),是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足,,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),,是該拋物線上的兩點(diǎn),若,則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________.14.在的二項(xiàng)展開式中,x的系數(shù)為________.(用數(shù)值作答)15.已知向量,若向量與共線,則________.16.已知兩圓相交于兩點(diǎn),,若兩圓圓心都在直線上,則的值是________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,.求C;若,求,的面積18.(12分)某單位準(zhǔn)備購(gòu)買三臺(tái)設(shè)備,型號(hào)分別為已知這三臺(tái)設(shè)備均使用同一種易耗品,提供設(shè)備的商家規(guī)定:可以在購(gòu)買設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買該易耗品,每件易耗品的價(jià)格為100元,也可以在設(shè)備使用過程中,隨時(shí)單獨(dú)購(gòu)買易耗品,每件易耗品的價(jià)格為200元.為了決策在購(gòu)買設(shè)備時(shí)應(yīng)購(gòu)買的易耗品的件數(shù).該單位調(diào)查了這三種型號(hào)的設(shè)備各60臺(tái),調(diào)査每臺(tái)設(shè)備在一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù),并得到統(tǒng)計(jì)表如下所示.每臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用的易耗品的件數(shù)678型號(hào)A30300頻數(shù)型號(hào)B203010型號(hào)C04515將調(diào)查的每種型號(hào)的設(shè)備的頻率視為概率,各臺(tái)設(shè)備在易耗品的使用上相互獨(dú)立.(1)求該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率;(2)以該單位一個(gè)月購(gòu)買易耗品所需總費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),該單位在購(gòu)買設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買20件還是21件易耗品?19.(12分)秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念,為推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展,有必要調(diào)查研究新能源汽車市場(chǎng)的生產(chǎn)與銷售.下圖是我國(guó)某地區(qū)年至年新能源汽車的銷量(單位:萬臺(tái))按季度(一年四個(gè)季度)統(tǒng)計(jì)制成的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中的值,并估計(jì)銷量的中位數(shù);(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量(同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表),并以此預(yù)計(jì)年的銷售量.20.(12分)已知函數(shù)(1)解不等式;(2)若均為正實(shí)數(shù),且滿足,為的最小值,求證:.21.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,,,恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng).(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和為;若對(duì)均滿足,求整數(shù)的最大值;(3)是否存在數(shù)列滿足等式成立,若存在,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說明理由.22.(10分)已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).(1)若存在,使得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)直線與函數(shù)的圖象相交于不同的兩點(diǎn),,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)椋?故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程,利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn),且,則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程,求解離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于,因?yàn)?,所以圓心到的距離為:,即,因?yàn)椋越獾茫蔬xA.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于中檔題.對(duì)于離心率求解問題,關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程,主要有兩個(gè)思考方向,一方面,可以從幾何的角度,結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程;另一方面,可以從代數(shù)的角度,結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.3、D【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后求解數(shù)列的和,判斷選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】當(dāng)時(shí),.所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列,,所以,,.,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,是中檔題.4、A【解析】

只需將“存在”改成“任意”,有實(shí)根改成無實(shí)根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題,知“存在,使方程有實(shí)根”的否定是“任意,使方程無實(shí)根”.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定,此類問題要注意在兩個(gè)方面作出變化:1.量詞,2.結(jié)論,是一道基礎(chǔ)題.5、B【解析】

由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時(shí),a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時(shí),要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系,從而可簡(jiǎn)化與數(shù)列相關(guān)的方程,本題屬于難題.6、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對(duì)立事件,即該重卦沒有陽(yáng)爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻的概率,再根據(jù)兩對(duì)立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”為事件.所有“重卦”共有種;“該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻”的對(duì)立事件是“該重卦沒有陽(yáng)爻或只有1個(gè)陽(yáng)爻”,其中,沒有陽(yáng)爻(即6個(gè)全部是陰爻)的情況有1種,只有1個(gè)陽(yáng)爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個(gè)陽(yáng)爻的概率是.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長(zhǎng)為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計(jì)算問題,其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.8、A【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性即可判斷.【詳解】解:對(duì),,且,有在上遞增因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)所以在上遞減又因?yàn)?,,所以故選:A【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性的應(yīng)用,基礎(chǔ)題.9、D【解析】

畫出函數(shù),將方程看作交點(diǎn)個(gè)數(shù),運(yùn)用圖象判斷根的個(gè)數(shù).【詳解】畫出函數(shù)令有兩解,則分別有3個(gè),2個(gè)解,故方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是3+2=5個(gè)故選:D【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的圖象的運(yùn)用,分類思想的運(yùn)用,數(shù)學(xué)結(jié)合的思想判斷方程的根,難度較大,屬于中檔題.10、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)樗?故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.11、A【解析】

先將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為,結(jié)合題意可求得切點(diǎn)及其范圍,根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義,即可求得的值.【詳解】函數(shù)即直線與函數(shù)圖象恰有四個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于,,因?yàn)椋?,所?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,由交點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)值,屬于難題.12、B【解析】

解出,計(jì)算并化簡(jiǎn)可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點(diǎn)P在BC邊的高上,即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

運(yùn)用拋物線的定義將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線距離,然后求解結(jié)果.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,則拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè),,則,所以,則線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,由拋物線定義將點(diǎn)到焦點(diǎn)距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線距離,需要熟練掌握定義,并能靈活運(yùn)用,本題較為基礎(chǔ).14、-40【解析】

由題意,可先由公式得出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),再令10-3r=1,得r=3即可得出x項(xiàng)的系數(shù)【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二項(xiàng)展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:-40.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是靈活掌握二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)的公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

計(jì)算得到,根據(jù)向量平行計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得,因?yàn)榕c共線,所以有,即,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量平行求參數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】

根據(jù)題意,相交兩圓的連心線垂直平分相交弦,可得與直線垂直,且的中點(diǎn)在這條直線上,列出方程解得即可得到結(jié)論.【詳解】由,,設(shè)的中點(diǎn)為,根據(jù)題意,可得,且,解得,,,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查相交弦的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì),即兩圓的連心線垂直平分相交弦,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】

由已知利用正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,結(jié)合范圍,可求,由已知利用二倍角的余弦函數(shù)公式可得,結(jié)合范圍,可求A,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解得C的值.由及正弦定理可得b的值,根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinC的值,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】由已知可得,又由正弦定理,可得,即,,,,即,又,,或舍去,可得,.,,,由正弦定理,可得,,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,二倍角的余弦函數(shù)公式,三角形的內(nèi)角和定理,兩角和的正弦函數(shù)公式,三角形的面積公式等知識(shí)在解三角形中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)(2)應(yīng)該購(gòu)買21件易耗品【解析】

(1)由統(tǒng)計(jì)表中數(shù)據(jù)可得型號(hào)分別為在一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8時(shí)的概率,設(shè)該單位三臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則,利用獨(dú)立事件概率公式進(jìn)而求解即可;(2)由題可得X所有可能的取值為,即可求得對(duì)應(yīng)的概率,再分別討論該單位在購(gòu)買設(shè)備時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買20件易耗品和21件易耗品時(shí)總費(fèi)用的可能取值及期望,即可分析求解.【詳解】(1)由題中的表格可知A型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6和7的頻率均為;B型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為6,7,8的頻率分別為;C型號(hào)的設(shè)備一個(gè)月使用易耗品的件數(shù)為7和8的頻率分別為;設(shè)該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用易耗品的件數(shù)分別為,則,,,設(shè)該單位三臺(tái)設(shè)備一個(gè)月中使用易耗品的件數(shù)總數(shù)為X,則而,,故,即該單位一個(gè)月中三臺(tái)設(shè)備使用的易耗品總數(shù)超過21件的概率為.(2)以題意知,X所有可能的取值為;;;由(1)知,,若該單位在購(gòu)買設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買了20件易耗品,設(shè)該單位一個(gè)月中購(gòu)買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,;;;;;若該單位在肋買設(shè)備的同時(shí)購(gòu)買了21件易耗品,設(shè)該單位一個(gè)月中購(gòu)買易耗品所需的總費(fèi)用為元,則的所有可能取值為,;;;;,所以該單位在購(gòu)買設(shè)備時(shí)應(yīng)該購(gòu)買21件易耗品【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件的概率,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.19、(1),中位數(shù)為;(2)新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量為萬臺(tái),以此預(yù)計(jì)年的銷售量約為萬臺(tái).【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為可計(jì)算出的值,利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得銷量的中位數(shù)的值;(2)利用每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積,相加可得出銷量的平均數(shù),由此可預(yù)計(jì)年的銷售量.【詳解】(1)由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為,則,解得,由于,因此,銷量的中位數(shù)為;(2)由頻率分布直方圖可知,新能源汽車平均每個(gè)季度的銷售量為(萬臺(tái)),由此預(yù)測(cè)年的銷售量為萬臺(tái).【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)或(2)證明見解析【解析】

(1)將寫成分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),恒成立,解得;當(dāng)時(shí),由,解得;當(dāng)時(shí),由解得所以的解集為或(2)由(1)可求得最小值為,即因?yàn)榫鶠檎龑?shí)數(shù),且(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取“”)所以,即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的求法,考查利用基本不等式證明不等式,屬于中檔題.21、(2),(2),的最大整數(shù)是2.(3)存在,【解析】

(2)由可得(),然后把這兩個(gè)等式相減,化簡(jiǎn)得,公差為2,因?yàn)?,,為等比?shù)列,所以,化簡(jiǎn)計(jì)算得,,從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式,再計(jì)算出,,,從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,化簡(jiǎn)計(jì)算得,從而可得數(shù)列是遞增的,所以只要的最小值大于即可,而的最小值為,所以可得答案;(3)由題意可知,,即,這個(gè)可看成一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和,再寫出其前()項(xiàng)和

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