機(jī)械原理第三章

/平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析3。1復(fù)數(shù)向量及其性質(zhì)圖3—1平面上的向量可以用復(fù)數(shù)表示，如圖3-1所示（3—1）式中——向量的?！?向量的幅角—-虛數(shù)單位，——單位向量，其模等于1,表示向量的方向。單位向量有如下性質(zhì)：（3—2）（3-3）（3－4)(３－5）3.２復(fù)數(shù)向量的微分與速度、加速度設(shè)向量表示點(diǎn)A相對(duì)于固定參考坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置，其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)為(3－6）式中--徑向速度,是其大小，為其方向——切向速度，是其大小，為其方向，如圖3—２所示。圖3－２將式（３—６)再次時(shí)間求導(dǎo),有（3－7)式中——徑向加速度，大小，方向——法向加速度,大小，方向——切向加速度，大小，方向-—哥氏加速度，大小，方向上述加速度分量如圖3—3所示.圖3-33.3鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析需要解決三個(gè)問(wèn)題,位移、速度和加速度，其中位移的求解是最困難的。這是因?yàn)闄C(jī)構(gòu)的位置方程往往是非線性方程或方程組。在位移已知的情況下，速度和加速度方程是線性的。所以說(shuō),機(jī)構(gòu)的位移分析是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的難點(diǎn).如圖3-４所示,鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)由一個(gè)雙桿組和機(jī)架與原動(dòng)件組成，是最簡(jiǎn)單的機(jī)構(gòu)形式。對(duì)它的運(yùn)動(dòng)分析是研究可分解為一系列雙桿組的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)。圖3-43.3。1位置分析位置分析以向量約束方程為基礎(chǔ)。對(duì)于機(jī)構(gòu)的每一個(gè)閉環(huán)，向量多邊形可以有兩種形式:（１)一個(gè)連續(xù)的頭尾相接的封閉鏈；（２）到達(dá)同一個(gè)點(diǎn)的兩條不同路徑所確立的兩個(gè)分支。如圖3－4所示,鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)OABＣ，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),建立復(fù)數(shù)坐標(biāo)系，ｘ軸為實(shí)軸，ｊy為虛軸。向量桿長(zhǎng)為，幅角;向量桿長(zhǎng)為,幅角；向量桿長(zhǎng)為，幅角；向量桿長(zhǎng)為，幅角,其中，各向量幅角均為從x軸指向該向量的角.則該四桿機(jī)構(gòu)的四個(gè)向量可以表示為：對(duì)于鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)OＡBC，已知機(jī)構(gòu)尺寸、、，,，原動(dòng)件運(yùn)動(dòng)參數(shù),和，求解、以及速度、加速度.以B點(diǎn)為研究對(duì)象，可以建立向量方程為(3-8)該方程中含有兩個(gè)未知量和，方程有唯一解。將式(3－8）中第一項(xiàng)移至等號(hào)右側(cè)，再將等號(hào)左右兩邊同時(shí)乘以各自的共軛復(fù)數(shù)有：（得復(fù)數(shù)的模的平方)展開(kāi)展開(kāi)成三角函數(shù)形式得此方程中只含有一個(gè)未知數(shù)，將含有未知數(shù)的項(xiàng)展開(kāi)合并移到等式左邊，已知項(xiàng)移到等式右邊得：整理得令（3—９)有(3—1０）可以解得(３—11)式中的正負(fù)號(hào)應(yīng)按機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性來(lái)選擇，一般根據(jù)機(jī)構(gòu)的裝配模式來(lái)確定。如圖3-5中實(shí)線所示裝配模式贏取正號(hào)，而虛線模式贏取負(fù)號(hào)，若根號(hào)內(nèi)的數(shù)值小于零，則表示該機(jī)構(gòu)的相應(yīng)位置關(guān)系不能實(shí)現(xiàn).將代入式（3-８)有解得(３-12)圖3-53.3.２速度分析式（３—6)中，給出了一點(diǎn)相對(duì)于固定參考點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的徑向速度和切向速度分量,對(duì)于鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，若視構(gòu)件為剛體，則其中的.式(３-8）對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，有（3—13）將上式第二項(xiàng)移到等式右邊，虛部和實(shí)部分開(kāi),整理得（３—14）解得（３-15）式（3－13）可以解釋同一構(gòu)件上兩點(diǎn)間的速度關(guān)系.由理論力學(xué)可以,一構(gòu)件上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可以看作是隨同該構(gòu)件上另一點(diǎn)的平動(dòng)（牽連運(yùn)動(dòng)）和繞該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)（相對(duì)運(yùn)動(dòng)）的合成。設(shè)構(gòu)件上兩點(diǎn)B和Ａ，B點(diǎn)的速度應(yīng)是基點(diǎn)A的速度和點(diǎn)Ｂ相對(duì)于點(diǎn)A的相對(duì)速度的矢量和,即，如圖３-6所示.在式（3-13)中，是基點(diǎn)的速度,是目標(biāo)點(diǎn)的速度,是目標(biāo)點(diǎn)相對(duì)于基點(diǎn)的牽連運(yùn)動(dòng)速度。同一點(diǎn)上兩不同構(gòu)件的速度關(guān)系分析，圖3-１1圖3-63.３.3加速度分析式（3－8）對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù),有(3—1６)上式兩端均乘以，得(３-17)類(lèi)似可以解得(3-１8)式(3－1６)可以解釋同一構(gòu)件上兩點(diǎn)間的加速度關(guān)系。由理論力學(xué)可以,一構(gòu)件上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),可以看作是隨同該構(gòu)件上另一點(diǎn)的平動(dòng)(牽連運(yùn)動(dòng)）和繞該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)(相對(duì)運(yùn)動(dòng)）的合成。如圖3-7所示，設(shè)構(gòu)件上兩點(diǎn)C和Ｂ，目標(biāo)點(diǎn)B和基點(diǎn)C之間的加速度可以表達(dá)為(３-19）分別和式（3－16)中各項(xiàng)對(duì)應(yīng)。同一點(diǎn)上兩不同構(gòu)件的加速度關(guān)系分析，圖３—123。4曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析3。4.1位移分析圖3—８曲柄滑塊機(jī)構(gòu)是鉸鏈四連桿機(jī)構(gòu)的一種演化形式,如圖3－8所示,機(jī)構(gòu)中出現(xiàn)了滑塊，以Ｏ點(diǎn)為原點(diǎn),建立復(fù)數(shù)坐標(biāo)系，ｘ軸為實(shí)軸,jy為虛軸.向量桿長(zhǎng)為，幅角；向量桿長(zhǎng)為,幅角;向量桿長(zhǎng)為常數(shù),幅角為常量；向量桿長(zhǎng)為，幅角為常量0，其中，各向量幅角均為從x軸指向該向量的角。則該四桿機(jī)構(gòu)的四個(gè)向量可以表示為：對(duì)于曲柄滑塊機(jī)構(gòu)ＯABC,已知機(jī)構(gòu)尺寸、、,原動(dòng)件運(yùn)動(dòng)參數(shù),和,求解、以及速度、加速度。以B點(diǎn)為研究對(duì)象,可以建立向量方程為（３—20）將式（３－2０）消去，整理得（3-21）令（３-22）解得(3-23)式中的正負(fù)號(hào)應(yīng)按機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性來(lái)選擇,一般根據(jù)機(jī)構(gòu)的裝配模式來(lái)確定。如圖3-9中實(shí)線所示裝配模式贏取正號(hào)，而虛線模式贏取負(fù)號(hào),若根號(hào)內(nèi)的數(shù)值小于零，則表示該機(jī)構(gòu)的相應(yīng)位置關(guān)系不能實(shí)現(xiàn)。圖3－９式(3—2３）代入式（３-2０)有解得（3-2４）3。4。2速度分析式（3—２0)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù),得(3-25)在曲柄滑塊機(jī)構(gòu)中，桿件是剛體,不存在沿桿件方向的速度,所以，而是隨時(shí)間變化的,則上式為（3—2６）上式展開(kāi)分別令實(shí)部和虛部相等可以解得（3—2７）同一點(diǎn)上兩不同構(gòu)件的速度關(guān)系分析，圖3—113．4.3加速度分析對(duì)式(3－20）求時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)（3-2８）展開(kāi)成三角函數(shù)形式并分別另實(shí)部虛部相等得解得（3—２9)同一點(diǎn)上兩不同構(gòu)件的加速度關(guān)系分析,圖3-12３.5導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析3.５。1位移分析圖3—１0導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)是另一種形式的四桿機(jī)構(gòu),如圖３—１0所示,以Ｏ點(diǎn)為原點(diǎn),建立復(fù)數(shù)坐標(biāo)系，x軸為實(shí)軸,ｊy為虛軸。向量桿長(zhǎng)為，幅角；向量桿長(zhǎng)為,幅角；向量桿長(zhǎng)，幅角；向量桿長(zhǎng)為,幅角為常量，其中，各向量幅角均為從x軸指向該向量的角,機(jī)構(gòu)中,由于桿BC和CD互相垂直，所以有，則該四桿機(jī)構(gòu)的四個(gè)向量可以表示為：對(duì)于曲柄滑塊機(jī)構(gòu)ＯABC，已知機(jī)構(gòu)尺寸、、，,原動(dòng)件運(yùn)動(dòng)參數(shù),和，求解、以及速度、加速度。以A點(diǎn)為研究對(duì)象，可以建立向量方程為（3-3０)消去未知數(shù)展開(kāi)令實(shí)部相等得解得（3－31)3.5.2速度分析式(3-30）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)等式兩邊乘以展開(kāi),令虛部相等得解得（3—32)令實(shí)部相等將式(3-32）代入解得(３—33）同一點(diǎn)上兩不同構(gòu)件的速度關(guān)系分析,圖3－１１3．5。3加速度分析式（3—30)對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)(3—34）兩邊乘以展開(kāi)令虛部相等解得(３—3５）令實(shí)部相等式（3－35)代入解得(３—36)同一點(diǎn)上兩不同構(gòu)件的加速度關(guān)系分析，圖3—123．6六桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析3.6.1兩個(gè)雙桿組組成的六桿機(jī)構(gòu)圖３—13對(duì)于六桿機(jī)構(gòu)，選擇不同的原動(dòng)件時(shí),有6種由兩個(gè)雙桿組組成的六桿機(jī)構(gòu)，由于與原動(dòng)件相連的閉環(huán)都是四桿機(jī)構(gòu)，所以,這樣的機(jī)構(gòu)都可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)四桿機(jī)構(gòu)來(lái)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。如圖3-13所示,桿OA為原動(dòng)件，桿ABD和桿ＯCF為兩個(gè)三副桿，其中OCF是機(jī)架，這個(gè)六桿機(jī)構(gòu)形成了兩個(gè)閉環(huán)I和II。根據(jù)圖中定義的參數(shù)，分別寫(xiě)出兩個(gè)的向量方程為（3-37)(3—３8）方程(3-３７)是鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,可以利用公式（3—1１)、(３—1２)、（３-15）、(３—17）和(3-18）解出,從而可以得到、、、、、。對(duì)于閉環(huán)II,因、為已知量，方程（3-3８）中只有、兩個(gè)未知量,可解.類(lèi)似的，也可以求出相應(yīng)的速度和加速度。由以上分析可知，對(duì)由二桿組組成的六桿機(jī)構(gòu)或者更多桿的機(jī)構(gòu)來(lái)說(shuō)，只要按照其閉環(huán)一次求解，便可以完成該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析。位移解閉環(huán)Ｉ閉環(huán)ＩI令速度分析加速度分析3．６.2具有四桿組的六桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析由四桿組組成的六桿機(jī)構(gòu),其運(yùn)動(dòng)分析的關(guān)鍵和難點(diǎn)是機(jī)構(gòu)的位置求解。因?yàn)樵诹形恢孟蛄糠匠虝r(shí),每個(gè)閉環(huán)方程含有三個(gè)或四個(gè)未知數(shù)，不能單獨(dú)求解，必須將各閉環(huán)向量方程聯(lián)立求解,此時(shí)需要求解的是非線性方程組。對(duì)于求解速度和加速度，只需要求解線性方程組。選擇不同的原動(dòng)件時(shí)，含有四桿組的六桿機(jī)構(gòu)有三種，下面分別研究它們的運(yùn)動(dòng).3。6。2．1以三副桿為機(jī)架的六桿機(jī)構(gòu)圖3-１４如圖3-14所示的六桿機(jī)構(gòu)，在閉環(huán)Ｉ來(lái)說(shuō),含有三個(gè)未知數(shù)，不能單獨(dú)求解，但是閉環(huán)ＩI是由二桿組組成的四桿機(jī)構(gòu),它的解是已知的，對(duì)此種機(jī)構(gòu)的求解是先求解閉環(huán)II，再將其結(jié)果代入閉環(huán)I的方程中，最終可以得到關(guān)于閉環(huán)Ｉ中未知數(shù)的一元高次隱函數(shù),利用計(jì)算機(jī)計(jì)算方法可以得到最終解。如圖所示,已知，和,原動(dòng)件及其速度和加速度，其中，求解以及各自的速度、加速度.按照?qǐng)D中定義建立向量方程，對(duì)于閉環(huán)Ｉ有（3-４5)對(duì)于解閉環(huán)II,有(3—４6)設(shè)為已知量，容易解得將代入，則有(３－47)式(３-4５）中含有未知數(shù)，式（3-4６）中含有未知數(shù)，分別在兩個(gè)方程中消去，得到兩個(gè)關(guān)于的方程。和代回式（3—45）速度解加速度分析3.6．２．2以三副桿為原動(dòng)件的六桿機(jī)構(gòu)圖3-１5如圖3—15所示是以三副桿為原動(dòng)件的六桿機(jī)構(gòu),已知機(jī)構(gòu)中的尺寸和原動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)，分析該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。由閉環(huán)Ｉ——OABＣD可以列出向量方程由閉環(huán)II——OEＦCD可以列出向量方程閉環(huán)I方程中,含有未知數(shù),閉環(huán)II方程中含有未知數(shù),兩個(gè)方程四個(gè)未知數(shù),可解.解題思路step１閉環(huán)I方程中消去,解得step2閉環(huán)ＩＩ方程中消去，解得step3令,解得ｓtep4代回,解得,ｓtｅｐ5代回閉環(huán)I方程解得，代回閉環(huán)ＩＩ方程解得。Sｔep1step2step3step4速度求解加速度3.6.2。3以雙副桿為機(jī)架和原動(dòng)件的六桿機(jī)構(gòu)圖3—１６如圖3-１6所示的六桿機(jī)構(gòu),已知桿件尺寸和原動(dòng)件運(yùn)動(dòng)參數(shù)，分析該機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。對(duì)于閉環(huán)I——OABCD和閉環(huán)IＩ——OＡＥFD可以分別列出向量方程速度加速度3。7機(jī)構(gòu)的精度分析能夠絕對(duì)精確地實(shí)現(xiàn)預(yù)期運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)稱(chēng)為理想機(jī)構(gòu)，但在工程實(shí)際中,因?yàn)闄C(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)、制造、安裝都會(huì)有誤差，所以，實(shí)際機(jī)構(gòu)不可能是理想機(jī)構(gòu)。隨著工業(yè)的發(fā)展，尤其是高速、精密、自動(dòng)化機(jī)械和機(jī)械手、機(jī)器人的發(fā)展，要求工作構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)具有足夠的精確性,因此，機(jī)構(gòu)的精度分析越來(lái)越被人們重視，并給予了系統(tǒng)的研究,使得機(jī)構(gòu)精度分析稱(chēng)為機(jī)構(gòu)學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)分支.３。7.1機(jī)構(gòu)精度分析的基本原理３。7.１。1標(biāo)量誤差機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動(dòng)的誤差可以用一個(gè)標(biāo)量表達(dá)時(shí)稱(chēng)此誤差為標(biāo)量誤差,如輸出運(yùn)動(dòng)為角位移或者線性位移.設(shè)理想機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動(dòng)為，實(shí)際機(jī)構(gòu)輸出為，均為廣義量，可以是角位移或者線性位移，對(duì)于單輸出的機(jī)構(gòu),其輸出運(yùn)動(dòng)為（3－70）式中—-原動(dòng)件的冠以輸入運(yùn)動(dòng)m—-機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)——機(jī)構(gòu)的廣義尺度參數(shù)，可以為桿長(zhǎng)或者夾角ｎ-—機(jī)構(gòu)的廣義參數(shù)個(gè)數(shù)影響機(jī)構(gòu)輸出運(yùn)動(dòng)精度的因素有以下三種1設(shè)計(jì)誤差：在機(jī)構(gòu)綜合時(shí)，理想機(jī)構(gòu)輸出和實(shí)際機(jī)構(gòu)輸出之間的誤差即為設(shè)計(jì)誤差.2機(jī)構(gòu)尺寸誤差：由于制造、安裝和構(gòu)件變形引起的構(gòu)件誤差，必然會(huì)引起輸出運(yùn)動(dòng)的變化,即。3輸入運(yùn)動(dòng)誤差：當(dāng)輸入運(yùn)動(dòng)有誤差時(shí)，對(duì)輸出運(yùn)動(dòng)有一定的影響,即綜上，總的機(jī)構(gòu)輸出誤差為(3－7１）式中用Ｔａylｏr級(jí)數(shù)展開(kāi)得濾去二階及以上的微分項(xiàng)，有(3-72）式中——設(shè)計(jì)誤差-—結(jié)構(gòu)參數(shù)誤差—-輸入運(yùn)動(dòng)參數(shù)誤差如不考慮設(shè)計(jì)誤差，則式（３-72)改寫(xiě)為(３－７3)3。7．1。2向量誤差機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)位置要用一個(gè)向量來(lái)描述時(shí)，此時(shí)產(chǎn)生的輸出運(yùn)動(dòng)誤差就是向量誤差。對(duì)于平面機(jī)構(gòu),向量誤差是二維向量,對(duì)于空間機(jī)構(gòu)，向量誤差是三維向量。可以寫(xiě)出向量誤差的一般形式為(3－74）式中--實(shí)際機(jī)構(gòu)無(wú)誤差的輸出運(yùn)動(dòng)—理想機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)--由機(jī)構(gòu)尺寸誤差引起的輸出運(yùn)動(dòng)誤差—-由輸入運(yùn)動(dòng)誤差引起的輸出運(yùn)動(dòng)誤差不考慮設(shè)計(jì)誤差時(shí)，上式可以改寫(xiě)為（3—75）如果用復(fù)數(shù)形式表示平面機(jī)構(gòu)的向量誤差，則設(shè)(３—76）向量誤差為(3—77）式中如果在空間直角坐標(biāo)系中表示向量誤差，則設(shè)(3-78）向量誤差為（3-７９)3。7．１.3速度和加速度誤差這里的速度和加速度是廣義的,可以是線性的速度和加速度，也可以是角速度和角加速度。以標(biāo)量形式的誤差為例，說(shuō)明速度和加速度誤差分析的基本原理.設(shè)機(jī)構(gòu)的輸出運(yùn)動(dòng)為,對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)可得（3-8０)如果都有誤差，則有(3-81）同理可得加速度誤差（3-８2）3.7.２平面連桿機(jī)構(gòu)精度分析３.７.2．1鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)的位移精度１角位移誤差如圖3-17所示的鉸鏈四桿機(jī)構(gòu),對(duì)于從動(dòng)桿AB和CB，如果不考慮原動(dòng)件的輸入運(yùn)動(dòng)誤差有圖3--17(３－83)用復(fù)數(shù)向量列出機(jī)構(gòu)的閉環(huán)運(yùn)動(dòng)方程有