醫(yī)學(xué)物理學(xué)jc數(shù)學(xué)基礎(chǔ)二

叫自變量的微分，叫做函數(shù)的微分例如：速率為在時(shí)間(無(wú)窮小量)內(nèi)的位移為五.微商

引入微分的概念之后，導(dǎo)數(shù)就可以看成微分dy

與dx之商（所謂“微商”），即一個(gè)真正的分?jǐn)?shù)。無(wú)窮小量六.導(dǎo)數(shù)（微商）運(yùn)算的基本規(guī)則1.函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)是它們的導(dǎo)數(shù)的和2.函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)若可以證明的變化率是

乘以

的變化率加上

乘以

的變化率●矩形的面積乘法法則例2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1利用乘法法則計(jì)算的導(dǎo)數(shù)于是有3.函數(shù)的倒數(shù)的微商利用乘法法則對(duì)方程兩邊求微商，得解得例如：若4.函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)若于是例3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若有函數(shù)不是基本函數(shù)，可定義中間變量復(fù)合函數(shù)的一般形式鏈鎖法則例4求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：令例5

求函數(shù)的微分解：令思考：假設(shè)以250m3/s的速率把氣體注入氣球使氣球的體積增大。當(dāng)半徑為10cm時(shí)氣球的半徑變化多快？體積隨時(shí)間的變化率為需要求解已知小結(jié)加法法則乘法法則倒數(shù)法則鏈鎖法則指數(shù)法則常數(shù)表一基本初等函數(shù)及其微商問(wèn)題已知一質(zhì)點(diǎn)沿軸運(yùn)動(dòng),它的坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系如下:求該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度，并扼要說(shuō)明質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況.§0.3不定積分運(yùn)算假設(shè)原函數(shù)為其導(dǎo)數(shù)為原函數(shù)的微分為求原函數(shù)是已知函數(shù)，是自變量的微分。不定積分也可簡(jiǎn)述為已知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)。一.不定積分的概念例如例1函數(shù)不定積分表二基本積分表函數(shù)不定積分表三在物理學(xué)中的常用積分例1求函數(shù)的原函數(shù)查表三驗(yàn)算即二.線性組合函數(shù)的不定積分如例2二.換元積分法引進(jìn)一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g變量,使積分號(hào)里的微分變換為以中間變量為自變量的基本函數(shù)的微分例3以為中間變量是復(fù)合函數(shù)微分的逆運(yùn)算例4令例5令1.自由落體運(yùn)動(dòng)區(qū)域面積從靜止下落的速率區(qū)域面積高從靜止下落的距離原函數(shù)，導(dǎo)數(shù)原函數(shù)，導(dǎo)數(shù)面積與積分的關(guān)系§0.4定積分變速直線運(yùn)動(dòng)的路程勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程：變速直線運(yùn)動(dòng)Otv(1)把這段時(shí)間間隔分割成許多小段，當(dāng)小段足夠短時(shí)，在每小段時(shí)間內(nèi)的速度都可以近似地看成是不變的?！?.4定積分一、物理中的實(shí)例(2)總的路程討論：幾何意義Otv就分別是圖中那些窄長(zhǎng)矩形的面積所有這些矩形面積的總和（階梯形）越短，越接近實(shí)際情況當(dāng)n

愈來(lái)愈大，愈來(lái)愈小的時(shí)候，階梯狀圖形的面積就愈來(lái)愈接近曲線下的面積。Otv是自變量從到時(shí)，原函數(shù)的增量s是原函數(shù)，v是導(dǎo)函數(shù)若y是v的一個(gè)原函數(shù)，則當(dāng)時(shí)故于是小結(jié)計(jì)算在曲線下從到的區(qū)域面積。2.所需面積即為減去。1.求出給定函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，即其微商是的任一函數(shù)；例如：原函數(shù)就是求即計(jì)算例1例2如果被積函數(shù)是某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即則在到區(qū)間內(nèi)對(duì)x

的定積分等于在這區(qū)間內(nèi)的增量，即牛頓—萊布尼茨公式定積分為自變量從起點(diǎn)變到終點(diǎn)時(shí)被積函數(shù)圖線中的線下面積二.定積分的運(yùn)算規(guī)則例3若在軸上有質(zhì)量為M的物體與勁度系數(shù)為的彈簧組成的振子，坐標(biāo)軸以物體的平衡位置O為原點(diǎn)。求物體由原點(diǎn)移動(dòng)到坐標(biāo)為處的過(guò)程中，彈性力對(duì)物體作的功。彈簧振子解：在任意位置處物體受到的彈性力經(jīng)過(guò)一段微小路程，彈性力對(duì)物體作的功自原點(diǎn)移至處彈性力對(duì)物體作的功等于在各段微路程上所作功之和練習(xí)

推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式解：§0.5

矢量運(yùn)算矢量的概念起源于對(duì)運(yùn)動(dòng)和力的研究。力和速度等物理量需要用其大小和方向來(lái)表示依據(jù)事物自身的規(guī)律，按矢量運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算的量叫矢量大小為矢量的模，記為?長(zhǎng)度為零的矢量叫零矢量?長(zhǎng)度為1的矢量叫單位矢量，記單位矢量用來(lái)表示空間的方向?大小相等、方向相反的矢量互為負(fù)矢量，如與?一.矢量在空間沒(méi)有固定的位置，不依賴于任何坐標(biāo)系而存在，因此可以自由滑行到任何地方——矢量的平移對(duì)稱性。二.矢量的加法與數(shù)乘規(guī)則1)2)3)加法交換律加法結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘分配律4)矢量可由單位矢量與標(biāo)量數(shù)的乘積可移到一條直線上的矢量三.直角坐標(biāo)中的矢量，位矢和速度為三坐標(biāo)軸的單位矢量矢量與三個(gè)軸的夾角為的單位矢量方向余弦矢量的方向余弦滿足：例1

求矢量的方向余弦解按坐標(biāo)軸分解后的矢量可用三個(gè)標(biāo)量表示和運(yùn)算※質(zhì)點(diǎn)的位矢和位移點(diǎn)的位矢位移※矢量的微商、速度如果極限存在，此極限就是矢量函數(shù)在自變量為時(shí)的微商，記為注意：矢量的微商仍是矢量質(zhì)點(diǎn)位置函數(shù)的時(shí)變率即質(zhì)點(diǎn)的速度，速度為矢量。速度的方向：位置函數(shù)空間曲線的任意點(diǎn)切線方向。四.矢量的點(diǎn)乘(標(biāo)量積)點(diǎn)乘運(yùn)算規(guī)則點(diǎn)乘的常用性質(zhì)還有1)2)3)直角坐標(biāo)系中4)按點(diǎn)乘分配律有五.矢量的叉乘(矢量積)叉乘的運(yùn)算規(guī)則為了描述物理中的一些現(xiàn)象，設(shè)計(jì)了一類矢量，分別垂直于兩個(gè)給定的矢量.于是發(fā)展了一類特殊的乘積——叉乘.叉乘用表示,其積為矢量,所以叫矢量積.若是交角為的兩個(gè)矢量,則叉乘定義為是單位矢量,垂直于

兩矢量所在的平面，指向由右手螺旋定則確定.右手系:將右手拇指伸直,其余四指并攏指向的方向,并沿的計(jì)算方向彎向,拇指所指的方向就是的方向.設(shè)想有以和為一對(duì)鄰邊的平行四邊形，其面積可表為則叉乘之值是以兩矢量為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的面積.