概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)微積分復(fù)習(xí)ch1函數(shù)

微積分基本要求合理安排時(shí)間,進(jìn)行預(yù)習(xí)與復(fù)會利用微積分中的方法 解多思考多嘗試適量練微積分的基本內(nèi)第一章函第二章極限與連第三章導(dǎo)數(shù)與微第四值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第八章多元函數(shù)第五定積分第六章定積分第八章二重積分(8-無窮級數(shù)(第七章微分方程與差分方程(第九章

第一 常用記號

??=????,??∈定義域自變量的取值范圍,因變量的取值范圍注意 1.函數(shù)不一定有表達(dá)式2.函數(shù)有一元函數(shù)與多元函數(shù)注:??(??)來自與 function;??- ;??-range.定義??=??(??)是一元函數(shù)如果對任??∈????,都存在唯一??∈??=????

習(xí)慣記??=???????稱為??=??(??)的反函數(shù) 說明:根據(jù)定義,1-1函數(shù)、單調(diào)函數(shù)存在反函數(shù)1.2反函數(shù)的圖形??=??(??)的反函數(shù)是??=???????,習(xí)慣上,將其記為??=???????.于是,點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系的變 ?

??, ??, ??,結(jié)論??=??(??)與其反函??=的圖像關(guān)??=??對稱1.2問題如何求函??=??(??)的反函數(shù)例1求函數(shù)??=??????=

(雙曲正弦)的反函數(shù)解:整 ?????

?????=兩端同時(shí)乘以????, (????)??????????????=得

???? ??????+=

----以????=?? ??+由????>??, ????=?? ??+???=????(?? ??+所以反函數(shù)為??=????(?? ??+ 反雙曲正1.2如何求函??=??(??)的反函數(shù)(前提反函數(shù)存在基本步驟通過解方程求??=????互換??,??(注意定義域與值域的關(guān)系??=???????反正弦函 ??=sin??,?? ??=arcsin??,?? ?1,1 ?? 3 3arcsin(?1)= ,arcsin12

2;arcsin2

, arcsin(???)=?arcsin??,sin(arcsin??)= arcsin(sin??)=?1.3反余弦函??=cos??,?? 0,??=arccos??,?? ?1,1?? 0,2 2arccos(?1)=??,arccos0arccoscos(arccos??)=??,arccos

2;arccos211???2

, y1.3y反正切函 ??=tan??,??

yarctan ??=arctan??,??∈(?∞, ?? arctan(?1)=

,arctan1 arctan(???)=?arctan?? 課堂練求下列函數(shù)的反函數(shù) ??

填

??=2sin3??(?6≤??≤ 32

3 2 33

3) 中學(xué)常用的正弦函 sin??

??,余弦函 cos?? 正切函 tan??sine[sa?n];cosine['kosa?n];三角函數(shù)與單位圓sin??=????cos??=tan??=

其他三角函

??,正割函 sec??余割函 csc??

cos =sin 余切函 cot?? =tan secant[?si:k?nt];cosecant[?kau?si:k?nt];反余切函 ??=arccot??,?? ?∞,+∞?? 0,??平sin2??+cos2??=1sec2??=1+tan2??csc2??=1+cot2??證明

sec2??

??2??2

??2+ ??2

=1

??2??2=1+2.3sin(??±??)=sin??cos??±cos??sin??;cos(??±??)=cos??cos???sin??sin??;tan(??±??)

tan??±tan??1?tan??tan2.3倍sin2??=2sin??coscos2??=cos2???=2cos2???1=1?2tantan2??

1?2.3半cos22sin22

1+cos=21?cos=2sin

1?cos2

1+cos

sin2.3萬

2sin2/cos

2tansin??=2

sec22

=1+tan22tan??

2tan21?tan2cos??

sin??tan

1?tan2 2=1+tan2 222.3和差化sin??±sin??=2sin2

cos2cos??+cos??=2cos2

cos2cos???cos??=?2sin2

sin2證明 sin(??+??)=sin??cos??+cos??sinsin(?????)=sin??cos???cos??sin sin(??+??)+sin(?????)=2sin??cos??=(??+??)+(?????),??= 積化和sin??cos??=cos??cos??

sin??+ ?sin???21cos??+ +cos???21sin??sin??=2誘 (規(guī)律

cos??+ ?cos???冪函數(shù)??=????、指數(shù)函??=????、對數(shù)函數(shù)??=??????????稱為基本初等函數(shù).定 設(shè)函數(shù)??=??(??)的定義域?yàn)閐om??函數(shù)??=??(??)的值域ran??若dom ∩ran ≠則稱函數(shù)??=?????? 為??的復(fù)合函數(shù).一般記為??°??.??是自變量,??稱為中間變量,??是因變量.注意:復(fù)合函數(shù)可由兩個(gè)以上的函數(shù)復(fù)合而成.2.5簡單的復(fù)合函數(shù) sin2?? lnsin?? ????(??),復(fù)雜的,可以是多重復(fù)合例 y

cotx2

y

ucot

vx2??=ln(sin????) ??=ln??,??=sin????=????,?? 另外??°?????1(??) =???1??°

???1°???1°2.5注意:復(fù)合函數(shù)的分析在微分學(xué)中非常重要?jiǎng)兤?由函數(shù)的最外層運(yùn)算一層層剝到里邊,切不可漏層冪指函數(shù):??(??)??(??)=???? ???? ??=????????.初等函數(shù):由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).課堂練若?? =4???5,?? =??2,?? =ln??,??????

,?????? = 函數(shù)??=arcsin(??2?1)的定義域?yàn)?3.0全稱量詞:Any(每一個(gè))或All(所有的)的字頭A的倒”“”,或“任意給定存在量詞:Exist(存在)的字頭E“

“至少存在一個(gè)s.t.(such例如?????∈?,??<?????∈?,st.??<??<??????是兩個(gè)實(shí)數(shù)??>數(shù) ??? <??},稱為點(diǎn)????的??鄰域點(diǎn)????稱為鄰域的中心 ??稱為鄰域的半徑記 U(x0,

{x

x0x

x0x0

x0 ????的去??鄰域,也稱空心鄰域

記作Ux0,U(x0,){

0x

1.解析表達(dá)(顯函數(shù)??=????方程與曲線的對應(yīng)3.2例 符號函

xysgnx

xy

x1o

R,

xx

sgnx.3.2例2取整函數(shù)?? 表示不超過x的最大整數(shù)y[x]

當(dāng)n

xn1

n 2.5

1 x x 1 定義

f)

值域

f)Z3.2例3狄里克萊(Dirichlet)函.?? =?1,??∈.0,??∈函數(shù)性質(zhì) 有界 偶函數(shù);周期函數(shù)3.3如果???∈??(??為區(qū)間都存在唯一??滿足方????, =則稱??是由方程????,?? =??確定的??的隱函數(shù).通常很難或無法寫出隱函數(shù)的顯式表達(dá)式.例如

exyx

y1定義??=??????∈??,???1??2∈????1<??2?? <?? ?? >????=??(??)在區(qū)間??上單調(diào)增加(減少)或??=??(??)??上的增函數(shù)(減函數(shù)基本初等函數(shù)的單要求熟練掌握??(??)在??上有定義.??>0,???∈??, ≤則稱??(??)在??上有界,也稱??(??)是??上的有界函數(shù).否則,稱??(??)在??上 yf(x)

yf(x) 4.2常見的有界函數(shù)|

x|

|cos

x(,)|

x|2

|arccos

|

x|

x|2

|arccot

x說明:還可以定義函數(shù)有上界、下界

有界:???∈??,???>0,s.t. ≤:???>0,???∈??,s.t. >例證明?? =

在(0,1) 證明 ???>0,不妨設(shè)??> 要使

>??<1

,??

=??+1>因此?? =

在(0,1) 有界的幾何解釋:??=??(??)??=??,??=???之間. 定圖像特常見的奇函數(shù)與偶函常用結(jié)(?????上的函數(shù)可以表示為一個(gè)??

???? +??(???)

?? ?+2例證明函數(shù)???? =lg(??+ ??2+1)是奇函數(shù). ????? =lg(???+ ??2+1)?? ??2+==

?? ??2+1?? ??2+

(??? ??2+=?lg(?? ??2+因此函數(shù)?? =lg(?? ??2+1)是奇函數(shù)??????????sh??

,arsh??=ln(?? ??2+2定圖像特常見的周期函數(shù)與最小正周三角函例狄里克萊(Dirichlet)函數(shù)?? =?1,??∈ 0,??∈函數(shù)性質(zhì) 有界 偶函數(shù)周期函數(shù)(周期:有理數(shù),無最小正周期設(shè)??=log???? ??>0,??≠1,??>0,??=????特別地??=??ln