《土力學(xué)》教程-6-土壓力計(jì)算

土力學(xué)教程（同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院編制）目錄土壓力計(jì)算學(xué)習(xí)指導(dǎo)工程背景土壓力的分類與相互關(guān)系靜止土壓力計(jì)算朗肯土壓力理論庫侖土壓力理論粘性土土坡的整體穩(wěn)定分析粘性土土坡穩(wěn)定分析的條分法本章小結(jié)

學(xué)習(xí)指導(dǎo)學(xué)習(xí)目標(biāo)

掌握土壓力的基本概念與常用計(jì)算方法，初步具備將土壓力理論應(yīng)用于一般工程問題的能力。學(xué)習(xí)要求1．掌握靜止土壓力、主動(dòng)土壓力、被動(dòng)土壓力的形成條件；2．掌握朗肯土壓力理論；3.掌握庫侖土壓力理論；4．了解有超載、成層土、有地下水情況的土壓力計(jì)算；5.了解土壓力計(jì)算在實(shí)際工程中存在的問題。主要基礎(chǔ)知識(shí)地基土的自重應(yīng)力計(jì)算、土的強(qiáng)度理論

一、工程背景土建工程中許多構(gòu)筑物如擋土墻、隧道和基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)等擋土結(jié)構(gòu)起著支撐土體，保持土體穩(wěn)定，使之不致坍塌的作用，而另一些構(gòu)筑物如橋臺(tái)等則受到土體的支撐，土體起著提供反力的作用，如圖6-1所示。在這些構(gòu)筑物與土體的接觸面處均存在側(cè)向壓力的作用，這種側(cè)向壓力就是土壓力。（a）邊坡?lián)跬翂Γ╞）隧道

(c）基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)（d）橋臺(tái)圖6-1工程中的擋土墻

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二、土壓力的分類與相互關(guān)系

1.土壓力的分類

圖6-3土壓力與擋土結(jié)構(gòu)位移的關(guān)系

三、靜止土壓力計(jì)算

1．墻背豎直時(shí)的靜止土壓力計(jì)算（1）土壓力計(jì)算靜止土壓力可根據(jù)半無限彈性體的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行計(jì)算。在土體表面下任意深度z處取一微小單元體，其上作用著豎向自重應(yīng)力和側(cè)壓力（如圖6-4），這個(gè)側(cè)壓力的反作用力就是靜止土壓力。根據(jù)半無限彈性體在無側(cè)移的條件下側(cè)壓力與豎向應(yīng)力之間的關(guān)系，該處的靜止土壓力強(qiáng)度p0可按下式計(jì)算：（6-1）式中K0為靜止土壓力系數(shù)，其值可用室內(nèi)或原位試驗(yàn)確定；為土體重度，kN／m3。（2）土壓力分布由式（6-1）可知，靜止土壓力沿?fù)跬两Y(jié)構(gòu)豎向?yàn)槿切畏植迹鐖D6-4所示。如果取單位擋土結(jié)構(gòu)長度，則作用在擋土結(jié)構(gòu)上的靜止土壓力E0為：

（6-2）式中h為擋土結(jié)構(gòu)高度，m。E0的作用點(diǎn)在距墻底h/3處。

圖6-4墻背豎直時(shí)的靜止土壓力

2．墻背傾斜時(shí)的靜止土壓力計(jì)算對(duì)于擋土墻背傾斜的情況（如圖6-5），作用在單位長度上的靜止土壓力可根據(jù)土楔體ABB′的靜力平衡條件導(dǎo)出如下：

（6-3）式中為墻背傾角，°。而E0與水平方向的夾角可由下式求得：（6-4）E0的作用點(diǎn)在距墻底h/3處。圖6-5墻背傾斜時(shí)的靜止土壓力四、朗肯土壓力理論

1.基本假設(shè)與適用條件朗肯土壓力理論是朗肯(W.J.M.Rankine)于1857年提出的。它假定擋土墻背垂直、光滑，其后土體表面水平并無限延伸，這時(shí)土體內(nèi)的任意水平面和墻的背面均為主平面（在這兩個(gè)平面上的剪應(yīng)力為零），作用在該平面上的法向應(yīng)力即為主應(yīng)力。朗肯根據(jù)墻后主體處于極限平衡狀態(tài)，應(yīng)用極限平衡條件，推導(dǎo)出了主動(dòng)土壓力和被動(dòng)土壓力計(jì)算公式。2.朗肯主動(dòng)土壓力計(jì)算

（1）主動(dòng)土壓力計(jì)算方法考察擋土墻后主體表面下深度z處的微小單元體的應(yīng)力狀態(tài)變化過程（可點(diǎn)擊主動(dòng)土壓力的形成過程演示）。當(dāng)擋土墻在土壓力的作用下向遠(yuǎn)離土體的方向位移時(shí)，作用在微分土體上的豎向應(yīng)力z保持不變，而水平向應(yīng)力x逐漸減小，直至達(dá)到土體處于極限平衡狀態(tài)。土體處于極限平衡狀態(tài)時(shí)的最大主應(yīng)力為1=z，而最小主應(yīng)力3即為主動(dòng)土壓力強(qiáng)度pa。根據(jù)土的極限平衡理論，可推導(dǎo)出主動(dòng)土壓力強(qiáng)度pa的計(jì)算公式如下：無粘性土或（6-5）粘性土或（6-6）式中Ka為主動(dòng)土壓力系數(shù)

（2）主動(dòng)土壓力分布規(guī)律由朗肯主動(dòng)土壓力計(jì)算公式可知，無粘性土中主動(dòng)土壓力強(qiáng)度pa與深度z成正比，沿墻高的土壓力強(qiáng)度呈三角形分布（如圖6-6）。作用在單位長度擋墻上的土壓力為三角形分布面積，即

（6－6）土壓力作用點(diǎn)在距墻底h/3高度處。粘性土中的土壓力強(qiáng)度由兩部分組成：一部分是由土體自重引起的土壓力，另一部分是粘力c引起的負(fù)側(cè)壓力，兩部分的疊加結(jié)果如圖6-7所示，其中aed部分是負(fù)側(cè)壓力，對(duì)墻背是拉應(yīng)力，但實(shí)際上土與墻背在很小的拉應(yīng)力作用下即會(huì)分離，故在計(jì)算土壓力時(shí)，這部分的壓力應(yīng)設(shè)為零，因此粘性土的土壓力分布僅是abc部分。令式（6-6）為零即可求得臨界深度z0：

（6-8）單位長度擋墻上的主動(dòng)土壓力可由土壓力實(shí)際分布面積計(jì)算（圖6-8中abc部分的面積）。

主動(dòng)土壓力E0的作用點(diǎn)通過三角形的形心，即作用在離墻底高度處。

圖6-6

無粘性土的pa分布圖6-7

粘性土的pa分布朗肯主動(dòng)土壓力計(jì)算的具體方法可查閱例題6-1。

例題6-1

有一擋土墻高6m，墻背豎直、光滑，墻后填土面水平，填土的物理力學(xué)指標(biāo)為：c＝15kPa,φ＝15°,＝18kN／m3【解】（1）計(jì)算墻頂處的主動(dòng)土壓力強(qiáng)度pa1（2）計(jì)算臨界深度z0（3）計(jì)算墻底處的主動(dòng)土壓力強(qiáng)度pa2（4）繪出主動(dòng)土壓力的分布圖如圖6-9所示（5）計(jì)算主動(dòng)土壓力值主動(dòng)土壓力值按分布面積計(jì)算如下：

（6）Ea的作用點(diǎn)位置主動(dòng)土壓力Ea的作用點(diǎn)離墻底的距離為：

圖6-9土壓力分布圖3．朗肯被動(dòng)土壓力考察擋土墻后土體表面下深度z處的微小單元體的應(yīng)力狀態(tài)變化過程（請(qǐng)觀看演示動(dòng)畫）。當(dāng)擋土墻在土壓力的作用下向著土體方向位移時(shí)，作用在微分土體上的豎向應(yīng)力z保持不變，而水平向應(yīng)力x逐漸增大，由小主應(yīng)力變?yōu)榇笾鲬?yīng)力，直至達(dá)到土體處于極限平衡狀態(tài)。土體處于極限平衡狀態(tài)時(shí)的最小主應(yīng)力為3=z，而最大主應(yīng)力1即為被動(dòng)土壓力強(qiáng)度pp。與主動(dòng)土壓力推導(dǎo)過程相似，可推導(dǎo)出被動(dòng)土壓力強(qiáng)度pp的計(jì)算公式如下：無粘性土（6-9）粘性土

公式推導(dǎo)（6-10）式中Kp為被動(dòng)土壓力系數(shù)，其值為由式（6-9）和式（6-10）可知，無粘性土的被動(dòng)土壓力強(qiáng)度呈三角形分布，粘性土中的被動(dòng)土壓力強(qiáng)度呈梯形分布，如圖6-9所示。作用在單位長度擋土墻上的土壓力Ep同樣可由土壓力實(shí)際分布面積計(jì)算，Ep的作用線通過土壓力強(qiáng)度分布圖的形心。圖6-10被動(dòng)土壓力分布（a）無粘性土（b）粘性土

4．幾種情況朗肯土壓力的計(jì)算（1）土體表面有均布荷載q作用當(dāng)墻后土體表面有連續(xù)均布荷載q作用時(shí)，均布荷載q在土中產(chǎn)生的上覆壓力沿墻體方向矩形分布，分布強(qiáng)度為q，如圖6-10。土壓力的計(jì)算方法是將上覆壓力項(xiàng)z換以z＋q計(jì)算即可，如粘土的主動(dòng)土壓力強(qiáng)度pa為：（6-11）圖6-10墻后土體表面超載q作用下的土壓力計(jì)算

（2）成層土體中的土壓力計(jì)算一般情況下墻后土體均由幾層不同性質(zhì)的水平土層組成。在計(jì)算各點(diǎn)的土壓力時(shí)，可先計(jì)算其相應(yīng)的自重應(yīng)力，在土壓力公式中項(xiàng)z換以相應(yīng)的自重應(yīng)力即可，需注意的是土壓力系數(shù)應(yīng)采用各點(diǎn)對(duì)應(yīng)土層的土壓力系數(shù)值。具體的計(jì)算方法可查閱例題6-2。例題6-2擋土墻高5m，墻背直立、光滑，墻后土體表面水平，共分二層，各層土的物理力學(xué)指標(biāo)如圖6-11所示，求主動(dòng)土壓力并繪出土壓力分布圖?！窘狻康谝粚拥耐翂毫?qiáng)度層頂面處：pa0=0層底面處：第二層的土壓力強(qiáng)度層頂面處：層底面處：主動(dòng)土壓力合力為主動(dòng)土壓力分布圖如圖6-12所示。圖6-11例題6-2

（3）墻后土體有地下水的土壓力計(jì)算當(dāng)墻后土體中有地下水存在時(shí)，墻體除受到土壓力的作用外，還將受到水壓力的作用。通常所說的土壓力是指土粒有效應(yīng)力形成的壓力，其計(jì)算方法是地下水位以下部分采用土的有效重度計(jì)算，水壓力按靜水壓力計(jì)算。但在實(shí)際工程中計(jì)算墻體上的側(cè)壓力時(shí)，考慮到土質(zhì)條件的影響，可分別采用“水土分算”或“水土合算”的計(jì)算方法。所謂“水土分算”法是將土壓力和水壓力分別計(jì)算后再疊加的方法，這種方法比較適合滲透性大的砂土層情況；“水土合算”法在計(jì)算土壓力時(shí)則將地下水位以下的土體重度取為飽和重度，水壓力不再單獨(dú)計(jì)算疊加，這種方法比較適合滲透性小的粘性土層情況。

五、庫侖土壓力理論1．基本假設(shè)庫侖（C.A.Coulomb）1773年建立了庫侖土壓力理論，其基本假定為：（1）擋土墻后土體為均勻各向同性無粘性土（c=0）；（2）擋土墻后產(chǎn)生主動(dòng)或被動(dòng)土壓力時(shí)墻后土體形成滑動(dòng)土楔，其滑裂面為通過墻踵的平面；（3）滑動(dòng)土楔可視為剛體。庫侖土壓力理論根據(jù)滑動(dòng)土楔處于極限平衡狀態(tài)時(shí)的靜力平衡條件來求解主動(dòng)土壓力和被動(dòng)土壓力。2．庫侖主動(dòng)土壓力（1）庫侖主動(dòng)土壓力計(jì)算如圖6-12(a)所示，設(shè)擋土墻高為h，墻背俯斜，與垂線的夾角為，墻后土體為無粘性土（c=0），土體表面與水平線夾角為，墻背與土體的摩擦角為。擋土墻在土壓力作用下將向遠(yuǎn)離主體的方向位移（平移或轉(zhuǎn)動(dòng)），最后土體處于極限平衡狀態(tài)，墻后土體將形成一滑動(dòng)土楔，其滑裂面為平面BC，滑裂面與水平面成角。沿?fù)跬翂﹂L度方向?。眒進(jìn)行分析，并取滑動(dòng)土楔ABC為隔離體，作用在滑動(dòng)土楔上的力有土楔體的自重W，滑裂面BC上的反力R和墻背面對(duì)土楔的反力E（土體作用在墻背上的土壓力與E大小相等方向相反）?；瑒?dòng)土楔在W，R，E的作用下處于平衡狀態(tài)，因此三力必形成一個(gè)封閉的力矢三角形，如圖6-12（b）所示。根據(jù)正弦定理并求出E的最大值即為墻背的庫侖主動(dòng)土壓力：公式推導(dǎo)（6-12）式中Ka為庫侖主動(dòng)土壓力系數(shù)，其值為：（6-13）圖6-12庫侖主動(dòng)土壓力計(jì)算(a)擋土墻與滑動(dòng)土楔（b）力矢三角形

（2）庫侖主動(dòng)土壓力分布庫侖主動(dòng)土壓力強(qiáng)度分布圖為三角形，Ea的作用方向與墻背法線逆時(shí)針成角，作用點(diǎn)在距墻底h/3處，如圖6-13。圖6-13庫侖主動(dòng)土壓力分布

庫侖主動(dòng)土壓力的具體計(jì)算與分布圖形可查閱例題6-3。

例題6-3

擋土墻高5m，墻背傾斜角=10o（俯角），填土坡角＝20o，填土重度＝18kN/m3，=30o，c=0，填土與墻背的摩擦角=(2/3)【解】根據(jù)=10o,＝20o,＝18kN/m3,=30o,c=0和=(2/3)的條件，按式（）可求得主動(dòng)土壓力系數(shù)Ka=0.540。由于主動(dòng)土壓力沿墻背垂直面為三角形分布，故主動(dòng)土壓力得合力為:主動(dòng)土壓力作用點(diǎn)在離墻底h/3=5.0m/3=1.67m處。3．庫侖被動(dòng)土壓力

庫侖被動(dòng)土壓力計(jì)算公式的推導(dǎo)與庫侖主動(dòng)土壓力的方法相似，計(jì)算簡圖如圖6-14，計(jì)算公式為：（6－14）式中Kp為庫侖被動(dòng)土壓力系數(shù)，其值為：（6－15）庫侖被動(dòng)土壓力強(qiáng)度分布圖也為三角形，Ep的作用方向與墻背法線順時(shí)針成角，作用點(diǎn)在距墻底h/3處。

圖6－15庫侖被動(dòng)土壓力計(jì)算（a）擋土墻與滑動(dòng)土楔（b）力矢三角形

特別提示當(dāng)墻背垂直（=0）、光滑（=0）、土體表面水平（=0）時(shí)，庫侖土壓力計(jì)算公式與朗肯土壓力公式一致。庫侖土壓力理論是從無粘性土出發(fā)推導(dǎo)得到的，故不能直接用于計(jì)算粘性土中的土壓力。工程實(shí)踐表面，墻后土體破壞時(shí)的滑動(dòng)面只有主動(dòng)狀態(tài)下在墻背斜度不大且墻背與土體之間的摩擦角很小時(shí)才接近于平面，庫侖公式的平面假設(shè)引起的誤差在計(jì)算主動(dòng)土壓力時(shí)比較小，約為2％～10％；而在計(jì)算被動(dòng)土壓力時(shí)的誤差較大，且誤差隨角的增大而增大，有時(shí)可達(dá)2～3倍，故工程中計(jì)算被動(dòng)土壓力一般不使用庫侖公式。

4．粘性土與成層土中的庫侖土壓力計(jì)算（1）粘性土中的庫侖土壓力計(jì)算在實(shí)際工程中，為了利用庫侖公式計(jì)算粘性土中的土壓力，通常采用等代內(nèi)摩擦角d來綜合考慮c,值對(duì)土壓力的影響，即適當(dāng)增大