圓柱內(nèi)問題極柱坐標系下的分離變量法_第1頁
圓柱內(nèi)問題極柱坐標系下的分離變量法_第2頁
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文檔簡介

二、圓柱內(nèi)的問題例1考察圓圓柱體內(nèi)的電勢分布。設(shè)柱內(nèi)電勢u滿足圓柱側(cè)面和上底z=l接地（即電勢為零），下底z=0電勢為求柱內(nèi)電勢分布。解：定解問題為

設(shè)解代入方程(2.3.19)得

同除以得

取

得到三個常微分方程

由

得固有值

相應(yīng)的固有函數(shù)為由

知固有值

相應(yīng)的固有函數(shù)為

將代入方程(2.3.24)得

通解為

由解的疊加性,得到級數(shù)形式解

其中

由非齊次邊界條件由三角函數(shù)系的正交性得再由貝塞爾函數(shù)系的正交性得由得

由三角級數(shù)系數(shù)為零得再由貝塞爾級數(shù)系數(shù)為零得所以得定解問題的解。將代入(2.3.25)例2解解定解問問題解：設(shè)代入方程(2.3.28)

同除以得

可取得到三個個常微分分方程由得固有值，相應(yīng)的固有函數(shù)為

由齊次邊邊界條件件(2.3.29),得固有有值問題題固有值為

相應(yīng)的固有函數(shù)為

將固有值代入方程,得

令代入方程,得

(虛宗量貝塞爾方程

通解為

）所以方程的通解為，由解的有界性F=0

由解的疊疊加性,得到級級數(shù)形式式解其中。由非齊次邊界條件，得

由三角函函數(shù)系的的正交性性得將系數(shù)代入(2.3.31)得到級數(shù)形式解。

例3考考察圓圓柱域內(nèi)內(nèi)拉普拉拉斯方程程的邊值值問題：：解：由給定的邊值條件知，u與無關(guān)，故設(shè)解代入方程程(2.3.32)得得可取

得到常微微分方程程由齊次邊邊界條件件(2.3.33),得固有有值問題題令的方程化為這是零階階貝塞爾爾方程。。通解

，由解的有界性，B=0，

且

由，得

應(yīng)有

，于是

固有值

相應(yīng)的固固有函數(shù)數(shù)為將代入的方程得通解為

由解的疊疊加性,得到級數(shù)數(shù)形式解解其中代入非齊次邊界條件

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