常用邏輯用語

第2課常用邏輯用語（1）---命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件一、考點(diǎn)分析及考綱要求（一）考綱要求1、理解命題的概念．2、了解“若，則”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系．3、理解必要條件、充分條件與充要條件的意義．（二）考點(diǎn)分析：1、四種命題反映了命題之間的內(nèi)在聯(lián)系，應(yīng)結(jié)合具體問題理解其關(guān)系產(chǎn)生的過程，尤其是兩個等價關(guān)系．要善于利用命題的等價關(guān)系轉(zhuǎn)化為逆否命題．并善于區(qū)分“否命題”與“命題的否定”的不同含義．2、充分條件與必要條件是四種命題關(guān)系的深化．應(yīng)當(dāng)深刻領(lǐng)會充分條件、必要條件、充要條件的內(nèi)涵，防止概念混淆．首先要分清條件與結(jié)論，然后才能推理和判斷．尤其是“必要條件”這一概念較難理解，可借助“逆否命題”的概念來幫助理解．當(dāng)為的必要條件時，應(yīng)有，等價于，即“若不成立，則不成立”，或“沒有，就沒有”，這就足見得的“必要性”了．3、尋求或證明充要條件，特別是與關(guān)系的判定，一定要重視定義和等價關(guān)系的應(yīng)用．二、考點(diǎn)梳理及復(fù)習(xí)指導(dǎo)1、命題定義．我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．2、命題的結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)中，具有“若則”這種形式的命題是常見的．我們把這種形式的命題中的叫做命題的條件，叫做命題的結(jié)論．?dāng)?shù)學(xué)中有一些命題雖然表面上不是“若，則”的形式，但是把它的表述作適當(dāng)改變，也可以寫成“若則”的形式．例如“當(dāng)時，”可以寫成“若則”.3、四種命題一般地，用和分別表示原命題的條件和結(jié)論，用和分別表示和的否定，于是四種命題的形式就是：原命題：若則；逆命題：若則；否命題：若則；逆否命題：若則.關(guān)于逆命題、否命題與逆否命題，也可以這樣表述:(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題．(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題．(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題．4、四種命題之間的關(guān)系互逆命題、互否命題與互為逆否命題都是說兩個命題的關(guān)系，把其中一個命題叫做原命題時，另一個命題就叫做原命題的逆命題、否命題或逆否命題．四種命題之間的相互關(guān)系，如圖所示，我們已經(jīng)知道，原命題為真，它的否命題不一定為真．一般地，一個命題的真假與其他三個命題的真假有三條關(guān)系．(1)原命題為真，它的逆命題不一定為真．(2)原命題為真，它的否命題不一定為真．(3)原命題為真，它的逆否命題一定為真．由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此這四種命題的真假性之間的關(guān)系為：(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．5、間接證明有關(guān)問題由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以我們在直接證叫某一個命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題．6、充分條件、必要條件、充要條件充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件和結(jié)論之間的關(guān)系．從邏輯推理關(guān)系上看：(1)若，但，則是的充分而不必要條件；(2)若，但，則是的必要而不充分條件；(3)若，且(或且)，則是的充要條件；(4)若，且，則既不是的充分條件也不是的必要條件．對充要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義實質(zhì)：若，則是的充分條件，所謂“充分”，即要使成立，有成立足夠了；若，則是的必要條件，所謂“必要”，即是成立的必不可少的條件，缺其不可!例如：“學(xué)生”是“中學(xué)生”的必要條件，而“中學(xué)生”是“學(xué)生”的充分條件．從集合與集合之間關(guān)系上看:(1)若，則A是B的充分條件;(2)若，則A是B的必要條件；(3)若，則A是B的充要條件；(4)若且，則A既不是B的充分條件，也不是B的必要條件．7、應(yīng)用充分條件、必要條件、充要條件時需注意的問題：（1）充分而不必要條件，必要而不充分條件，充要條件，既不充分也不必要條件反映了條件和結(jié)論之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問題進(jìn)行判斷時，要注意以下幾點(diǎn)；①確定條件是什么，結(jié)論是什么；②嘗試從條件推結(jié)論，結(jié)論推條件；③確定條件是結(jié)論的什么條件；④要證明命題的條件是充要的，就是既要證明原命題成立，又要證明它的逆命題成立．證明原命題即證明條件的充分性，證明逆命題即證明條件的必要性．(2)對于充要條件，要熟悉它的同義詞語．在解題時常常遇到與充要條件同義的詞語，如“當(dāng)且僅當(dāng)”、“必須且只需”、“等價于”、“…反過來也成立”．準(zhǔn)確地理解和使用數(shù)學(xué)語言，對理解和把握數(shù)學(xué)知識是十分重要的。三、2022年高考考察情況考向一、四種命題及其真假的判斷1、(1)(2022陜西卷理科1)設(shè)是向量，命題“若，則”的逆命題是()A．若則B.若則C.若則D.若則【答案】D【解析】交換一個命題的題設(shè)與結(jié)論，所得的命題與原命題是互逆命題，故選D（2）（2022山東卷文5）已知，命題“若，則”的否命題是()A．若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】A【解析】命題“若,則”的否命題是“若,則”,故選A.命題意圖：本題考查四種命題間的關(guān)系，屬于容易題。命題透視：預(yù)計本知識點(diǎn)在今后的高考中應(yīng)有所體現(xiàn)，以選擇題為主，往往會與其它知識內(nèi)容結(jié)合，屬于容易題。考向二、充分條件與必要條件的判定2、(1)(2022全國卷理科3)下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是()A．B．C．D．【答案】A【解析】故選A。（2）(2022天津卷理科2)設(shè)則“且”是“”的()A.充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．即不充分也不必要條件【答案】A【解析】由且可得，但反之不成立，故選A.（3）(2022山東卷理科5)對于函數(shù)，，“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的A充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.即不充分也不必要條件解析：若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于軸對稱；反之不成立，比如偶函數(shù)，滿足的圖象關(guān)于軸對稱，但不一定是奇函數(shù)，答案應(yīng)選B。命題透視：判斷是否正確的實質(zhì)是判斷命題“若，則”的真假，判斷是的什么條件，首先要分清條件和結(jié)論，確定推理的方向。有些問題（如帶有否定詞語的命題）轉(zhuǎn)化為等價命題更易判斷。考向三、充要條件的應(yīng)用3、(1)(2022陜西卷理科12)設(shè)，一元二次方程有整數(shù)根的沖要條件是【答案】3或4【解析】：由韋達(dá)定理得又，所以則（2）(2022全國新課標(biāo)卷理科10)已知a與b均為單位向量，其夾角為，有下列四個命題其中的真命題是A.B.（B）C.（C）D.（D）【答案】A【解析】：由可得，故選D（3）（2022浙江卷7）若為實數(shù)，則“”是的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，由兩邊同除可得成立；當(dāng)時，兩邊同除以可得成立，∴“”是“或”的充會條件，反過來，由或得不到.命題透視：從近幾年的高考試題來看，充要條件多以選擇和填空題的形式出現(xiàn)，與函數(shù)、不等式、直線與平面等知識聯(lián)系很緊密。四、核心考點(diǎn)分析（一）命題及其關(guān)系1、寫出一個命題的逆命題、否命題和逆否命題的關(guān)鍵是正確找出原命題的條件和結(jié)論，然后再按照定義來寫。應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)原命題中有大前提時，寫其它命題應(yīng)保留。如命題：“當(dāng)c>0時，若a>b，則ac>bc”，在寫其它命題時，都應(yīng)該寫上大前提“當(dāng)c>0時”。2、原命題與逆命題，逆命題與否命題是等價命題，對一個命題的真假不易判斷或證明時，可以判斷或證明其逆否命題的真假。如命題：“若，則”。直接證明比較困難，可轉(zhuǎn)化為證明其等價命題，也就是命題的逆否命題：若，則。再如，（1）判斷命題“若x2≠y2，則x≠y”的真假；（2）已知a2-4b2-2a+1≠0，求證a≠2b+1。都可以利用這種方法來解決。3、判斷四種命題真假的常用途徑：一是先分別寫出四種命題，再分別判斷每個命題的真假；二是利用互為逆否命題是等價命題這一關(guān)系來判斷它的逆否命題的真假，這種方法有時能夠簡化解題過程，另外還要注意原命題與其否命題并不總是真假性相反的。（二）充分條件與必要條件的判斷方法1、定義法：給出條件、，根據(jù)定義，只要判斷“能否推出”與“能否推出”，從而確定條件、的充分條件與必要條件的關(guān)系．2、集合法：設(shè)滿足條件的元素構(gòu)成集合Ｐ，滿足條件的元素構(gòu)成集合Ｑ，把判斷條件、的充分、必要關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷集合Ｐ、Ｑ間的關(guān)系，即（１）若，則是的充分條件；若，則是的充分而不必要條件；（２）若，則是的必要條件；若，則是的必要而不充分條件；（３）若，則是的充要條件；（４）如果上述三種關(guān)系均不成立，即、之間沒有包含或相等的關(guān)系，即既不是的充分條件，也不是的必要條件．3、傳遞法：充分條件與必要條件具有傳遞性，即由，可得．當(dāng)然充要條件也有傳遞性．對于比較復(fù)雜的有一定連鎖關(guān)系的命題，兩個命題間的關(guān)系的判斷可用傳遞法來加以處理．4、轉(zhuǎn)換法：根據(jù)原命題與逆否命題之間有相同的真假關(guān)系來加以等