手機版可看吉大-線代線性代數(shù)課件

》 §41§4.2 方程組的解§4.3分支,是線性代數(shù)許多思想的.比如,行公元前2-1世紀，“九章算術(shù)“1687年，Leibnitz1750年 ---Cramer法則1849年,Gauss§4.1AX=bn元線性方程組,則它的一個解就是一個n元列向量(稱為解向量).AX=b若向量α是向量α1α2,…,αs的一個線性組合，則稱可由α1,α2,…,αs線性表示.設(shè)α=a1α1+a2α2+ +asαs?a1?.?:α=(α1,α2,?,αs).?:? 命題1.1向量組α1,α2,…,αs可由β1,β2,…,βt線性表示當且僅當有t×s矩陣A，使得(α1,α2,…,αs)=(β1,β2,…,βt)A;此時A的第j列元素恰為αj表示成β1,β2,…,βt的線性組合時的證明：若向量組a1a2,…as可由β1β2βt線性表示，即每個

α1

+

+..+at

(β1,β2,..,βt)

21?: t1........... t = + +..+ t?: 從而由矩陣的乘法可知α1α1,α2,.,αs) (β1,β2,…,βt)?:?at第1.?ats?

? ?

a1sa1s命題成立命題1.2(線性表示的傳遞性)設(shè)有三個有限向量組:U、V和W若U可由V線性表示V可由W表示則U可由 V定義1.1設(shè)α1α2αs是一組向量，若有一組不全為零的數(shù)c1,c2,…,cs使得c1α1+c2α2+ +csαs 則稱α1α2,…,αs一組列向量α1α2αsα1α2,…,αs線性相關(guān)α1α2,…,αs線性無關(guān)

矩陣A (α1,α2,…,αs 命題 對于向量組α1,α2,…,αs，下列條件等價1.α1α2αs2.方程x1α1+x2α2++xxαs3.對于任意一組不全為零的數(shù)c1,c2,…,csc1α1+c2α2+ +csαs 4.對于任意一組數(shù)c1,c2,…,cs,若c1α1+c2α2+ + 必有c1=c2=…=cs 命題1.4向量組α1α2,…,αs線性相關(guān)的充分必要條件是數(shù)a1,a2,…,as

a1α1+a2α2+ +asαs 不妨設(shè)a1 0,則有α1=?a2α2? ?as 即α1可由a2,…,as線性表示.不妨設(shè)α1可由α2,…,αs線性表示,即有一組數(shù)a2,…,as使得α1=a2α2+? +asαs,從而(?1)α1+a2α2+ +asαs 這表明α1α2,…,αs線性相關(guān)命題1.5設(shè)α,α1α2αs線性相關(guān),而α1α2線性無關(guān)，則α可由α1α2αs唯一地表示證明因α,α1,α2αs線性相關(guān),所以有一組不全為零的數(shù)c0,c1,c2,…,cs使得c0α+c1α1+c2α2+?+csαs=若c0 0,則c1α1+c2α2+ +csαs 因為α1,α2,…,αs線性無關(guān)，必有c1=c2=…=cs=0，與c0,c1,c2,…,cs不全為零 從而α=(?c1)α2+ +(?cs ,即α可 α1α2,…,αs表示設(shè)有數(shù)ai (i=1,…,s)使α=a1α1+a2α2+ +asαsα=b1α1+b2α2+ +bsαsa1?b11+ s?bss 因α1,α2,…,αs線性無關(guān)，故ai=bi(i 1,2,...,需要進一步區(qū)分.為此，有下面的定義定義1.2S是一個向量組.Sr個向量線性無關(guān),Sr+1個向量必線性相關(guān),則稱S的秩r記為秩S.Sr個線性無關(guān)向量都叫做S的一個極大線性無關(guān)組.

1

1?

? ?? ? ?α1

0?,α2=1,α3=2?,α4=0? ? ? ?? ? ? ? 其中，α1,α2 的秩數(shù)為2，且α1,α2是一個極大無關(guān)組.1.3

α1 ,T),α3 ),

T) 解考慮向量組構(gòu)成的矩陣0111301113111120

1?22A=(α,α,α,α)

112011112011120??1×r1+ ?

01101111000 01101111000 0 ?1×r2+r4

??1×

+ ?1 ??

?0

?

? 0?1× + 1? ?

?1??? 01.3n+1n元向量是線性相關(guān)的. :α1,α2,…, :β1, 線性表示，則秩U≤秩Vα1,α2,…,αrU中的每個向量都可由α1α2αr線性表示定義1.5設(shè)α1,α2αs和β1β2βs是兩個向量組，若對于任意一組數(shù)c1,c2,…,cs均有c1α1+c2α2+ +csαs 0?c1β1+c2β2+ +csvs 則說α1α2,…,αs和β1β2,…,βs命題1.8兩個行等價矩陣的列向量組中對應(yīng)的向量證明設(shè)矩陣 αs)經(jīng)初等行變換化成矩陣 則有可逆矩陣P βs)=P αs)= Pαs從而β1 Pα1,·,βs Pαs.因此對于任意一組數(shù)c1,c2,…,cs均c1β1+c2β2+ +=c1Pα1+c2Pα2+ +csPαs P(c1α1+c2α2+ +csαsc1α1+c2α2+ +csαs 0?c1β1+c2β2+ +csβs

βs例1.4設(shè)α1=(1,1,10)Tα2=(0,1,1,1)T,α3=(1,2,2,1)T,α4=(0,0,1,1)T,α5=(1,3,3,2)T 1? ?

3??1×r1+r2

??1×

202??+ 202??2??2?

?

3??1×r1+r33

??