2022年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2022年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng)。

1.（4分）設(shè)集合A={R-2VxV4},B={2,3,4,5},則4nB=（）

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{2,3}D.{2}

2.（4分）已知i為虛數(shù)單位，若（2+i）z=i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（4分）設(shè)函數(shù)/（%）=爐一妥,則f（%）是（）

A.奇函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞增

B.奇函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞減

C.偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞增

D.偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞減

4.（4分）將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的

概率為（）

1112

A.-B.-C.-D.一

6323

5.（4分）記的為等差數(shù)列{”“}的前〃項(xiàng)和，若S2=3,S4=18,則S6=（）

A.36B.45C.63D.75

6.（4分）某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），其中自習(xí)時(shí)間的范圍

是[17.5,30],并制成了頻率分布直方圖，如右圖所示，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20）,[20,

22.5）,[22.5,25）,[25,27.5）,[27.5,30J.根據(jù)頻率分布直方圖，這200名學(xué)生中每

7.(4分)若0<c<l,貝lj()

A.c'<c"B.logca>logci

第1頁(yè)共18頁(yè)

C.ac<bcD.logflC>log/>c

8.（4分）在△ABC中，若2bcosB=〃cosC+ccosA,則3=（）

7T7T7T27r

A?-B.-C.—D.—

6433

9.（4分）設(shè)｛〃〃｝是首項(xiàng)為-1的等比數(shù)列，公比為必則“q〈0”是“對(duì)任意的正整數(shù)小

a2n-]+a2n>Off的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.（4分）如圖，正方體ABCO-AIBICIOI的棱長(zhǎng)為1,線段BOi上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,

且EF另，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①AC_LBE；

②△AEF的面積與的面積相等；

③三棱錐A-BEF的體積為定值.

其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11.（5分）已知向量。=（2,5）,b=（A,4）,若a〃b,貝ij入=.

12.（5分）雙曲線C：?一!|=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,漸近線方程為.

x<l

13.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=1,則使/（x）W2成立的x的取值范圍是_______.

\xi,x>1

14.（5分）若點(diǎn)尸（cosG,sin0）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q（cos（0+芻，sin（0+$）,則。的

一個(gè)取值為.

15.（5分）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個(gè)半徑為r的小圓在一個(gè)半徑

為"的大圓內(nèi)部，小圓沿著大圓的圓周滾動(dòng)，小圓的圓周上任一點(diǎn)形成的軌跡即為星形

第2頁(yè)共18頁(yè)

線.如圖，已知r=l,起始位置時(shí)大圓與小圓的交點(diǎn)為A(A點(diǎn)為x軸正半軸上的點(diǎn)),

滾動(dòng)過程中A點(diǎn)形成的軌跡記為星形線C.有如下結(jié)論：

①曲線C上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為8；

②曲線D：|x|+|y|=4的周長(zhǎng)大于曲線C的周長(zhǎng)；

③曲線C與圓/+『=4有且僅有4個(gè)公共點(diǎn).

其中正確的序號(hào)為.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(13分)已知函數(shù)g(x)=sizi(x—看)，h(x)=cosx,從條件①/'(x)=g(x),/z(x)、

條件②fG)=gG)+h(x)這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求：

(I)/(X)的最小正周期；

(II)/(%)在區(qū)間［0,，上的最小值.

17.(14分)如圖，四棱錐P-48C。中，底面ABC。為直角梯形，ZDAB^ZADC=^,

側(cè)面外力為直角三角形，ZPAD=J,CDJ_平面皿

(I)求證：CZ)〃平面PAB；

(II)求證：%_L平面A8CD；

(III)若A8=3,PD=4,CD=AD=2,判斷在線段PO上是否存在一點(diǎn)使得直線

71

AM與平面PBC所成角的大小為二.

4

第3頁(yè)共18頁(yè)

p.

18.(13分)某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問題，每位參加比賽的學(xué)

生先在兩類問題中選擇一類，然后從所選類別的問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答

錯(cuò)誤則比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正

確與否，比賽結(jié)束.A類問題回答正確得10分，否則得。分；3類問題回答正確得30

分，否則得0分.已知小明同學(xué)能正確回答4類中的每一個(gè)問題的概率均為0.8,能正確

回答B(yǎng)類中的每一個(gè)問題的概率均為0.5,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(II)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

19.(15分)已知橢圓C：今+/=l(a>b>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(VL0),

一V6

橢圓C的禺心率為

(I)求橢圓C的方程；

(II)橢圓C在y軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為A,B,點(diǎn)P滿足G?而=0,直線P尸交橢圓于M,

N兩點(diǎn)，且|MN|=g,求此時(shí)/OPF的大小.

20.(15分)已知函數(shù)f(x)=衛(wèi)警二上

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程；

(II)當(dāng)a>0時(shí)，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(III)求證：當(dāng)aW-1時(shí)，/(x)2-e.

21.(15分)記實(shí)數(shù)“，b中的較大者為機(jī)at{a,b],例如相or{l,2}=2,max{\,1}=1,

對(duì)于無窮數(shù)列{〃〃},記=叩。2人.「a2k}(kEN"),若對(duì)于任意的例N”,均有(p%+i

”,則稱數(shù)列{劭}為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”.

(I)己知數(shù)列{尻}的通項(xiàng)公式分別為即=-2〃+l,bn=(—》n,判斷數(shù)列{即},

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｛為｝是否為“趨勢(shì)遞減數(shù)列”，并說明理由；

(II)已知首項(xiàng)為1公比為g的等比數(shù)列｛cn｝是''趨勢(shì)遞減數(shù)列”，求g的取值范圍；

(III)若數(shù)列｛辦｝滿足力,42為正實(shí)數(shù)，且為+2=1為+1-珈，求證：m“｝為"趨勢(shì)遞減

數(shù)列”的充要條件為｛“"｝的項(xiàng)中沒有0.

第5頁(yè)共18頁(yè)

2022年北京市石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題

目要求的一項(xiàng)。

1.(4分)設(shè)集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5},則AA8=()

A.{2,3,4}B.{3,4}C.{2,3}D.{2}

【解答】解：?集合A={x|-2<xV4},B={2,3,4,5),

；.AnB={2,3}.

故選：C.

2.(4分)已知i為虛數(shù)單位，若(2+i)z=i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：V(2+z)z=i,

._i_i(2-t)_l+2i_1,2.

"z~2+i~(2+i)(2-i)~-5--5+5Z,

則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

故選：A.

3.(4分)設(shè)函數(shù)”為=/一去，則f(x)是()

A.奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增

B.奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

C.偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增

D.偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)閧xkHO},

/(-JC)=-%3+當(dāng)=-(x3-點(diǎn))=-f(x),則f(x)是奇函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，y=/和產(chǎn)-或是增函數(shù)，則f(x)在(0,+8)上也是增函數(shù)，

故選：A.

4.(4分)將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的

概率為()

1112

A?一B.-C.-D.一

6323

【解答】解：將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行的情況共有心=6

第6頁(yè)共18頁(yè)

種，其中2本數(shù)學(xué)書相鄰的情況有膨?掰=4利i,則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為:=：

63

故選：D.

5.(4分)記為等差數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和，若52=3,54=18,則S6=()

A.36B.45C.63D.75

【解答】解：S〃為等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，52=3,54=18,

(2%+211d=3

H—2-d=18

解得ai=O,d=3,

.?.56=6X0+竽x3=45.

故選：B.

6.(4分)某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，其中自習(xí)時(shí)間的范圍

是[17.5,30],并制成了頻率分布直方圖，如右圖所示，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20),[20,

22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)頻率分布直方圖,這200名學(xué)生中每

周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是()

二n

OJO卜-r—I

0.08k-----I

°1752022.52527.530自習(xí)時(shí)間/小時(shí)

A.56B.60C.120D.140

【解答】解:這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為(0.16+0.08+0.04)

X2.5=0.7,

因此這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為200X0.7=140.

故選：D.

7.(4分)若0<c<l,貝IJ()

A.(^<caB.logc〃>logcb

C.ac<bcD.logac>k>gbc

【解答】解：因?yàn)镺VcVl,a>b,

所以y=F在R上單調(diào)遞減，所以/>〃，A錯(cuò)誤；

第7頁(yè)共18頁(yè)

y=logc在（0,+°°）上單調(diào)遞減，logcaVlogQVO,8錯(cuò)誤；

因?yàn)樵冢?,+°°）上單調(diào)遞增且

所以廢〉"，C錯(cuò)誤;

所以logfl（?>log/?C,。正確.

故選：D.

8.（4分）在△ABC中，若2反。sB=acosC+ccosA,則3=（）

7T71TC271

A.-B.-C?-D.—

6433

【解答】解：在△A8C中，若2/?cosB=acosC+ccos4,

利用正弦定理：2sinBcos8=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB；

由于OVA、

所以cosB=

解得B=J.

故選：c.

9.（4分）設(shè)僅〃｝是首項(xiàng)為-1的等比數(shù)列，公比為夕，則“qVO”是“對(duì)任意的正整數(shù)，7,

。2〃-1+。2〃>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：因?yàn)椤?〃-1+〃2“=-產(chǎn)”+（-1）Xq2〃l=_（q+1）寸2,

當(dāng)夕<0時(shí)，無法確定鄉(xiāng)+1的正負(fù)，故無法確定。2〃-1+42〃的正負(fù)，

當(dāng)。2〃-1+42,?>0時(shí)，可得-（夕+1）”2>0,

所以4+1V0,即0<-1,此時(shí)一定有qVO,

故?<0是對(duì)任意的正整數(shù)小。2〃一1+〃2〃>0的必要不充分條件.

故選:B.

10.（4分）如圖，正方體A3CQ-A131C1Q1的棱長(zhǎng)為1,線段5iQi上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,

且EF=],給出下列三個(gè)結(jié)論：

①AC上BE；

②△AEF的面積與△8EF的面積相等;

③三棱錐A-BEF的體積為定值.

第8頁(yè)共18頁(yè)

其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【解答】解：對(duì)于①，根據(jù)題意，結(jié)合圖形知，AC，面。。BEu平面。。劭8,

：.ACA.BE,命題①正確；

對(duì)于②，：點(diǎn)B到直線EF的距離與點(diǎn)A到直線EF的距離不相等，

.?.△AEF與的面積不相等，命題②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，三棱錐A-BEF的體積為V三棱饞A-BEF=\'SixBEF*h=ixix^xlx^=春

三棱錐A-BE尸的體積為定值，命題③正確；

對(duì)于綜上，正確的命題有2個(gè).

故選：C.

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

TTTT8

11.（5分）已知向量&=（2,5）,b=（A,4）,癡〃b,貝U入=告_.

【解答】解：因?yàn)?=（2,5）,b=（入，4）,a//b,

所以8-5人=0,解得入

O

故答案為：

12.（5分）雙曲線C：4-若=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4,0），漸近線方程為_工=土遮

【解答】解：雙曲線C；可得。=2,6=2遍，c=4,

所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4,0）,

漸近線方程為：y=±V3x.

故答案為：（±4,0）；y=±V3x.

（2fX<1

13.（5分）設(shè)函數(shù)f（x）=i,則使U）W2成立的x的取值范圍是（?8,

",%>1

第9頁(yè)共18頁(yè)

41_.

2*T,X<1

【解答】解：函數(shù)/(x)=1,

%之，x>1

當(dāng)天<1時(shí)，/(x)W2即為2'7W2,解得XW2,即為“VI；

1

當(dāng)時(shí)，f(x)W2即為%2工2,解得xW4,即為1WXW4.

則有x的取值范圍是(-8,1)U[l,4]=(-8,4].

故答案為：(-8,4].

14.(5分)若點(diǎn)P(cos0,sin0)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q(cos(。+⑥，sin(0+J)),則9的

一個(gè)取值為

【解答】解：..?點(diǎn)P(cos。，sinO)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q(cos(0+》sin(8+物，

TTTT

cos0=cos(0+3)，sin0=-sin(。+@).

由sin9+sin(0+^)=0,整理得：sin0+|sin9+^ycos0=0,

??3sin0V3ln

即-----+—cos0=O,V3sin(0+^)=0,

226

故0=時(shí),上式成立，

故答案為：-看.

15.(5分)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個(gè)半徑為，?的小圓在一個(gè)半徑

為4r的大圓內(nèi)部，小圓沿著大圓的圓周滾動(dòng)，小圓的圓周上任一點(diǎn)形成的軌跡即為星形

線.如圖，已知r=l,起始位置時(shí)大圓與小圓的交點(diǎn)為A(A點(diǎn)為x軸正半軸上的點(diǎn)),

滾動(dòng)過程中A點(diǎn)形成的軌跡記為星形線C.有如下結(jié)論：

①曲線C上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為8；

②曲線D：|x|+|,y|=4的周長(zhǎng)大于曲線C的周長(zhǎng)；

③曲線C與圓/+夕=4有且僅有4個(gè)公共點(diǎn).

其中正確的序號(hào)為①③.

第10頁(yè)共18頁(yè)

y

【解答】解：根據(jù)題意，曲線C的形狀如圖：其中A(0,4),8(-4,0),C(0,-4),

D(4,0),

由此分析3個(gè)結(jié)論：

對(duì)于①，曲線C上，AC或8。之間的距離最大，且忸0=出力|=8,即任曲線C上任意兩

點(diǎn)間距離的最大值為8,正確；

對(duì)于②曲線。：W+M=4,圖形為圖中的正方形，必有。的周長(zhǎng)小于曲線C的周長(zhǎng)；

對(duì)于③，曲線C與圓/+尸=4有且僅有4個(gè)公共點(diǎn)，即ABC。四點(diǎn)，正確；

正確的是①③，

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16.(13分)已知函數(shù)g(x)=si*(x—1)，h(x)=cosx,從條件①/1(x)—g(%),//(x)>

條件②/1(x)=g(x)+h(x)這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

(I)/(X)的最小正周期；

(II)/(%)在區(qū)間［0,身上的最小值.

【解答】解：選擇條件①：/(x)=g(x)*/?(X),

JIy/31

(1)f(x)=sin(x—召)cosx=(-siri￥—^cosx)cosx

門.12e1cll+cos2x75.c1c1

=-^-sinxcosx—2cosx=-yxxsm2x—x-------=彳sin2x—4cos2x一

第11頁(yè)共18頁(yè)

=%n(2x-f)-1(

所以/(X)的最小正周期7=竽

=7T.

,7T__,TTTT57r

(II)因?yàn)閤€[0,-]，可得標(biāo)一陽(yáng)一堂,—],

所以sin(2x—5)G[-i,1],可得-sin(2x—5)-jG[—i,-],

6226424

當(dāng)2xU，即x=5時(shí)，/(x)有最大值

選擇條件②:f(x)=g(x)+h(x),

7T1

(I)/(x)=sin(x—6)+cosx=(—sinx—^cosx)+cosx

=&\nx+|cosx=sin(x+御，

ZZD

所以/(x)的最小正周期T=^=2n.

7T7T27T

(II)因?yàn)閤€[0,可得

所以sin(x+5)G[-,1],

6L2

當(dāng)x+W，即x=E時(shí)，f(x)有最大值1.

17.(14分)如圖，四棱錐P-4BC力中，底面ABC。為直角梯形，ND4B=/AOC=乎

側(cè)面PAD為直角三角形，ZPAD=與CDJ_平面PAD.

(I)求證：C￡)〃平面PAB；

(II)求證：B4_L平面ABC。；

(III)若A8=3,PD=4,C￡)=AO=2,判斷在線段上是否存在一點(diǎn)M,使得直線

71

AM與平面PBC所成角的大小為一.

4

P

AB

第12頁(yè)共18頁(yè)

【解答】證明：(I)因?yàn)樗睦忮FP-A8CD中，/.DAB=/.ADC=J,

所以AB〃C￡>,

因?yàn)锳Bu平面PAB,COC平面PAB,

所以CO〃平面PAB.

證明：(〃)因?yàn)镃OJ_平面以。，以u(píng)平面PAD,所以CD_L以，

又因?yàn)镹P4D=￡所以AOLB4,

因?yàn)镃O,AQu平面ABCD,CDHAD=D,

所以辦，平面ABCZX

解：(III)存在，當(dāng)M為線段尸。中點(diǎn)時(shí)，理由如下：

由(〃)可知，因?yàn)橐訨_平面ABC。，ABu平面ABC。，

所以A8_Lfi4,

又ACABVAD,

如圖以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)

則4(0,0,0),8(3,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2回

設(shè)平面PBC的法向量為蔡=(x,y,z),

由竹后=。得卜'+2丫=。，

。?PB=0V3x-2V3z=0.

令z=W,所以九=(2,1/V3).

設(shè)施=a而(owawi),

第13頁(yè)共18頁(yè)

則M(0,2-2/1,2V3A),

所以心=(0,2-2A,2V3A),

直線AM與平面PBC所成角為。,

所以sinO=\cos(AM,n)|=11M旦=|--二+、=|=孝，

\AM\-\n\2V2jl6A2-81+4

解得4+，符合題意，

71

所以當(dāng)M為線段PD中點(diǎn)時(shí)，直線AM與平面PBC所成角的大小為二.

18.(13分)某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問題，每位參加比賽的學(xué)

生先在兩類問題中選擇一類，然后從所選類別的問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答

錯(cuò)誤則比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正

確與否，比賽結(jié)束.A類問題回答正確得10分，否則得0分；B類問題回答正確得30

分，否則得0分.已知小明同學(xué)能正確回答A類中的每一個(gè)問題的概率均為0.8,能正確

回答B(yǎng)類中的每一個(gè)問題的概率均為0.5,且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

(I)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(II)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【解答】解：(I)得分情況有三種可能性，第一個(gè)問題錯(cuò)誤，x=o分，

P(X=0)=1-0.8=0.2,

第一個(gè)問題正確，第二個(gè)錯(cuò)誤，X=10分，

P(X=10)=0.8義(1-0.5)=0.4,

兩個(gè)問題都正確，X=40分，

P(X=40)=0.8X0.5=04,

的分布列為：

X01040

P0.20.40.4

(II)由(1)知，若小明先回答4問題，貝I」E(X)=0X0.2+10X0.4+40X0.4=20,

若小明先回答8問題，記丫為小明的累計(jì)得分，則丫的可能取值為o,30,40,

P(7=0)=1-0.5=05

P(y=30)=0.5x(1-0.8)=0.1,

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P(y=40)=0.5X0.8=04,

：.E(y)=0X0.5+30X0.1+40X0.4=19,

..T9V20,...小明應(yīng)選擇先回答A類問題.

19.(15分)已知橢圓C：最+，=l(a>b>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(或，0),

__V6

那肓圓C的離心率為三.

(I)求橢圓C的方程；

(H)橢圓C在)'軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為A,B,點(diǎn)尸滿足1?麗=0,直線尸尸交橢圓于M,

N兩點(diǎn)，且|MN|=VL求此時(shí)NOP尸的大小.

【解答】解：(I)因?yàn)橛医裹c(diǎn)為“或，0),所以c=應(yīng),

因?yàn)殡x心率e=^=等,

所以Q=V3/b2=a2—c2=3—2=1,

2

所以橢圓C的方程為x可+y2=1.

(II)當(dāng)直線P尸垂直于x軸時(shí)，|MN|=孥4V5(舍)；

當(dāng)直線PF不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線PF的方程為y=k(x-,

(y=k(x-V2)

由乙2，整理得(1+3/c2)%2-6V2/C2X+6fc2-3=0,

[e=i

設(shè)MG1,y\),N(%2,>2),由題意△>()恒成立,

~6k2—3

所以4-%2=:，%1%2

1+3必'

利用弦長(zhǎng)公式知|MN|=+々2|與—久2I=+k2d(X\+%2)2—4%1必=

kJ(修J*寓V3,

解得k—±\,

所以直線PF的方程為y=±(x-V2),

因?yàn)锳,B為橢圓C在y軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)A(0,1),B(0,-1),

因?yàn)槿f3-BP=0,設(shè)P5,〃),

所以(m,/1-1)-(m,n+\)=0,

即加2+”2=1,

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即點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，

因?yàn)樵c(diǎn)到直線PF的距離d=卷L=閥=1,

J1+必Jl+(±1)2

所以直線P尸與圓“2+〃2=1相切，

所以NOPF=90°.

20.(15分)已知函數(shù)=上警二工

(I)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程；

(II)當(dāng)4>0時(shí)，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(III)求證：當(dāng)“W-1時(shí)，/(無)2-e.

【解答】解：(I)因?yàn)?(x)=(-a/+xi)，eJ(嚴(yán)+-1)0)，=-一(2a尸)x+2=

(ex)e

(ax—l)(x—2)

不，

所以/(0)=2,/(0)=-1,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,-1)處的切線方程為y=2x-1.

(II)由(1)知：/(x)=3-吁-2),

因?yàn)椤?gt;0,令/(%)=0,所以x=：或x=2.

當(dāng)OVaV^時(shí)，->2,則

za

當(dāng)(-8,2)時(shí)，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)(2,時(shí)，f(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；

1

當(dāng)(一，+8)時(shí)，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

a

當(dāng)a另時(shí)，/G)》0恒成立，/(%)在R上恒為增函數(shù)；

當(dāng)a*時(shí)，0<i<2,則

當(dāng)(-8,工)時(shí)，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

a

1

當(dāng)(一，2)時(shí)，f(x)<0,/(%)單調(diào)遞減；

a

當(dāng)(2,+8)時(shí)，/(%)>0,f(x)單調(diào)遞增；

綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,2)和(：,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,

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1

-);

a

當(dāng)〃=寺時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是K,無單調(diào)遞減區(qū)間；

111

當(dāng)。時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-8,一)和(2,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(一，2).

zaa

(III)當(dāng)QW-1時(shí)，令/(x)=0得或x=2,則

1

當(dāng)xE(-8,一)時(shí)，/(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；

a

當(dāng)房(-,2)時(shí)，/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

a

當(dāng)在(2,+8)時(shí)，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

所以當(dāng)時(shí)，f(X)取得極小值/(一)=—e~a,

a,ci

因?yàn)閍W-1,所以一e?G[-e>1)>

所以由極小值定義及/(x)的單調(diào)性可知：

當(dāng)x<2時(shí)，f(x)2-e；

接下來，研究f(x)在x22的變化情況，