高三數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性奇偶性及函數(shù)的周期性知識(shí)精講

高三數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及函數(shù)的周期性【本講主要內(nèi)容】函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及函數(shù)的周期性【知識(shí)掌握】【知識(shí)點(diǎn)精析】1.函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，D是I的一個(gè)區(qū)間，如果對(duì)于任意的x,xD，其xx，都有f(x)f(x)則稱f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，同時(shí)D是函1 2 1 2 1 2數(shù)f(x)的增區(qū)間；如果對(duì)于任意的x,xD，且xx都有f(x)f(x)，則稱f(x)1 2 1 2 1 2在區(qū)間D上是減函數(shù)，同時(shí)，D是函數(shù)f(x)的減區(qū)間。并統(tǒng)稱具有上述情況的函數(shù)具有單調(diào)性。注：?jiǎn)握{(diào)性是函數(shù)的區(qū)間性質(zhì)，若一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義域內(nèi)（是一個(gè)區(qū)間）都是增函數(shù)（減函數(shù)）則稱這個(gè)函數(shù)為單調(diào)函數(shù)。一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，二次函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，但以對(duì)準(zhǔn)軸為界，對(duì)應(yīng)兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，指、對(duì)數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)；三角函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)。奇函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性與其在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，如奇函數(shù)yx3在（0，）同時(shí)在（,0），偶函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性與其在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。互反函數(shù)其各自對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增，異減”的規(guī)律。如f(x)(x1)22求f(x2)的單調(diào)增區(qū)間令zx21，則f(z)關(guān)于z是增函數(shù)又zx2當(dāng)x(0,)時(shí)，z關(guān)于x是增函數(shù)∴(1,)是函數(shù)f(x2)的增區(qū)間令zx21，則f(z)關(guān)于z是減函數(shù)又zx2當(dāng)x(,0)時(shí)，z關(guān)于x是減函數(shù)∴(1,0)是函數(shù)f(x2)的增區(qū)間綜上所述，函數(shù)f(x2)的增區(qū)間為(1,0)和(1,)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)yf(x)，若在獨(dú)立區(qū)間D上，f(x)0，則f(x)是D上的增函數(shù)，f(x)0，則為減函數(shù)。函數(shù)的奇偶性：對(duì)于函數(shù)yf(x)，D是其定義域，若任取xD，都有f(x)f(x)，則稱yf(x)是偶函數(shù)，若任取xD，都有f(x)f(x)，則稱yf(x)是奇函數(shù)，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，無(wú)論是奇函數(shù)，還是偶函數(shù)，都稱它們具有奇偶性，這點(diǎn)不同于單調(diào)性。注：由定義可知，函數(shù)定義域在x軸上反映出具有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的特征，這是函數(shù)具有奇偶性的必要條件，也即不是這一特征，不說(shuō)函數(shù)的奇偶性。當(dāng)然，既然有奇函數(shù)，偶函數(shù)，也就有非奇非偶函數(shù)，那么是否有既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)呢？有，如f(x)0，xD是常函數(shù)，則只要D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即是既奇又偶函數(shù)。函數(shù)的奇偶性，從其圖象上反映出來(lái)的特征其實(shí)是它的對(duì)稱性，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且條件具有充要性。這一圖象特征，又可延伸到《解析幾何》的研究方法上。對(duì)于奇函數(shù)yf(x)，若0D，則必有f(0)0。在初等函數(shù)中，一次函數(shù)ykxb只可能是奇函數(shù)，但要求b0，二次函數(shù)yax2bxc只可能是偶函數(shù)，但也要b0（對(duì)稱軸是y軸），指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是不具有奇偶性的，三角函數(shù)具有奇偶性。在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)同奇偶的函數(shù)之和、差、積、商不改變其奇偶性，一奇一偶的積、商為奇函數(shù)，這一點(diǎn)類似符號(hào)法則（視奇為“－”偶為“+”）。判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性的方法關(guān)系式：f(x)與f(x)關(guān)系f(x)計(jì)算式：f(x)f(x)0或是1（奇函數(shù)）f(x)f(x)f(x)f(x)0或是1（偶函數(shù)）f(x)任意一個(gè)函數(shù)yf(x)都可以構(gòu)造出具有奇偶性的函數(shù)如F(x)f(x)f(x)（偶函數(shù)）G(x)f(x)f(x)（奇函數(shù)）函數(shù)的周期性：對(duì)于函數(shù)yf(x)，若存在一個(gè)常數(shù)T（T0）使得對(duì)于定義域中的任意x值，都有f(Tx)f(x)成立，則稱T是f(x)的周期。周期性也是函數(shù)的一個(gè)整體性質(zhì)，這點(diǎn)在三角函數(shù)中有充分的表現(xiàn)，在高數(shù)中常以抽象函數(shù)的形式出現(xiàn)，其圖象特征便是規(guī)律性再現(xiàn)。注：抽象函數(shù)的周期表現(xiàn)，對(duì)于函數(shù)yf(x)，若f(xa)f(xb)(ab)f(x)是周期函數(shù)，且Tab，若f(xa)f(xb)(ab)f(x)是周期函數(shù)，且T2(ab)從函數(shù)圖象上分析，定義在R的一個(gè)函數(shù)，如果圖象有兩條對(duì)稱軸，xm與xn（mn），則它必有無(wú)數(shù)對(duì)稱軸，且它是周期函數(shù)，T2(mn)，如果其圖象有一個(gè)對(duì)稱中心，一條對(duì)稱軸，則它必有無(wú)數(shù)的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸，且它是周期函數(shù)，T4(mn)。若T是f(x)的周期，則kT（k0,kZ）亦為f(x)的周期，一般我們盡可能選擇正數(shù)，較小的數(shù)作其周期（即最小正周期）?！窘忸}方法指導(dǎo)】[例1]判斷下列函數(shù)的奇偶性 x1 1x（1）f(x) （2）f(x)logx1 a1xaxax（3）f(x)log(xx21)（4）f(x)aaxax解：x1時(shí)函數(shù)有意義，但x1，故定義域不是對(duì)稱性∴f(x)是非奇非偶函數(shù) 1x 1xf(x)loglogf(x)a1x a1x∴f(x)是奇函數(shù)（這里要注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則）1f(x)log(xx21)logaaxx21log(xx21)f(x)a∴f(x)是奇函數(shù)（判斷奇偶性不應(yīng)僅從形式上觀察，以x代x可能使得函數(shù)表達(dá)式不具可判斷的形式，要依賴函數(shù)本身的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行變形比較，方可得結(jié)論。） axax axaxf(x)f(x) axax axax∴f(x)是奇函數(shù)g(x)g(x)g(x)g(x)本函數(shù)也可分解令g(x)ax，則f(x)，而分子是奇函數(shù)，分母是偶函數(shù)，故其商為奇函數(shù)。[例2]已知f(x)asin2xbtanx1，且f(2)4，求f(2)的值。分析：已知條件中含有2個(gè)參數(shù)，僅由f(2)的值求f(2)的值，就要建立f(2)與f(2)的相關(guān)聯(lián)，整體求解，而非確定a,b再求解，這種關(guān)聯(lián)便是通過(guò)函數(shù)的奇偶性來(lái)確定。解：設(shè)g(x)f(x)1asin2xbtanx則g(x)f(x)1asin(2x)btan(x)asin2xbtanxg(x)g(x)f(x)1asin(22x)btan(x)asin2xbtanxg(x)∴g(x)是周期為的奇函數(shù)f(2)g(2)1g(2)1g(2)1[f(2)1]12f(2)242即f(2)21[例3]函數(shù)yf(x)是以4為周期的函數(shù)，且當(dāng)x[2,2)時(shí)，f(x)x1，則當(dāng)2x[2n,2n4),n2時(shí)，試求f(x)的解析式。分析：區(qū)間[2n,2n4)呈現(xiàn)兩種情形n2k1(kZ)圖象如x[2,2)時(shí)，n2k(kZ)圖象如x[0,4)解：當(dāng)n2k1(kZ)，則[2n,2n4)[4k2,4k2)x[4k2,4k2)x4k[2,2)k而T4xn當(dāng)n2k(k2)，則[2n,2n4)[4k,4k4) 1 1x1x[0,2) x[0,2)時(shí)，f(x)x1 2∵21f(x)12x1x[2,4)x[2,4)時(shí)，f(x)x121x[4k,4k2)x4k[0,2)f(x4k)(x4k)12n1x[4k2,4k4)x4k[2,4)f(x4k)(x4k)12n1綜上所述，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(x)xn，x[2n,2n4)21n為偶數(shù)時(shí)，f(x)2x1nx[2n,2n2)當(dāng)12x1nx[2n2,2n4)注：函數(shù)周期性不是高考的重點(diǎn)，但對(duì)于可結(jié)合圖象變換，求具周期性的函數(shù)解析式等問(wèn)題是要考查的。a2xa2[例4]設(shè)aR，f(x)（xR）是奇函數(shù)。2x1求a的值；判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。解：f(x)是奇函數(shù)，則必要條件為f(0)02a2即0a122x1將a1代入得f(x)是奇函數(shù)，即a1為所求2x1 2x12 2f(x)1觀察分析f(x)是R上增函數(shù)。 2x1 2x1證明：方法一：x,x(,)且xx2 1 22 2(2x12x2) f(x)f(x) （*） 1 2 2x212x11(2x11)(2x21)∵指數(shù)函數(shù)2x是R上的增函數(shù)∵xx∴2x12x21 2即2x12x20(*)0即f(x)f(x) 1 2∴f(x)是R上增函數(shù)2ln22x方法二：f(x)0∴f(x)是R上的增函數(shù)(2x1)2注：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，以導(dǎo)數(shù)為工具判斷單調(diào)性經(jīng)常是快捷的方法，要注意正確使用?！究键c(diǎn)突破】【考點(diǎn)指要】高考?xì)v來(lái)將函數(shù)的性質(zhì)，特別是圍繞函數(shù)的奇偶、單調(diào)、周期性展開(kāi)，其題目綜合性強(qiáng)，角度易變，聯(lián)系其它章節(jié)諸如不等式，解析幾何，、三角函數(shù)，導(dǎo)數(shù)等較多，一定要全面把握，注重聯(lián)系，其中方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)構(gòu)思想，化歸構(gòu)造等方法，都是要充分考慮與應(yīng)用的?！揪C合測(cè)試】選擇題：1.（05年重慶）若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在(,0]上是減函數(shù)，且f(2)0，則使得f(x)0的x取值范圍是（）A.(,2)B.(2,)C.(,2)(2,)D.(2,2)2.（06年山東）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，則f(6)的值為（）A.1B.0C.1D.213.（05年天津）設(shè)f1(x)是函數(shù)f(x)(axax)(a1)的反函數(shù)，則使f1(x)12成立的x的范圍是（） a21 a21 a21A.(,)B.(, )C.(,a)D.[a,) 2a 2a 2a4.（06年全國(guó)II）函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)g(x)logx(x0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)2稱，則f(x)的表達(dá)式為（） 1 1A.f(x)(x0)B.f(x)(x0)logx log(x) 2 2C.f(x)logx(x0)D.f(x)log(x)(x0) 2 25.（02年上海）函數(shù)yxsinx，x[,]的大致圖象是（）(3a1)x4ax16.（06年北京）已知f(x) 是(,)上的減函數(shù)，則a的取logx x1a值范圍是（） 1 11 1A.(0,1)B.(0,)C.[,)D.[,1) 3 73 7填空題7.（03年北京）函數(shù)f(x)lg(1x2),g(x)2x，h(x)tan2x中，是偶函數(shù)。18.（05年天津）設(shè)f(x)的定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，2則f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)。9.（05年全國(guó)）若正整數(shù)m滿足10m1251210m，則m（lg20.3010）10.（05年遼寧）w是正實(shí)數(shù)，設(shè)S{|f(x)cos[w(x)]是奇函數(shù)}，若對(duì)每個(gè)w實(shí)數(shù)a，S(a,a1)的元素不超過(guò)2個(gè)，且有a使S(a,a1)含2個(gè)元素，則w的w w取值范圍是。解答題11.（05年廣東）設(shè)函數(shù)f(x)在(,)上滿足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在閉區(qū)間[0,7]上，只有f(1)f(3)0試判斷函數(shù)yf(x)的奇偶性；試求方程f(x)0在閉區(qū)間[2005,2005]上根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。12.（06年福建）已知函數(shù)f(x)x28x，g(x)6lnxm求f(x)在[t,t1]上的最大值h(t)；是否存在實(shí)數(shù)m，使得yf(x)的圖象與yg(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由。

【綜合測(cè)試答案】一.D提示：偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反B提示：f(x)的周期為4∴f(6)f(2)而f(2)f(2)f(2)0A提示：f(x)是增函數(shù)，滿足條件f1(x)1的x值，即滿足x1時(shí)f(x)的值，即求f(x)的值域，也可利用f1(x)與f(x)單調(diào)性相同來(lái)解。D提示：可利用解析幾何中求軌跡的方法解決，也可分析出兩個(gè)函數(shù)圖象可構(gòu)成一個(gè)奇函數(shù)設(shè)為F(x)的圖象，設(shè)x0x0F(x)g(x)log