初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 第14講 圓（知識點(diǎn)梳理）（記誦版）-2022年中考數(shù)學(xué)大復(fù)習(xí)（知識點(diǎn)·易錯點(diǎn)·題型訓(xùn)練·壓軸題組）

第14講圓知識點(diǎn)梳理考點(diǎn)01圓的有關(guān)性質(zhì)1.圓的有關(guān)概念(1)圓的定義：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓.其固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點(diǎn)0為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”.此外，圓心為0，半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合.(2)弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.如圖中的AB，CD。(3)直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.如圖中的AB。(4)?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，筒稱弧.以A，B為端點(diǎn)的弧記作AB，讀作“圓弧AB”或“弧AB”圓的任意一條非直徑的弦把圓分成兩條不同長的弧，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，一般用三個點(diǎn)表示，如圖中的CAB；小于半圓的弧叫做劣弧，如圖中的AC，BD。(5)半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.(6)等圓、等?。耗軌蛑睾系膬蓚€圓叫做等圓.容易看出：半徑相等的兩個圓是等圓；反過來，同圓或等圓的半徑相等.在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.2.垂直于弦的直徑(1)圓的對稱性圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸.圓也是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心；圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性。(2)垂徑定理垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.如下圖，AB是直徑且CP=PD，則CD⊥AB，且AC=3.孤、弦、圓心角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.如圖中的∠AOB.(2)圓心角定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等.同樣還可以得到：Q在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等.4.圓周角(1)圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。(2)圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半在上面三個圖中，都有∠BAC=（3）推論：同弧或等弧所對圓周角相等，①半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑（如下圖）。②在同圓或等圓中，兩個圓周角、兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應(yīng)的其余各組量也相等。(4)圓內(nèi)接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.(5)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)考點(diǎn)02與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP=d，則有：2.三角形的外接圓(1)不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓.(2)三角形的外接圓的有關(guān)概念：經(jīng)過三角形的三個頂點(diǎn)可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心.(3)三角形外接圓的作法確定圓心：三角形兩邊的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心；確定半徑：交點(diǎn)到三角形任意一頂點(diǎn)的距離即為外接圓的半徑。(4)反證法證明一個命題時，不是直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法.3.直線和圓的位置關(guān)系(1)相交：直線和圓有兩個公共點(diǎn)，這時我們說這條直線和圓相交，這條直線叫做圓的割線.(2)相切：直線和圓只有一個公共點(diǎn)，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點(diǎn)叫做切點(diǎn).(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)，這時我們說這條直線和圓相離.(4)直線和圓的位置關(guān)系4.圓的切線(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.如圖，直線l就是⊙O的切線.此外，經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線一定過切點(diǎn)；垂直于切線且過切點(diǎn)的直線必過圓心。(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.如上圖，若直線l是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，則l⊥0A。5.切線長(1)切線長：經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.(2)切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則PA=PB、∠OPA=∠OPB。6.切線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用(1)輔助線的作法：運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證的常見輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題(2)證明直線與圓相切的三種途徑①證直線和圓有唯一公共點(diǎn)（即運(yùn)用定義）；②證直線過半徑外端且垂直于這條半徑(即運(yùn)用判定定理)；③證圓心到直線的距離等于圓的半徑(即證d=r)。當(dāng)題目已知直線與圓的公共點(diǎn)時，一般用方法②，當(dāng)題目未知直線與圓的公共點(diǎn)時，一般用方法③，方法①運(yùn)用較少。7.三角形的內(nèi)切圓(1)三角形的內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心.(2)三角形內(nèi)切圓的作法確定圓心：三角形兩條角平分線的交點(diǎn)即為圓心.確定半徑：交點(diǎn)到三角形任意一邊的距離即為內(nèi)切圓的半徑.(3)如果三角形三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形的面積。8.圓和圓的位置關(guān)系考點(diǎn)03正多邊形和圓1.正多邊形的有關(guān)概念：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距（如右圖）.2.正多邊形的畫法正n邊形的畫法思想是將圓n等分，然后順次連接等分點(diǎn)即得到所要作的正多邊形.如作正六邊形，可以先畫一個半徑與已知邊長相等的圓，然后在上面截取得到等分點(diǎn)，連接即得到所要作的正六邊形.并非所有的正多邊形都可以只用尺規(guī)作出.3.正多邊形的計算設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，半徑為R，邊心距為r，邊長為a，則有：(1)正多邊形的內(nèi)角：。(2)正多邊形的中心角；(3)正多邊形的半徑；R(4)正多邊形的周長：C=n·a.(5)正多邊形的面積；S=1考點(diǎn)04弧長和扇形面積1.弧長公式：在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對的弧長就是圓周長，所以的圓心角所對的弧長為，即。2.扇形面積公式(1)扇形的面積由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形叫做扇形（如圖）.在半徑為R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積，所以圓心角為的扇形面積是。(2)弓形的面積:（如圖）3.母線的定義：圓錐是由一個底面和一